圆的直径式方程在解题中的妙用

我们知道,如果已知圆的直径的两个端点分别为M(x1,y1),N(2,y2),那么设P(x,y)是该圆上的任意一点,则借助于两个向量…=(x-x1,y-y1),…P=(x-x2,y-y2)垂直的等价条件,很容易得圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,常称此方程为圆的直径式方程.这个结论看似很"无用",若已知直径两端点很容易求出圆心和半径,何必要如此求?下面举例介绍圆的直径式方程在解题中的妙用.     

对一道课本习题的探讨

已知一个圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:圆的方程是(x-x1)(x-x2) (y-y1)(y-y2)=0. 这是人民教育出版社,全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)数学第二册(上)P82第3题.这道习题给出了圆方程的又一种形式,称为圆的两点式方程,对它进行探讨,可以比较简单地解决与之相关的数学问题.     

巧用圆的一种方程解题一例

众所周知,我们已学过圆的标准方程、一般方程、参数方程,甚至还有圆的向量、复数方程等等．圆的方程真可谓济济一堂．但我们可能忽略了课本习题中给出的圆的另一种形式的方程,即平面直角坐标系内,以A(x1,y1), B(x2,y2)为直径端点的圆方程为(x-x1)(x—x2) (y-y1)(y-y2)=0,该方程具有轮换对称、简洁的特点．但平时其运用不多见,以下举例说明其妙用．     

关于一个不等式的初等证明及其推广

文[1]提出了一个对称不等式: 命题1 已知x,y∈R+,且x+y=1,则 2<(1/x-x)(1/y-y)≤9/4. (1) 文[2]用微分法证明了不等式(1)的三元推广: 命题2 已知x,y,z∈R+,且 x+y+z=1,则(1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)3.(2) 文[2]在文末问道:不等式(2)是否存在初等证明?     

设直线方程须防漏解

1．设两点式的直线方程 直线方程的两点式为y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1,适用于x1≠x2,且,y1≠y2,若把两点式化为（x-x1）（y2-y1）=（y—y1）（x2-x1）,表示平面内过任意两个已知点的直线方程．     

求点关于直线对称点坐标的一种简捷方法

求点P(x0,y0)关于直线l:Ax By C=0(AB≠0)的对称点Q(x,y)的一般方法是解方程组y-y0x-x0.(-AB)=-1A(x x0)2 B(y y0)2 C=0(1)(2)(*)但对学生来说,此方程组列出容易,解起来比较复杂,特别当A、B数值不太凑巧时,出错率较高.笔者在教学过程中,惊喜地发现求点关于直线的对称点坐标可以     

直线与椭圆位置关系的一个判定定理的简证

文[1]证得下面: 定理若直线ι:Ax By C=0,(A2十B2≠0)与椭圆c:(x-x0)2/a2 (y-y0)2=1有公共点,则有:(Aa)2 (Bb)2≥(Ax0 By0 C)0. 本文给出上述定理的一个简单证明. 证明设x-x0/a=X,y-y0/y=Y,即x=x0 aX,y=y0 bY.则直线ι与椭圆c有公共点(?)方程组     

从一道课本例题开始的研究性学习

在高中数学课本的《圆》这一章节中 ,有这么一道例题 :已知圆C的方程是x2 +y2 =r2 ,求证 :经过圆C上一点M(x1 ,y1 )的切线的方程是x1 x+y1 y=r2 .课本上给出的证明是 :方法一 :当OM与坐标轴都不垂直时 ,设直线OM的斜率为k1 ,切线斜率为k,根据圆的切线性质 ,得k=- 1k1 .因为k1 =y1 x1 ,所以k=- x1 y1 .于是经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是 y-y1 =- x1 y1 (x-x1 ) .经过整理 ,得xx1 +yy1 =r2 .当OM垂直于x轴时 ,经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是x =x1 ;当OM垂直于 y轴时 ,经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是 y=y1 .显然分别是在y1 =0或x1 =0时 ,方…     

一个猜想不等式的推广

文[1]给出了如下代数不等式:设x,y,z∈R 且x y z=1,则(1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)3(1)并在文末提出了如下猜想不等式:     

一道课本题的研究价值、解法探讨与问题拓展

1 题目与研究的价值 1.1 题目已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由(苏教版高中课程标准实验教科书数学必修2第116页第27题).     

