用构造法证明不等式

证明不等式时 ,从研究题目的条件与结论入手 ,巧妙构造方程、函数、不等式、数列、图形等 ,可以使不等式获得简捷证明 ,下面从四个方面谈谈怎样用构造法证明不等式 .1　寻觅题设或结论的固有规律进行“构造”例 1　已知a>b>c.求证 1a-b+ 1b-c+1c-a >0 .简析 :寻觅题设条件a >b>c的固有规律 ,若令x1>x2 >0 ,则必有a=x1+c,b=x2 +c .用构造方程a =x1+c ,b=x2 +c(x1>x2 >0 )去证明 ,简洁明快 .证明　因为a>b>c可构造方程a =x1+c,b =x2 +c(x1>x2 >0 ) ,将它们分别代入特征式 ,得 1a-b + 1b-c + 1c-a =1(x1+c) - (x2 +c) + 1x2 +c-c +1c- (x1+c) =…     

一道巴尔干数学奥林匹克竞赛试题的推广

在本刊2005年第19期P48上,刊登了2005年巴尔干数学奥林匹克试题,当中的第3题为:设a,b,c是正数,求证:2ab 2bc 2ca≥a b c 4(a-b)2a b c.经过探索,我们从变量的个数方面,给出了上述不等式的一个推广.结论1已知x1,x2,…,xn∈R ,求证:x12x2 x22x3 … xn2x1≥x1 x2 … xn 4(x1-x2)2x     

一道巴尔干数学奥林匹克竞赛题的再推广

2005年巴尔干数学奥林匹克试题的第3题是:设a,b,c是正数,求证:a2b b2c c2a≥a b c 4(a-b)2a b c(1)文[1]从变量的个数方面给出了一个推广:已知x1,x2,…,xn∈R ,求证:x12x2 x22x3 … xn2x1≥x1 x2 … xn 4(x1-x2)2x1 x2 … xn(2)本文将从变量的个数,指数两方面给出(1)的一个更一     

用“互叠法”证明分式不等式

对于一类分式不等式的证明题,如果大胆将左、右两边“互相叠加”,兴许产生意料不到的奇迹! 定理1 欲证明不等式：P＞Q, 只须证明不等式：P Q＞2Q。这个定理1太浅显了。例1 设a＞b＞c,求证：a~2/(a-b) b~2/(b-c)＞a 2b c。(第32届乌克兰数学竞赛试题) 证明设P=a~2/(a-b) b~2/(b-c),Q=a 2b c；考察新不等式：P Q=(a~2/(a-b) a-b) (b~2/(b-c) b-c) (2b 2c)＞2a 2b (2b 2c)=2(a 2b c)=2Q,显然,P Q＞2Q,依定理1,知P＞Q,故原不等式获证。 (注：此处不能取“=”,因为a~2/(a-b) a-b≥2a,b~2/(b-c) b-c≥2b等号不能同时成立)     

柯西不等式的证明及应用

<正>高中数学学习中,不等式变形巧妙神奇,尤其是柯西不等式的应用.我梳理了一下有关柯西不等式的证明及应用,方便同学们使用.柯西不等式:(a1b1+a2b2+…+an bn)2≤(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)(ai bi∈R,i=1,2…n).等号当且仅当a1=a2=…=an=0或bi=tai时成立(t为常数,i=1,2…n).柯西不等式的证明方法很多,下面的方法比较深刻且具通性.为简便,设ai不全为0.证法一(构造二次函数)f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(an x+bn)2=(a21+a22+…+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+…+an bn)x+(b21+b22+…+b2n).     

