Impulsive rotatory motion of a circular disk in a viscous fluid

Zusammenfassung Es wird eine analytische Methode für die Bestimmung der Geschwindigkeit der Strömung und der Winkelgeschwindigkeit einer kreisförmigen Scheibe gegeben, die in einer zähen, inkompressiblen Flüssigkeit einen Drehstoss erhält.

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This research was sponsored by the US. Army under contract no. DA-11-022-ORD-2059 with the University of Wisconsin.     

On the scattering of waves by a disk

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass das Problem, die Beugung einer ebenen Welle an einer kreisförmigen Öffnung oder Scheibe zu bestimmen, auf die Lösung von regulären Fredholmschen Integralgleichungen zweiter Art zurückgeführt werden kann. Die Lösungen dieser Integralgleichungen liefern uns für die Scheibe im Falle der Neumannschen Bedingung die radiale Variation der Unstetigkeiten der Wellenfunktion und im Dirichletschen Falle die Unstetigkeiten ihrer normalen Ableitung. Ist das Produkt von Öffnungsradius und Wellenzahl klein, so können die Integralgleichungen gelöst werden. Für die Ableitung der Integralgleichungen verwenden wir einerseits die Poissonsche Darstellung für die Wellenfunktion und andererseits die Fortsetzung der Helmholtzschen Darstellung in die komplexe Ebene.     

Similarity solutions for expansion of a hole in anisotropic plastic disks

Zusammenfassung Es werden Ähnlichkeitslösungen hergeleitet für die Ausweitung eines kreisförmigen Loches mit verschwindendem oder endlichem Anfangsradius in einer unendlich ausgedehnten, achsensymmetrischen, anisotropen Scheibe mit ungleichförmiger Anfangsdicke. Dabei wird ein lineares Verfestigungsgestz zusammen mit Fliessfunktionen nach von Mises bzw. Trescas und den zugehörigen Fliessregeln benutzt. Eine vollständige geschlossene Lösung wird für die Trescasche Fliessfunktion samt zugehöriger Fliessregel hergeleitet. Entsprechende Resultate folgen mit der von Misesschen Fliessfunktion nebst Fliessregel; die Darstellung dieser Resultate ist jedoch nicht in geschlossener Form möglich. Zwei illustrative Beispiele werden im Detail gegeben, um die Grundresultate zu demonstrieren, speziell die Effekte der Anisotropie und der Verfestigung.

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The results of this paper were obtained in the course of research sponsered under Contract No. N00014-67-A-0109-0003, Task NR 064-496 by the Office of Naval Research, Washington, D.C.     

Optimal structural design for given stiffness in stationary creep

Zusammenfassung Eine allgemeine Methode der optimalen Tragwerksbemessung für vorgeschriebene Steifigkeit in stationärem Kriechen wird am Beispiel einer Scheibe mit veränderlicher Dicke erläutert, die gegebene Lasten längs eines Teils ihrer Berandung trägt und längs der übrigen Berandung starr unterstützt ist. Für einen vorgeschriebenen Wert der Kriechsteifigkeit (=Leistung der Lasten an den Geschwindigkeiten des stationären Kriechens) soll die Scheibe mit dem geringst möglichen Aufwand eines bestimmten Materials mit bekannten Kriecheigenschaften ausgeführt werden.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored under Contract No. N00014-67-A-0109-0003, Task NR 064-496 by the Office of Naval Research, Washington, D.C.     

Some separated Stokes flows

Summary Stokes flow separation past a spherical cap or a circular disc is studied for the axisymmetric case by means of flows generated by the following singularities: A Stokeslet, a Stokeslet dipole, a source and a dipole. We find that the flow separates at the rim of the cap or disc and when the singularity is far, the flow field is qualitatively similar for all singularities considered and has a separation bubble on the concave side of the cap or on the side of the disc shielded from the singularity. When the singularity is not very far from the cap or disc the structure of the flow field depends on the singularity. In the case of the cap, for instance, for a Stokeslet there is just one separation bubble which occurs on the convex or concave side of the cap depending on whether the Stokeslet is within or outside the sphere of the cap, whereas for a dipole either one, two or three bubbles are formed and the structure and location of these bubbles depend on the position of the singularity and the cap angle. Also there are configurations where the cap experiences no thrust.