对一个代数不等式的另证、加强与推广

问题1:已知x,y,z是正数且x+y+z=1,求证:(1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)3.文[1]利用均值不等式给出问题1一个简单初等证明,为便于学生的理解与掌握,文[2]给出该不等式的一个加强形式:     

以二次曲线的弦为直径的圆方程在解题中的应用

在解析几何中有些问题涉及到以二次曲线的弦为直径的圆方程 ,若用求圆心和半径的方法来解 ,一般较为麻烦 .这里介绍一种较简单的解法 .先来看一个结论 :若直线l与二次曲线C有两个交点A ,B ,则将直线l与二次曲线C的方程联立 ,分别消去y和x ,所得的关于x和y的两个一元二次方程 (让二次项系数相等 )相加即得以AB为直径的圆方程 .应用上述结论的思路解决二次曲线中有关问题是比较方便的 .下面举几个例子介绍有关问题的这种解题模式 .例 1　设过坐标原点的直线l与抛物线C :y2=4(x - 1 )交于A ,B两点 ,且以AB为直径的圆恰好经过抛物线C的焦点…     

对一道直线与圆问题的分析及思考

直线和圆的基础知识只是解决问题的基本元素.怎样把这些基本元素紧密结合起来,去解决更深奥的问题,这才是学习数学的根本目的.例如:圆C的半径为3,圆心C在直线2x+y=0 上,且在x轴的下方,x轴被圆C截得的弦长为2√5.(1)求圆C的力程.(2)是否存在以斜率为1的直线l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.     

椭圆切线方程的两种巧妙求法

<正>问题求椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程.求椭圆上某点处的切线方程,通常是设出过切点的直线y-y0=k(x-x0),联立直线与椭圆方程,由判别式Δ=0求解,往往计算量较大,容易望而却步;不少资料书上虽然给出了结论x0x/a2+y0y/b2=1,但鲜有推导结论的方法,很多同学一知半解.授人以鱼,不如授人以渔,数学中不少结论和公式的推导过程本身蕴含着丰富的思想和方法,它们是我们进行研究性     

求二次函数解析式“三注意”

<正>二次函数解析式是函数一章的重点内容,求二次函数的解析式不仅用到二次函数的有关知识,而且还用到一些数学方法例如配方法、待定系数法,必须认真学好,并注意以下三个问题:一、注意掌握解析式的三种基本形式1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0),即二次函数的定义式.2.顶点式:y=a(x+m)2+n(a≠0),其中(-m,n)是抛物线的顶点,x=-m是对称轴.这种形式是由一般式经过配方得来,所以这种形式也叫配方式.3.双根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标或方程     

圆的直径式方程

<正>若圆的直径的两个端点为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则此圆的方程可这样求:设圆上任一点为P(x,y),我们有AP⊥BP,即AP·BP=0.而AP=(x-x_1,y-y_1),BP=(x-x_2,y-y_2).∴圆方程为(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0,即x²+y2+y²-(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(x_1x_2+y_1y_2)=0.     

求两圆根轴方程方法的一个活用

在课外资料上我碰到这样一道题：已知圆C：x^2 y^2-2x 4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．     

多种方法确定二次函数表达式

我们知道,根据已知条件确定二次函数表达式有三种表达式可供选择:(1)一般表达式:y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0);(2)顶点表达式:y=a(x-h)2+k,其中顶点为(h,k),a≠0;(3)交点表达式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1、x2是抛物线与x轴两交点横坐标).     

逆用两个不等式解集的等式

我们熟知两个二次不等式解集的等式 {x|a(x-x1)(x-x2)<0}={x|x10}={x|xx2), 其中a>0且x1-2x的解集为(1,3)．若f(x)的晟大值为正数,求a的取值范围．     

2007年上海市初中学业考试数学试卷

一、填空题:(本大题共12题,满分36分)1.计算:(3)2=.2.分解因式:2a2-2ab=.3.化简:1x-x 11=.4.已知函数f(x)=x3 2,则f(1)=.5.函数y=x-2的定义域是.6.若方程x2-2x-1=0的两个实数根为x1,x2,则x1 x2=.7.方程1-x=2的根是.8.如图1,正比例函数图象经过点A,该函数解析式是.图1图29.如图2,E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连结AE,交边CD于点F.在不添加辅助线的情况下,请写出图中一对相似三角形:.10.如果两个圆的一条外公切线长等于5,另一条外公切线长等于2a 3,那么a=.11.如图3,在直角坐标平面内,线段AB垂直于y轴,垂足为B,且AB=2,如果将线…