一个几何模型的构建及其应用

在多边形与圆的关系中,下面的问题为我们提供了一个几何模型,即平面上任意多边形是否可以通过改变顶角（各边长及其顺序不变,能内接于唯一的一个圆？为了方便建模,我们对平面上折线的刚体运动作如下定义：在平面上一条折线的任意折点处,相邻两边所夹的角可以连续地改变,而折线的各边长及其顺序保持不变的几何变换,称之为折线的刚体运动;一个任意多边形是由一条封闭折线所围成,封闭折线的刚体运动如同在多边形的顶点处用柔韧的关节使各边连接起来,通过改变在关节处的角度使这个由关节连成的系统变形;现提出如下假设：１．设多边形…     

也谈一个非标准图形的计数问题

问题 由n(≥3)条线段连成的封闭折线,其中任两条线段不共线时,其自身相交的交点数量最多为多少? 对于上述问题,文[1]给出的答案是     

平面折线的环数

平面折线的环数王方汉（武汉市二十三中４３００５０）１折线的环数概念平面上若干条不全在同一条直线上的线段首尾相接，其中各条线段最多与另外两条线段相接，且端点不在另外线段的内部，这样的几何图形称为平面折线，简称为折线，如果每条线段都与另外两条线段相接，则...     

四点迴路問题的几何解法

某人乘飞机从北京出发,打算到武汉、上海、重庆、广州等地旅行,每个地方都必須到一次,再回到北京,他应該怎样选择一条路线,才能使总的路程最短呢? 这就是巡迴路线問題。用几何上的提法,就是在平面上有n个不同的点,以这些点为頂点,作一条封閉折线,使折线长为最短。     

封闭折线的同侧点及其性质

本文所讨论的封闭折线，都是平面封闭折线．定义1设M是封闭折线A2A2A3…AnA1所在平面内的定点．，动点P沿着这条析线的边A2A2，A2A3，…，AnA1依次行进，若定点M始终处于动点P行进方向的左侧（或右侧），则点M称为这条封闭折线的左侧点（或右侧．戈）．左侧点与右侧点统称为同侧点．定义2一条封闭析线的所有同侧点组成的集合，称为这条封闭折线的同侧域．例如，困1中的点M就是封闭折线AIA。A3…A7AI的同侧点，阴影部分（不包含边界）是这条封闭拆线的同侧城．定义3设封闭折线AIAZA3…A。AI有同侧，k．M，若，k．M位于ZA。A；…     

折线基本性质初探

为了从整体上掌握众多直线形的特征,应对折线的结构性质作一般考查,本文着重探讨平面折线的若干基本性质 1 折线的一般性质平面上一些线段顺次首尾相接构成的图形称为平面折线,我们约定,任何端点不在另外的线段上,构成折线的线段称为边,线段的端点称为顶点,共顶点的两边称为邻边,共边二顶点称为邻顶点,如果折线每条边都有两条邻边,就称为封闭折线,否则为开折线。定理1 n边封闭折线有n个顶点;n边开折线有n 1个顶点。边不相交的折线称为简单折线,简单封闭折线称为多边形,多边形划分平面的两部分,其中有限部分称为多边形内部,不难证明。定理2 n边形内部可用不相交的对角线划分为     

多边形分平面的定理

1.引言题目所指的定理是希尔伯特的“几何基础”(1930年版)中的定理9,其全文如下:定理.一平面α上的每一个简单多边形,把平面α上其余的点(即平面α上的,而不在这多边形的折线上的点),多为具有下述特质的两个区域,一个内域,一个外域:若A 是内域的一个点(内点),而且 B 是外域的一个点(外点),则平面α上每一条连接 A和 B 的折线至少和多边形有一个公共点;反之,若 A 和 A′是内域的两个点,而且 B和 B′是外域的两个点,则平面α上恒有连接 A 和 A′的折线,和连接 B 和 B′的折线,     

闭折线中的塞瓦定理

塞瓦定理设ΔABC的顶点A、B、C和不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连结而成的三条直线,分别与边BC、CA、AB或它们延长线交于点P、Q、R,则有BPPC·QCAQ·RABR=1.本文拟将这一著名的定理推广至一般的平面闭折线中.本文约定:符号A(n)表示平面内的任意一条闭折线A1A2A3…AnA1.定理设闭折线A(n)的顶点A1与不在各边或它们的延长线上的一点S连结而成的直线,与直线Ai-1Ai 1交于点Pi(i=1,2…,n,An 1为A1,A0为An),则有∏ni=1Ai-1PiPiAi 1=1为证明该定理,将引用下列基本结论:设ΔA1A2A3的项点A2和不在三角形的边或它们的延…     

正星形的几个判定定理

正星形的几个判定定理熊曾润宋方钦（江西赣南师范学院３４１０００）由单独一条平面闭折线组成的正星形，是一种非常优美的图形，它们具有许多美妙的性质（见［１］与［２］）．这种图形的定义是（图１）定义１将圆ｎ等分（如图１），从任一分点开始，顺次连结相隔ｍ个分...     

三角形的周界中线

三角形的周界中线张学哲（湖北民族学院数学系４４５０００）如果三角形一边上的一点和这边所对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点．在这里，我们所说的三角形的周界是指由三角形的三边所组成的围线．由于三角形的任意两边之和...     

