The effect of damping on the dynamic stability of nonconservative systems

Summary A study of the effect of vanishing viscous damping on the stability of nonconservative linear elastic systems, with special reference to systems that lose stability statically through the emergence of new equilibrium configurations close to the principal one, i. e. by divergence. It is shown that in this case slight damping presents a wide range of effects on the stability of the system.

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Sommario Si studia l'effetto della presenza di smorzamenti viscosi tendenti a zero sulla stabilità di sistemi elastici lineari soggetti a forze posizionali non conservative, con particolare riguardo a quei sistemi che perdono stabilità staticamente, per la comparsa di nuove configurazioni di equilibrio prossime a quella principale, od anche, come si usa dire, per « divergenza ». Si mostra come in tal caso deboli smorzamenti viscosi presentino un'ampia casistica di effetti sulla stabilità del sistema.

     

On the Ljapunov stability of a system with known first integrals

Summary The differential equations of the perturbed motion with known independent first integrals are considered, and it is shown that a sufficient condition for the stability of the imperturbed motion of the complete system is given by the total stability of the corresponding solution of a certain reduced system, of lower rank. This theorem finds an interesting application in the study of the stability of the merostatic motions of a holonomic system with ignorable coordinates and acted upon by dissipative forces.

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Sommario Si considerano sistemi di equazioni differenziali del moto perturbato per i quali siano noti alcuni integrali primi indipendenti, e si dimostra che una condizione sufficiente per la stabilità del moto non perturbato del sistema completo è data dalla stabilità totale della corrispondente soluzione di un certo sistema ridotto, di rango inferiore. Questo teorema trova una significativa applicazione nello studio della stabilità dei moti merostatici di un sistema olonomo con coordinate ignorabili e soggetto a sollecitazioni dissipative.

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Research supported by the Gruppo di Ricerca No. 7 of the C. N. R.     

An application of the invariance principle to a non-linear,first order evolution problem: Asymptotic stability in non-isothermal magnetohydrodynamics

Summary The purpose of this paper is to study, with the aid of the invariance principle for dynamical systems stated by Dafermos, the asymptotic stability of the null solution of a mixed, non-linear, first order evolution problem. As a particular case, one obtains a theorem on unconditional, asymptotic stability of stationary flows of non-isothermal magnetohydrodynamics in the Boussinesq approximation.

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Sommario Tale lavoro è rivolto allo studio della stabilità asintotica della soluzione nulla di un problema di evoluzione del primo ordine, misto e non lineare. Il metodo adoperato è quello del principio di invarianza per i sistemi dinamici di Dafermos. Come conseguenza dei risultati ottenuti, poi, si determina un teorema di stabilità asintotica incondizionata per i moti stazionari della magnetoidrodinamica non isoterma nello schema di Boussinesq.

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Work performed under the auspices of CNR (Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica).     

On the role of the adjoint problem in dissipative,nonconservative problems of elastic stability

Summary The asymptotic stability of linear isotropic Kelvin-Voigt solids subjected to external damping and noncon-servative surface tractions which are linear functions of displacements and displacement gradients is considered. The boundary value problem that is adjoint to the original system is derived, and a variational principle from which these two boundary value problems may be generated is stated. The variational principle serves as a basis for an approximate method (similar to the Ritz method) for solving nonconservative stability problems in which the effects of internal and external damping are present. The method is applied to determine the value of the critical load intensity Q_cr in a cantilever and a clamped-simply supported beam subjected to a linearly distributed tangential load as well as to internal and external damping forces. Plots of the variation of Q_cr with the two damping parameters are given, and it is shown the nature of the boundary conditions can have a significant effect on the manner in which Q_cr varies as a function of the damping parameters.

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Sommario Si considera la stabilità asintotica di solidi isotropi e lineari di Kelvin e Voigt sollecitati da forze smorzanti proporzionali alla velocità e carichi superficiali non conservativi, i quali sono funzioni lineari di spostamenti e derivate di spostamenti. Si deduce il problema ai limiti che è aggiunto al sistema originario di equazioni di campo, e si imposta un principio variazionale dal quale si generano questi due problemi ai limiti. Il principio variazionale serve come base per un procedimento approssimato (simile al metodo di Ritz) per risolvere problemi non conservativi di stabilità elastica nei quali sono presenti gli effetti di smorzamento interno ed esterno. Si applica questo procedimento per constatare il valore critico del parametro dell'intensità del carico, Q_cr, in una mensola e una trave con un estremo incastrato e l'altro incernierato, caricate da una distribuzione continua di forze di modulo che varia linearmente con la coordinata di posizione e retta d'azione solidale con la deformata del l'asse della trave. Si mostrano grafici dell'andamento di Q_cr con i due parametri di smorzamento, e si nota che il tipo di vincolo alle estremità della trave può avere un effetto significante sulla maniera in cui Q_cr varia come una funzione dei parametri di smorzamento.

     

The influence of tip mass on the stability of a rotating cantilever subjected to dissipative and transverse follower forces

Summary The state of stability of a rotating viscoelastic cantilever beam subjected to a transverse follower force applied at its free end in the plane of rotation is determined by a method of approximation that is based upon an adjoint variational principle. Particular attention is devoted to the determination of the dependence of the critical flutter load of the system on the transverse, twisting, and rotary inertia properties of a mass capping the free end of the beam. The equations of motion are derived from a conservation law, the adjoint boundary value problem is introduced, and an approximate stability determinant is developed from the variational principle upon assuming a set of coordinate functions which satisfy a selected set of boundary conditions. The stability determinant is solved numerically for a variety of choices of values for the internal damping, the hub radius, tip mass inertia, the rotational speed, and warping rigidity parameters, and several graphs are presented to show the influence of these parameters upon the value of the critical flutter load.