一道竞赛题的换元证法

题求证:对任意两两不等的三个数a,b,c,(a+b-c)2(a-c)(b-c)+(b+c-a)2(b-a)(c-a)+(c+a-b)2(c-b)(a-b)是常数.这是2012年北京市中学生数学竞赛初二年级试题之一.贵刊2012年8月下P.31给出了一个运算量要求较高的证明,一般的学生不易掌握.本文给出一个一般学生易掌握,且运算量要求不高的换元证法,供学习与欣赏.证明设a=y+z,b=z+x,c=x+y.则原式=4z2(z-x)(z-y)+4y2(y-z)(y-x)2     

例谈基本不等式的解题功能

我们知道 ,对于任意的实数a ,b,有如下基本不等式 :a2 b2 ≥ 2ab ( )当a >0时 ,将 ( )式变形可得 :b2a ≥ 2b -a ( 1)当a >0且b>0时 ,将 ( 1)式变形可得 :b3a ≥ 2b2 -ab ( 2 )应用 ( 1)式和 ( 2 )式可以解决许多问题 ,尤其在解决一类关于分式不等式的竞赛题时 ,往往能起到化繁为简、给人耳目一新的感觉 ,现举例说明 .【例 1】　 ( 1992年乌克兰IMO试题 )如果a>b>c >0 ,求证 :a2a-b b2b-c≥a 2b c 证明 :应用 ( 1)式可得 :a2a-b b2b-c≥ 2a -(a-b) 2b-(b -c) =a 2b c 命题得证 .【例 2】　 ( 1991年亚太地区竞赛试题 )已知ai,bi …     

用增量法证明一类分式不等式

分式不等式具有优美的外形、丰富的内涵、灵活的证法 ,因而频繁地出现在各级竞赛和“数学问题”中 .本文利用增量法证明一类分式不等式 ,它把证明不等式的大量复杂工作转化为代数恒等式的计算 ,最后才利用不等式的知识 ,思路自然 ,证法简洁 .下面分类简述 ,供大家教学时参考 .1　 A2B型例 1　设 x1 ,x2 ,… ,xn为正数 ,求证 :x21 x2 x22x3 … x2n-1 xn x2nx1 ≥ x1 x2 … xn.(1 984年全国高中联赛试题 )证明　设 x1 =x2 1 ,x2 =x3 2 ,… ,xn=x1 n,则　 1 2 … n=0 ,从而原不等式左边 =(x2 1 ) 2x2 (x3 2 ) 2…     

解决不等式问题的一种重要思想

我们知道,对于实数a、b,必有a>b a-b>0.将这个关系稍加改动,即可得到应用价值较大的一种重要思想方法——松驰量方法,即对于实数a、b:a>b必定存在实数c∈R+,使a=b+c.在这里,实数c也可以叫做松驰量.它往往可以将刻画大小关系的不等式a>b等价地化归为等量关系a=b+c.用它可轻松地化解相当多的问题,教材中的“不等式”一章中的不少问题都可以利用这种思想方法加以解决.例1已知a>b>c,求证1a-b+1b-c+1c-a>0.(全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上),人教版P30第8题)证明由a>b>c,存在正实数α、β,使得a=b+,αb=c+β,于是,a-b=,αb-c=,βc-…     

Cauchy不等式的几个应用

若ai,bi∈R ,i=1 ,2 ,… ,n(n≥ 2 )则 (a21 +a22 +… +a2 n) (b21 +b22 +… +b2 n)≥ (a1 b1 +a2 b2 +… +anbn) 2证明 :若ai=0 ,命题显然成立若ai 不全为零 ,则设f(x) =(a21 +a22 +… +a2 n)x2 +2 (a1 b1 +a2 b2+… +anbn)x+(b1 +b2 +… +bn)=(a1 x+b1 ) 2 +(a2 x+b2 ) 2 +…+(anx+bn) 2 ≥ 0由于二次项系数a21 +a22 +… +a2 n>0所以Δ≤ 0即 4(a1 b1 +a2 b2 +… +anbn) 2 - 4 (a21 +a22 +…b2 n)(b21 +b22 +… +b2 n)≤0故 (a21 +a22 +… +a2 n) (b21 +b22 +… +b2 n)≥ (a1 b1 +a2 b2 +… +anbn) 2这是著名的柯西 (Cauchy)不等式 .下面…     