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Zusammenfassung Es wird die Ablösung der Stokes-Strömung entlang einer Kugelkappe oder einer kreisförmigen Scheibe im axisymmetrischen Fall untersucht, wobei die Strömung durch die folgenden Singularitäten erzeugt wird: ein Stokeslet, ein Stokeslet-Dipol, eine Quelle und ein Dipol. Ablösung wird an der Kante der Kappe oder der Scheibe gefunden wenn die Singularität sich im Fernfeld befindet. Die Strömung ist qualitativ ähnlich für alle Singularitäten, und das Ablösungsgebiet befindet sich auf der konkaven Seite der Kappe oder auf der Seite der Scheibe welche von der Singularität abgeschirmt ist. Bei der Singularität im Nahfeld ist das Strömungsbild von der Singularität abhängig. Es werden verschiedene Beispiele behandelt. Es gibt auch Konfigurationen in denen auf die Kappe kein Schub wirkt.

     

On the natural frequencies of standing water waves in a canal of arbitrary shape

The small amplitude natural oscillation of liquid in a partially filled canal of arbitrary shape is investigated. The method is based on potential theory. The field equation subject to the appropriate boundary conditions is transformed into an integral equation, which is then solved numerically. Two specific geometries were chosen for the numerical examples; namely, a circular canal with arbitrary depth of liquid, and half full elliptical canals with various eccentricities. The results are presented and discussed.

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Zusammenfassung Die natürlichen Flüssigkeitsschwingungen kleiner Amplituden in einem teilweise gefüllten Kanal von beliebiger Gestalt werden untersucht. Die Methode basiert auf der Potentialtheorie. Die Feldgleichung mit den entsprechenden Randbedingungen wird in einer Integralgleichung transformiert, die dann numerisch gelöst wird. Als Beispiele wurden ein kreisförmiger Kanal mit beliebiger Flüssigkeitshöhe und ein halbgefüllter elliptischer Kanal mit verschiedenen Exzentrizitäten ausgewählt. Diese Beispiele werden numerisch ausgewertet und die Ergebnisse diskutiert.

     

The method of the kernel function in the theory of elastic plates

Zusammenfassung Diese Arbeit befasst sich mit der Anwendung der Bergmanschen Methode der Kernelfunktion auf die Probleme der Statik dünner elastischer Platten. Die Bergmansche Methode besteht im wesentlichen aus 1) der Erzeugung eines vollständigen Satzes partikulärer Lösungen der Differentialgleichung, 2) der Orthogonalisierung dieses Satzes in einem geeigneten Sinne und 3) der Approximation der Lösung von den gegebenen Randwerten aus durch lineare Kombination der Orthogonalfunktionen. Mit Hilfe dieser Methode werden die Durchbiegungen und Randmomente einer Halbkreisplatte mit eingespanntem Rand für gleichmässig verteilte und linear veränderliche Vollbelastung gefunden und mit den Ergebnissen einer anderen Untersuchung verglichen.

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This work was sponsored partly by the Southwest Research Institute, San Antonio, Texas, and partly by the National Bureau of Standards, Washington, D. C.     

Extension of a perturbation-expansion method to strong-interaction boundary-layer problems,with application to vorticity interaction

Zusammenfassung Eine Methode der Störungs-Entwicklungen wird modifiziert, um die Behandlung einer Klasse von Grenzschichtproblemen mit starker Wechselwirkung zu ermöglichen. Es wird für eine vereinfachte Hyperschallströmung um einen stumpfen Körper die Wirkung der Rotation in der freien Strömung auf die Grenzschicht untersucht. Die Wechselwirkungstheorie von Hayes ergibt sich als erste Näherung in dieser Systematik. Die Theorie von Hayes wird auch mit anderen Resultaten von asymptotischen Entwicklungen in Beziehung gebracht, die in dieser Arbeit dargelegt werden.     

The axial displacement of a disc inclusion embedded in a penny-shaped crack

The present paper examines the axisymmetric problem of the axial translation of a rigid circular disc inclusion of finite thickness which is wedged in smooth contact in a penny-shaped crack. Results for the axial stiffness of the embedded inclusion and the stress intensity factor at the boundary of the penny shaped crack are evaluated in exact closed form.

