由群G的｜（G）｜确定G的构造

由群Ｇ的｜（Ｇ）｜确定Ｇ的构造黄本文（武汉大学数学系，武汉，４３００７２）关键词自同构群，Ａｂｅｌ群，群构造中留法分类号Ｏ１５２·ｌ１主要结果定理ＩＧ是有限交换群，当卜（Ｇ）ｌ—ＺＰｑ（Ｐ，ｑ为互异奇素数）时，则Ｇ最多有６型：ＧＩ二二ＣＩＷ＋ＩＧ２二...     

|A(G)|＝25p2(p为奇素数)的有限Abel群G

利用有限Abel群G的自同构群A(G)的阶来讨论群G的构造,根据有限交换群的性质,推导出了|A(G)|＝25p2(p为奇素数)的有限Abel群G的全部类型.当p＝3时,G有38型;当p＝5时,G有19型;当p＝17时,G有3型;当p≠3,5,17时,G最多有34型.     

|A(G)|=28p(p为奇素数)的有限Abel群G的构造

利用有限Abel群G的自同构群A(G)的阶来讨论群G的构造,根据有限交换群的性质,推导出了|A(G)|=28p(p为奇索数)的有限Abel群G的全部类型.当p=3时,G有57型;当p=5时,G有34型;当p=17时,G有16型;当p=257时,G有2型;当p≠3,5,17,257时,G最多有60型.     

有向Cayley图的直径

设Ｇ是一个有限Ａｂｅｌ群，Ｍ是Ｇ的一个二元生成集．Ｇ上的有向Ｃａｙｌｅｙ图Ｄ（Ｃ，Ｍ）是一个以Ｇ为顶点集的有向图，若ｘ，ｙ∈Ｇ，则存在ｘ到ｙ的弧当且仅当ｙ－ｘ∈Ｍ．Ｎ个顶点的所有这种有向Ｃａｙｌｅｙ图的最小直径和平均距离是多少？我们将此问题转化为一个几何问题并由此得到了直径的一个下－２和平均距离的一个下界．这两个界仅当Ｎ＝３ｘ２时可达，这里ｘ是任一自然数．     

一类23p2q阶群的构造

利用有限群的性质,运用群扩张和数论的理论,给出了当p,q是不同的素数且p＜q,23p2q阶群G在具有p2q阶循环正规子群A时的构造如下:①当B为循环群时,有22型;②当B为[4,2]型交换群时,有19型;③当B为初等交换群时,有5型;④当B为四元数群时,有5型;⑤当B为二面体群时,有10型.     

关于Faudree－Schelp定理的改进

一个图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是［ｌ，ｍ］－路连通的，如果在Ｇ的任意一对节点ｘ与ｙ之间有长为ｋ－１的路Ｐｋ（ｘ，ｘ），ｋ＝ｌ，ｌ＋１，…，ｍ．Ｇ具有性质Ｐ（ｋ），如果对Ｇ的任何一对距离为２的节点ｘ和ｙ，有ｄ（ｘ）＋ｄ（ｙ）≥ｋ．本文作者探讨了一类Ｐ（ｋ）图的路连通性，改进了Ｆａｕｄｒｅｅ－Ｓｃｈｅｌｐ定理，得到了以下的定理１设Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是ｎ阶Ｐ（ｎ—１）图．如果Ｇ是［ｎ－１，ｎ］－路连通的，则Ｇ是［８，ｎ］－路连通图（ｎ≥８）．定理２设Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是ｎ阶３－连通Ｐ（ｎ）图（ｎ≥５）．如果Ｇ的独立数α（Ｇ）＜ｎ／２，则Ｇ是［５，ｎ］－路连通图．     

极大子群均为Dedekind群的群

运用内外－∑群的理论对极大群均为Dedekind群的群进行了研究，给出了这类群的完全分类，结果为：有限群G的极大子群均为Dedekind群当且仅当G为：（1）Dedekind群；（2）p^mq^n阶内－A－belian-群；（3）3^m2^3阶内－3－闭群；（4）内－Abelian-p-群（除去四元数群）；（5）2^4阶广义四元数群。     

一类阶为2·11·pn的群的构造

利用可解群的性质,通过群的扩张理论,给出了Sylowp-子群为循环群时2.11.pn(p≠3奇素数)阶群的构造:①当p≠5,7时,若p≡1(mod 11),有6型;若p 1(mod 11),有4型;②当p=5时有6型;③当p=7时有4型.     