一道不等式试题的再推广

题目　给定正数a ,b ,c ,d ,证明 :a3 b3 c3a b c b3 c3 d3b c d c3 d3 a3c d a d3 a3 b3d a b　≥a2 b2 c2 d2 ( 1 )(美国大学生竞赛试题 )文 [1 ]探讨了这道不等式试题的背景 ,并将其推广为 :设xi∈R (i =1 ,2 ,… ,n) ,记Sn= ni=1xin 1,Gn= ni=1xi,Tn= ni=1xin,则　 Sn-x1n 1Gn-x1 Sn-x2 n 1Gn-x2 … Sn-xnn 1Gn-xn ≥Tn ( 2本文将把 ( 2 )式进一步推广为 :命题　设α ,β∈R ,且 β(α - β) >0 ,xi∈R (i=1 ,2 ,… ,n) ,则x2 α x3 α … xnαx2 β x3 β … xnβ x1α x3 α … xnαx…     

运用新教材“新增知识”证明不等式

高中数学新教材添加概率统计、向量、导数、微积分等内容.如何将这些新增内容与中学数学的传统内容有机整合,互为所用,是中学数学面临的新课题.为此,笔者主要从数学方法的角度,运用新增内容的思想,对不等式的证明作一些方法上的归类与探索.旨在从新的视角来欣赏不等式的证明.1.利用E(X2)≥E2(X)构建不等式设x是一个取有限个值的离散随机变量,其分布列为p(x=xk)=pk,k=1,2…n,则E(X2)≥E2(X).(等式成立当且仅当x1=x2=x…=E(x))例1设a,b,c∈R+,求证ab+c+bc+a+ca+b≥32.证明:设随机变量x的分布列为Px=mb+c=b+c2mPx=mc+a=c+a2m(其中a+b+c=m)…     

不等式a~2/b≥2a-b(b&gt;0)的变式

高中《代数》下册给出的二元均值不等式是 :如果 a、b∈ R,那么　　　　 a2 +b2≥ 2 ab 1当且仅当 a =b时取“=”号 .此不等式可变形为 :定理　如果 a∈ R,b∈ R+,那么　　　　　　 a2b ≥ 2 a - b. 2当且仅当 a =b时取“=”号 .下面谈谈对不等式 2的思考 .变式 1　不等式 2的特征是左边是商式 ,右边是差式 ,即不等式从左到右的“缩小”过程是一个“裂项”的过程 ,在此我们不妨把不等式 2叫做裂项不等式 .如果结合数列中裂项—叠加求和的方法 ,那么可以编拟许多不等式的题目 .在不等式 2中 ,若分别用 xi 代 a,xi+1代 b,i = 1,2 ,… ,n.其中 xn+1=x1,则有x21x2≥ 2 x1- x2 ,x22x3≥ 2 x2 - x3,… ,x2nx1≥ 2 xn - x1,相加可得　　 x21x2 +x22x3+… +x2n- 1xn +x2nx1≥ x1+x2 +… +xn.这样得到 :题 1　如果 x1,x2 ,… ,xn都是正数 ,那么x21x2 +x22x3+… +x2n- 1xn +x2nx1≥ x1+x2 +… +xn.这是一道 1...     