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Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit untersucht das axisymmetrische Problem der axialen Verschiebung einer starren eingebetteten Kreisscheibe mit bestimmter Dicke, die in einer reibungslosen pfennigförmigen Spalte eingekeilt ist. Ergebnisse für die axiale Steifigkeit der eingebetteten Scheibe und der Druckintensitätsfaktor am Rande der pfennigförmigen Spalte sind als eine genaue geschlossene Lösung angegeben.

     

Symmetric deformation of a circular cylindrical shell of variable wall thickness

Zusammenfassung Es werden für die Differentialgleichung der Biegung einer zylindrischen Schale mit kreisförmigem Querschnitt und veränderlicher Wandstärke Lösungen in Form bekannter Funktionen angegeben.

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Supported by the Office of Naval Research under contract with the Massachusetts Institute of Technology.     

On relative measurements of the viscosity of gases by the oscillating-disk method

Zusammenfassung Die Abhandlung enthält die Ableitung einer Arbeitsgleichung für Relativmessung der Zähigkeit, bei der nach der Methode der oszillierenden Scheibe eine dünne Scheibe zwischen zwei feststehenden Platten Drehschwingungen ausführt. In der Formel ist der Randeinfluss nachKestin undWang durch den sogenannten Randkorrekturfaktor berücksichtigt. Dieser aus dem Verhältnis des wirklichen Reibungsmomentes zum theoretischen sich ergebende Faktor ist abhängig von der Geometrie der experimentellen Anordnung, deren Abmessungen mit der Grenzschichtdicke dimensionslos gemacht sind.Da vonKestin undWang für Anordnungen mit sehr grossen und sehr engen Spalten früher schon Formeln gebracht wurden, beschränkt sich die Ableitung hier auf mittlere Spaltweiten.Um die Richtigkeit der der Arbeitsgleichung zugrunde liegenden hauptsächlichen Annahmen zu überprüfen, wurden die nach dem Relativverfahren gewonnenen Werte mit neuen und sehr genauen kürzlich vonKestin undLeidenfrost durchgeführten Absolutmessungen verglichen. Es ergab sich eine Übereinstimmung von 0,1%.     

The nature of heat transfer from an enclosed rotating disk

Zusammenfassung Es wird ein Verfahren zur Berechnung des Wärmeübergangs an einer eingeschlossenen rotierenden Scheibe angegeben, und zwar für laminare Bewegung eines inkompressiblen Mediums. Die Fälle konstanter Gehäusewandtemperatur und isolierter Gehäusewand werden untersucht. Im letzteren Falle werden die Ergebnisse stark beeinflusst durch den Radius, bei welchem das durchströmende Medium eingeführt wird. Die anderen massgebenden Parameter sind die mit der Spaltweite zwischen Scheibe und Gehäuse gebildete Reynoldszahl sowie die Prandtlschen und Eckertschen Kennzahlen.     

The stability of flow between concentric cylindrical surfaces with a circular magnetic field

Zusammenfassung Das Stabilitätsproblem für Taylorströmungen und Deanströmungen mit kreisförmigem magnetischem Feld wird formuliert. Bekannte Ergebnisse werden kurz zusammengefasst und beschrieben. Neue Ergebnisse betreffend die Stabilität von Deanströmungen, mit leitenden und mit nichtleitenden Wänden, werden gefunden. Das Eigenwertproblem wird mittels der Galerkinschen Methode gelöst.

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Prepared under support from the Office of Naval Research, Department of Navy, USA, Contract Nonr-3731 (OO) (FBM).     

Simple waves and shock waves in a thin prestressed elastic rod

Zusammenfassung Ein halb-unendlicher dünner elastischer Stab wird einer monoton ansteigenden Störung am freien Ende unterworfen. Die unstetige Wellenbewegung für endliche Verzerrungen wird untersucht, und die Bedingungen zur Bildung von Stössen werden aufgestellt. Eine implizite Lösung für die Wellenbewegung im Gebiete einfacher Wellen wird mittels der Methode der Charakteristiken erhalten. Eine andere und explizite Lösung in diesem Gebiete wird gefunden durch Anwendung der Theorie sich fortpflanzender Diskontinuitätsflächen, als eine Taylor-Reihe um die Ankunftszeit der Wellenfront. Es wird gezeigt dass der Koeffizient des ersten Gliedes in der Entwicklung eine Lösung für eine homogene nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung ecster Ordnung darstellt. Die übrigen Koeffizienten befriedigen lineare, jedoch inhomogene gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten. Für den Fall einer rampenartigen Belastung und für Stossbildung an der Wellenfront wird für schwache Stösse durch Anwendung einer Methode von Friedrichs die Vereinigung von einfachen Wellen untersucht. Als Beispiel wird die Entlastung eines Stabes betrachtet, der einer anfänglichen Dehnung von 50% unterworfen ist.     