星形成为正星形的充要条件

设中A1,A2，…，An是凸n边形的n个顶点，顺次连接每隔r（0≤r<-1）个点的两点，所组成的封闭折线，称为r阶n边星形．记作A（n，r）．其中厂称为这个星形的阶数或生成数．这个凸n边形A1A2…An称为该星形的外接n边形．若A（n，r）是由一条封闭折线组成，则A（n，r）称为素星形；若A（n，r）是由几条封闭折线组成,则称为合星形．其中每一条封闭折线称为合星形的一支．若A（n，r）的外接n边形是正n边垦形，则A（n，r）是正r阶n边星形，简称为亚星形．正”边形的中心，就称为正星形的中心．正星形可分为正素星形与正合星形两类．定理1若A（…     

平面闭折线与其各边分点闭折线的重心之间的关系

在ｎ边平面闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…ＡｎＡ1的各边Ａ1Ａ2 ,Ａ2 Ａ3,… ,ＡｎＡ1(或其所在直线 )上分别取一点Ｂ1,Ｂ2 ,… ,Ｂｎ,依次连结这ｎ个点得到另一条ｎ边闭折线Ｂ1Ｂ2 Ｂ3…ＢｎＢ1,本文研究当各边上的分点满足某种特定条件时 ,两条闭折线的重心之间的关系 .先引入平面闭折线的重心的定义 :定义　在闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…ＡｎＡ1所在平面内建立直角坐标系ｘＯｙ ,设闭折线各顶点坐标为 :Ａｉ(ｘｉ,ｙｉ) ,令 ｘ =1ｎ∑ｎｉ=1ｘｉ, ｙ =1ｎ ∑ｎｉ=1ｙｉ,称点Ｇ( ｘ , ｙ)为闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…ＡｎＡ1的重心 .定理 1　在平面闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…     

凸折线方程及其应用

定义　在平面上沿折点连结的方向 ,存在某一直线 ,使折线的每一线段或射线在这一直线上的投影不重叠 ,称这类折线为凸折线 ,若不存在这样的直线 ,则称这类折线为凹折线 .对一般凸折线 ,以投影轴为ｘ轴建立平面直角坐标系 ,可得凸折线方程形式 :ａｘ ｂｙ ｃ=∑ｎｉ=1ａｉ｜ｘ-ｘｉ｜ ,其中ｘ1 <ｘ2 <…… <ｘｎ,若在两区间 (-∞ ,ｘ1 ]与 [ｘｎ, ∞ ]上的射线倾角互补 ,则折线方程可设为ｙ =∑ｎｉ=1ａｉ｜ｘ-ｘｉ｜的形式 ,其中两区间斜率分别为ｋ =- ∑ｎｉ=1ａｉ 与ｋ =∑ｎｉ=1ａｉ.一般凸折线方程的建立 ,可参见文 [1 ]命题3 ,本文对…     

双圆封闭折线一类特例研究

杨之先生在其名著[1 ] 中倡导研究的“双圆多边形”是指既有外接圆又有内切圆的多边形 .仿此 ,我们给出下面的定义　若一条封闭折线的顶点都在一个圆上 ,每条边都与另一个圆相切 ,则称该折线为双圆封闭折线 .相应地 ,若它的边数为 n,环数为 k,则称为 n边 k环双圆封闭折线 .图 1     

与外周界中点三角形有关的不等式

文 [1]给出了三角形的周界中点的定义 :定义 1　如果三角形一边上的一点和这边所对的顶点把三角形的周界分为两条等长的折线 ,那么就称这一点为三角形的周界中点 .由于三角形任意两边之和大于第三边 ,因而三角形任一边上的周界中点必为这边的内点 .因此 ,我们不妨称定义 1中的周界中点为该三角形的内周界中点 ,以三个内周界中点为顶点的三角形称为该三角形的内周界中点三角形 .类似地 ,我们可以建立三角形的外周界中点及外周界中点三角形的概念 .定义 2　若将三角形的一条边延长 ,使其延长部分等于另两边之和 ,那么就称这条边与其延长部分构…     

三条线段构成三角形的条件

<正>由两点之间线段最短容易得到:三角形任两边之和大于第三边,反过来,三条线段a、b、c若能构成一个三角形,需要同时满足三个条件:■若已知其中两线段的大小关系,不妨设b≥c,此时,a+b>c已成立,三个条件可以简化为两个条件:b-c相似文献   

一种双割线折线法求解信赖域子问题

结合利用Hessian阵的特征值性质,本文提出求解信赖域子问题的一种双割线折线法,它不同于Powell的单折线,Dennis的双折线和赵英良的切线单折线.在适当条件下,分析双割线折线路径的性质,且证明了算法的收敛性.数值试验表明,这种新算法是有效且可行的.     

解信赖域子问题的隐式分段折线算法

在Hessian矩阵正定的前提下,建立了一种最优曲线的微分方程模型.针对此微分方程模型,构造了一条隐式分段折线,从而提出了一种求解信赖域子问题的隐式分段折线算法,并且分析和证明了隐式分段折线路径的合理性.数值结果表明新算法是有效且可行的.     

空间上“点在线上”的证明

空间中证明“点在线上”主要根据立几的公理二。其证法步骤如下: (1)分析出要证的直线是哪两个平面的交线; (2)再证明要证的点是这两个平面的公共点; (3)由立几公理二,点必在线上。例1 三个平面两两相交,有三条交线,若这三条交线两两相交,则三条交线交于一点。分析:证三线共点可转化为证其中两线的     

合星形与素星形

图1(a)是由一条封闭折线组成的图形,它可以一笔画成。我们称为素星形(又称为独立星形)。关于素星形的生成,有如下基本定理: 对于排成一圈的n个点,从某一点A_1开始,顺次连结相隔r(1≤r 1相似文献