数学问题解答

20 0 4年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 2 1　已知a ,b,c为满足a3+b3+c3≤ 12 的正数 ,求证 :3 4a+b +c≤ 2 .(江西南昌大学附中　宋　庆　 330 0 2 9)证明　因为b3+c3≥b2 c+bc2 ,所以 ( 2 -b -c) 3　 =8- 1 2 (b+c) + 6(b +c) 2 - (b +c) 3　 =2 + 6(b +c- 1 ) 2 - (b3+c3) - 3(b2 c+bc2 )　 ≥ 2 - (b3+c3) - 3(b2 c+bc2 )　 ≥ 2 - 4(b3+c3) ≥ 4a3,所以 2 -b -c≥ 3 4a,所以3 4a+b +c≤ 2 .1 5 2 2　正整数n >1 ,f(n) =∑ni=11n +i,求证 :2n3n+ 1 相似文献   

一个不等式的加强

贵刊2004年10月号问题1519为:ma、wa分别表示△ABC的a边上的中线和角平分线长,求证mawa≥2b bcc.(1)该不等式可加强为:mawa≥b22 bcc2.(2)事实上,由恒等式m2a=w2a 21(b-c)2-41b ac2(b-c)2,w2a=bc(b c( b a )(c)b2 c-a)得m2a≥w2a 21(b-c)2-21b ac2(b-c)2=w2a 21(b-c)2·(b c (b     

Carulan不等式的加强

1996年,Carulan提出并证明了如下不等式(文[1]). 设a,b,c是三角形的三边长,求证 a2b(a-b) b2c(b-c) c2a(c-a)≥0.(1)等者发现了不等式(1)的一个加强.     

一道课本题的推广

新教材第二册上P30复习参考题第 8题 :已知a >b >c ,求证 :1a -b+ 1b -c+ 1c -a>0 .现对该题进行如下推广 .推广 1　若a >b >c ,m ,n均为正数 ,则 ma -b+ nb -c+ (m +n) 2c-a ≥ 0 .证　∵ (a -c ) ( ma -b + nb -c) =m(a -b +b -c)a -b + n(a -b +b -c)b -c =m +n + [m·b -ca -b+n·a -bb -c]≥m +n + 2mn =(m +n) 2 ,故 :ma -b+ nb -c+ (m +n) 2c -a ≥ 0 .推广 2　若a1>a2 >a3 >… >an >an + 1,则1a1-a2+ 1a2 -a3+… + 1an-an + 1+ n2an + 1-a1≥ 0证　利用柯西不等式 .∵ (an -an + 1) ( 1a1-a2+ 1a2 -a3+… +1an-an + 1) =[(a1-a2 ) …     

一个不等式的推广

本刊文[1]给出如下姊妹不等式:若a,b,c是正数,且a b c=1,则有1b c-ac 1a-ba 1b-c≥673(1)当且仅当a=b=c=31时取等号.1b c ac 1a ba1 b c≥1613(2)当且仅当a=b=c=31时取等号.不等式(1)可改写为:11-a-a1-1b-b1-1c-c≥673(3)当且仅当a=b=c=31时取等号.本文将把不等式(3)推广为:命题设xi>0(i=1,2,…,n),∑ni=1xi=1,则∏ni=1(1-1xi-xi)≥(n-n1-1n)n(4)当且仅当x1=x2=…=xn=1n时等号成立.引理设f″(x)>0,则1n∑ni=1f(xi)≥f(1ni∑=n1xi)(5)此即著名的Jesen不等式.下面给出(4)式的证明.证设y=f(x)=ln(1-1x-x)(0相似文献   

数学问题解答

2007年1月号问题解答(解答由问题提供人给出)1651已知x,y,z∈R ,n∈N,求证:nx xy z x nyy z x yz nz≤n3 2.(陕西省绥德中学刘永春718000)证明当n=1时,不等式显然成立.当n≥2时,设nx y z=a,x ny z=b,x y nz=c,则x=(nn( n1) a1-)-b2-c,y=(nn( n1) b1-)-c2-a,z=(nn( n1) c1-)-a2-     

妙用公式ab=((a+b)/2)~2-((a-b)/2)~2

在平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y)中,令x=(a+b)/2,y=(a-b)/2,便可得到公式ab=(a+b/2)2-(a-b/2)2,运用此公式,可巧解国内外一组竞赛题.例1 正数a,b,c,x,y,z,满足a+x=b+y=c+z=k,求证:ax+by+cz相似文献