Motion of a circular viscoplastic plate subject to projectile impact

A method is presented for the solution of problems involving the impact on circular plates of projectiles moving with velocities high enough to produce plastic deformations. The plate material is assumed to obey the Mises-Huber yield condition and its associated flow rule for static deformations and behave as a viscoplastic solid for dynamic deformations. The nonlinear constitutive equations of the material are partially linearized in such a way as to allow the required result to be obtained by superposition of the static rigid perfectly-plastic solution and the dynamical elastic solution of equivalent problems. The method is illustrated by application to the case of a clamped plate struck at the center by a projectile of negligible radius.In addition a method for the rapid estimation of the motion of the projectile after impact is given and the result for the time required to bring the projectile to rest and the consequent central deflection of the plate are obtained.

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Zusammenfassung Es wird eine Methode zur Lösung von Problemen beschrieben, die sich im Zusammenhang mit dem Aufschlag von Geschossen auf kreisförmige Platten ergeben; dabei soll die Geschossgeschwindigkeit so hoch sein, dass plastische Deformationen auftreten. Das Plattenmaterial soll der Mises-Huberschen Fliessbedingung und dem zugehörigen Fliessgesetz für statische Deformationen genügen und sich für dynamische Deformation wie ein viskoplastischer Festkörper verhalten. Die nicht linearen Stoffgleichungen des Materials werden teilweise linearisiert, so dass das gesuchte Resultat als Superposition der statischen starr-ideal-plastischen Lösung und der dynamisch-elastischen Lösung erhalten werden kann. Die Methode wird durch Anwendung auf den Fall einer eingespannten Platte veranschaulicht, auf deren Mittelpunkt ein Geschoss von vernachlässigbarem Radius auftrifft.Ausserdem wird eine Methode zur Abschätzung der Geschossbewegung nach dem Einschlag gegeben und die Zeit vom Aufprall bis zum Stillstand des Geschosses sowie die resultierende Auslenkung des Scheibenmittelpunktes berechnet.

     

On the torsional oscillations of a plane with large suction

Zusammenfassung Es wird der Einfluss des Absaugens auf die durch Torsionsschwingungen an einer Scheibe erzeugte Strömung untersucht.     

Finite elastic deformations of bodies with irregular shapes

Zusammenfassung In der Theorie endlicher Deformationen elastischer Festkörper sind jene Probleme, für die exakte Lösungen verfügbar sind, beschränkt auf Körper, deren gespannte und entspannte Zustände durch Koordinatenflächen eines der bekannten und allgemein verwendeten Koordinatensysteme begrenzt sind, und die daher symmetrische Eigenschaften in hohem Grade besitzen. Diese Abhandlung entwickelt eine Methode, mit deren Hilfe man Lösungen für endliiche Deformationen erhalten kann, und zwar für Körper, deren nichtdeformierte Form eine Perturbation der nichtdeformierten Form eines anderen Körpers ist, für den eine endliche Deformationslösung schon verfügbar ist. Diese Methode wird verwendet zur Bestimmung einer Lösung zu dem Problem der endlichen Streckung und Torsion eines elliptischen Zylinders, dessen Verhältnis von Hauptachse zu Nebenachse nahezu eins ist. Im Weiteren erleichtert diese Methode eine Analyse des Problems einer endlichen Ausdehnung für zwei Fälle achsensymmetrischer Körper: 1. Der Körper ist ein Kreiszylinder in allen Punkten ausserhalb eines Streifens endlicher Länge, wo seine nichtdeformierte Form eine Perturbation des Kreiszylinders ist. 2. Der Körper wird erhalten durch Rotation einer Sinuskurve um die Symmetrieachse.     