自同构群的基柱为交错群的区组设计

2-（v,k,1）设计的自同构群的传递性强烈地影响着设计的结构，Buekenbout等人在2-（v,k,1）设计有旗传递自同构群的假设下几乎决定出所有可能的设计，此后人们转而研究具有区组传递的自同构群的设计，我们证明了，若一个2-（v,k,1）设计D有一个自同构群G在D上区组传递、点本质，且G的基柱为交错群，则D为2元域上3维射影空间而G=A7或A8。     

Able群上Cayley图的哈密顿性

设G是群，S是G的不含单位元的子集，满足S＝S^1，G的相对于S的Cayley图，是一个以G为顶点集的无向图，对G的任意两上元x和y,x和y在C（G，S）中相邻，当且今当x^2y∈S，本文中我们得到了以下结论：（1）设G是阶至少为2的有限Abel群，S真包含于G\{0}且S＝S^1，则C（G，S）中每个二长路都包含在一个哈密顿圈中。（2）设G是可数无限Abel群，S真包含于G\{0}满足S＝S^1和|S|≥4。则C（G，S）中每个长为2的路含有一条双向哈密顿路上。（3）有限Able群上围长为3，阶数至少为3的连通Cayley图是泛圈的。（4）设G是可数无限Able群，S真包含于G\{0}满足S＝S^1和|S|≥，若girth[C(G,S)]=3,则C（G，S）是泛圈的。     

2-（v,p,1)设计的可解区传递自同构群

设P是一个奇素数,（G,J）是一个对,这里J是一2-（v,p,1）设计,G是J的一个可解区传递自同构群．如果u〉（p3/4＋1）^p-1,则v是一个素数q的方幂,且G要么旗传递,要么G≤AГL（1,u）．进一步,当n为奇数时,p=q或G是奇阶的．     

一类2-(v,k,1)设计的可解区传递自同构群

设G是一个2-（v,k,l）设计的可解区传递自同构群,且k≥3．若v〉（k（k-1）/2-1）^2,则v=p^n,其中p为素数．进一步,当n为两个不同奇素数幂的乘积时,G是旗传递的或者G≤AГL（1,p^n）．     

一类有限群构造的新证明

利用Fitting子群的特性及子群的扩张原理,证明了一类非交换群的构造即2     

关于一个猜想的探讨

作者在文献[1]中证明了一个结果:有限群G如果满足|P(G),p|=1,则G为P~-可解群。本文将指出,这个论断的逆命题不成立。并且还指出,满足条件(|P(G)|,p)=1的有限群也不一定是p~-超可解群。     

P2-阶子群X-ss-半置换的有限群

设G是有限群,X是G的一个非空子集,子群H称为在G中X-ss-半置换,若H在G中有补充子群T,对于T的任意Sylowp-子群P,只要(p,|H|)=1,就存在x∈X使得HP^x=P^xH。通过对p²-阶子群的X-ss-半置换性研究,得到了p-幂零群的新判断。     

P2-阶子群X-ss-半置换的有限群

设G是有限群，X是G的一个非空子集，子群H称为在G中X-ss-半置换，若H在G中有补充子群T，对于T的任意Sylowp-子群P，只要(p,|H|)=1，就存在x∈X使得HP^x=P^xH。通过对p²-阶子群的X-ss-半置换性研究，得到了p-幂零群的新判断。     

极大子群的性质对有限群结构的影响

设H为有限群G的一个子群。称H在G中是s-半正规的,若对任意的素数p||G|,只要(p,|H|)=1,就有PH=HP,其中P∈Sylp(G);称H在G中是c-可补的,若存在G的子群N,使得G=HN且H∩N≤HG=CoreG(H)。证明了下面定理设F是一个包含超可解群类U的饱和群系,H△G,且G/H∈F。则G∈F,若下列条件之一成     

有限群在某个极小子群共轭类上的传递性

有限群在某个极小子群共轭类上的某种传递性影响或决定群的构造.运用抽象群和置换群的理论得到:(1)如果有限群G共轭作用在它的所有极小子群上传递,G一定是循环P-群或广义四元数群;(2)如果有限群G在它的某个极小子群共轭类上二重传递,G是某些特殊的群的扩张;(3)如果有限群G是一个几乎单群,G在某个极小子群共轭类上二重传递,G的Socle一定是以下子群之一:PSL(2,P),PSU(3,P2),PSL(2,8).     

子群的半覆盖-远离性与有限群的可解性

有限群G的子群H称为在G中具有半覆盖-远离性质,若存在G的一个主群列1=G0相似文献