Verkehrsplanung einer Großstadt

Zusammenfassung Die im voranstehenden dargelegte Methode setzt sich das Ziel, mit naturwissenschaftlichen Methoden quantitative Aussagen bei der Analyse und Prognose des Verkehrs einer Großstadt zu machen. Sie erhebt zwar weder den Anspruch, sämtliche Verkehrsprobleme zu lösen, noch soll behauptet werden, daß es sich dabei um das einzig mögliche Verfahren handelt. Die geschilderte Methode besitzt aber den Vorteil, daß sie in der Praxis bereits mit geringen Kosten zu brauchbaren Ergebnissen geführt hat.Alle Entwicklungen auf diesem Gebiet stehen jeden Interessenten grundsätzlich zur Verfügung, nur legt das Mathematische Labor, das in Zusammenarbeit mit allen zuständigen Stellen der Wiener Verkehrsplanung die Entwicklungsarbeiten durchgeführt hat, Wert darauf, als Sammelpunkt der Erfahrungen bei der Durchführung an anderen Orten zu fungieren. In einem Fall wurde von einer deutschen Stelle bereits konkreter Gebrauch von der dargelegten Möglichkeit gemacht. Das lebhafte Interesse nationaler und internationaler Instanzen für die Wiener Bearbeitung läßt hoffen, daß sich die Städteplaner in steigendem Maße bei ihren immer schwierigeren Aufgaben naturwissenschaftlicher Hilfsmittel bedienen werden.     

Applications of variational principles in finite elasticity

Summary For some equilibrium states of a finitely deformed elastic body, variational principles can be used to provide bounds on overall quantities of physical interest. The principles are applied to the problem of the allaround finite extension of a plane sheet with a circular hole, and accurate estimates for the stress resultant at the outer edge are obtained for various extensions. The finite extension and torsion of an elastic cylinder is considered and bounds on the strain energy per unit length are obtained for an elliptical cylinder of neo-Hookean material with axes in the ratios of 2:1 and 4:1. The bounds lead to reliable estimates for the twisting moment and axial force.

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Zusammenfassung Für gewisse Gleichgewichtszustände eines endlich deformierten elastischen Körpers können Variationsprinzipien verwendet werden, um Schranken für globale Grössen von physikalischem Interesse zu erhalten. Die Prinzipien werden auf das Problem der allseitigen endlichen Extension einer ebenen Scheibe mit kreisförmigem Loch angewendet, und es werden für verschiedene Extensionen gute Abschätzungen der Resultierenden am Aussenrand gewonnen. Ferner wird die endliche Zug- und Torsionsverformung eines elastischen Zylinders betrachtet, und es werden Schranken für die Verformungsenergie je Längeneinheit für einen elliptischen Zylinder aus Neo-Hookeschem Material für die Achsenverhältnisse 2:1 und 4:1 erhalten. Die Schranken liefern zuverlässige Schätzungen für das Torsionsmoment und die Axialkraft.

     

Heat transfer and Reynolds' analogy in a turbulent flow with heat release

Zusammenfassung Es wird die Wärmeübertragung von und zu einer voll entwickelten, wärmeabgebenden, turbulenten Strömung in einem Rohr analysiert. Durch die Anwendung der Laplace-Transformation wird die partielle Randwertaufgabe der Temperaturverteilung in einem Rohr von kreisförmigem Querschnitt auf eine gewöhnliche Sturm-Liouvillesche Randwertaufgabe zurückgeführt. Die entsprechenden Eigenwerte und Eigenfunktionen können nun mittels des Ritzschen Verfahrens für verschiedene Werte der Prandtlschen und Reynoldsschen Zahlen berechnet werden.Die Verteilung der Temperatur und des Wärmeflusses entlang der Wand erhält man in Form einer Reihe, deren Glieder diese Eigenwerte und Eigenfunktionen enthalten. Durch Verallgemeinerung des Prandtlschen Wärmequellen-Satzes wird die Reynoldssche Analogie der Wärmeübertragung und der flüssigen Reibung für eine wärmeabgebende turbulente Strömung erweitert.Die genaue asymptotische Wärmefluss und Temperaturverteilung, die man erhält, gestattet eine Abschätzung des Fehlers, den man bei einer Anwendung der Ritzschen Methode und der daraus folgenden Reihenentwicklung erhalten würde. Diese Analyse kann für die wärmeabgebenden turbulenten Strömungen in Atomreaktoren angewendet werden.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the Office of Scientific Research of the ARDC, US Air Force under Contract AF 18 (603)-104.