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Sommario Si constata lo stato di stabilità di una mensola viscoelastica e rotante sollecitata da un carico traversale che ruota con la sezione e che viene applicata all'estremo libero nel piano di rotazione mediante un procedimento approssimativo basato su un principio variazionale per problemi del tipo non autoaggiunti. Attenzione particolare è dedicata alla determinazione della dipendenza del carico critico di flutter del sistema dalle proprietà delle inerzie traversali, torcenti e rotatorie di una massa attaccata all'estremo libero della trave. Si derivano le equazioni di moto mediante un principio di conservazione, e si introduce il problema aggiunto. Assunto un insieme di funzioni di posizione che soddisfano certe condizioni ai limiti, si sviluppa il determinante di stabilità dal principio variazionale. Si risolve numericamente il determinante di stabilità per diverse scelte di valori dei parametri di smorzamento interno, raggio di mozzo, inerzia della massa, velocità di rotazione e rigidezza biflessionale. Parecchi grafici sono inclusi per mostrare l'influenza di questi parametri sul valore del carico critico di flutter.

     

Stability and synthetic damping of a third order control system affected by backlash viscous and coulomb friction

Summary A Control System for a resonant mechanical loads affected by backlash and Coulomb friction may encounter severe stability problems if load feedback is used.The stability condition for a simple system including the above effects and a pure integration in the forward path is first determined, based upon natural damping only.Some damping augmentation techniques useful for improving the stability conditions are then evaluated both theoretically and by analog simulation means; the need for Coulomb friction to damp small amplitude oscillations is also demonstrated.The study is particularly devoted to accurate positioning control systems where load feedback has to be used to compensate for backlash errors.

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Sommario In un servosistema con carico risonante soggetto a giochi ed attrito Coulombiano possono sorgere notevoli problemi di stabilità nel caso che il segnale di retroazione venga prelevato sul carico.Lo studio determina, nella prima parte, le condizioni di stabilità per un sistema con integrazione semplice sulla catena diretta, soggetto simultaneamente a tutte le condizioni di cui sopra: in tali termini non risulta dalla letteratura (ampiamente esaminata) che il problema sia stato affrontato da altri Autori.Successivamente vengono esaminati taluni metodi, di cui uno originale, che consentono di migliorare le condizioni di stabilità e quindi le prestazioni del sistema: lo studio teorico è confermato da un'ampia serie di simulazioni mediante calcolatore analogico.Viene inoltre dimostrata la necessità di un valore relativamente modesto dell'attrito Coulombiano per lo smorzamento delle piccole oscillazioni.Lo studio è dedicato particolarmente a quei sistemi di posizionamento automatico nei quali si impiega la retroazione sul carico ai fini della compensazione degli errori dovuti ai giochi.

     

Appropriate interpolation schemes for F.E. models of viscous incompressible flows

Summary A finite element model of the Navier-Stokes equations, based on low order (linear or constant) independent interpolations of the variables velocity, pressure and viscous stress, is presented. The influence of various interpolation schemes on the accuracy and the stability of the numerical solutions has been analysed. In particular the spurious short wavelength oscillations which usually deteriorate, also at low Reynolds numbers, the accuracy of F.E. models, have been eliminated by an appropriate combination of interpolation functions, performing as a F.D. staggered mesh.An upwind scheme, which is an F.E. analog of the well known upwind scheme in F.D., has been generated to overcome the stability limits at increasing Reynolds numbers.The presented discretization schemes have been applied to the classical driven cavity flow, quite generally adopted for testing new numerical models.

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Sommario Si presenta un modello agli elementi finiti per le equazioni di Navier-Stokes, basato su funzioni di interpolazione di basso grado (lineare o costante) e indipendenti per le variabili velocità pressione e sforzo viscoso. Lo scopo è di determinare l'influenza dei vari schemi di interpolazione sull'accuratezza e la stabilità delle soluzioni numeriche. In particolare le oscillazioni spurie di piccola lunghezza d'onda, che deteriorano l'accuratezza dei modelli agli elementi finiti, anche a bassi numeri di Reynolds, possono essere eliminate mediante una opportuna combinazione di funzioni di interpolazione per le diverse variabili, in modo da simulare uno sfasamento dei reticoli di discretizzazione. Si propone inoltre uno schema «upwind» analogo a quello ben noto nelle differenze finite, in grado di superare i limiti per il numero di Reynolds, dettati dai criteri di stabilità.Si sono applicati gli schemi presentati al caso di flusso di ricircolazione all'interno di una cavità con parete mobile, che viene usualmente preso in considerazione come caso di confronto per nuovi modelli di simulazione numerica.

     

On the stability of one-dimensional continuous systems with polygenic forces

Summary Using the energy theorem for polygenic systems, it is shown that polygenic systems of the divergence type are pseudoconservative. Hence, their Hamiltonian can be used as a Liapunov functional to investigate the stability of such systems. Furthermore, for polygenic divergence type systems, the eigenvalue curve is strictly monotonic and its first branch is always to the right of the first branch of the corresponding conservative system's eigenvalue curve. Hence, the first critical load of the corresponding conservative system is a lower bound for the first critical load of the polygenic divergence type system.

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Sommario Attraverso il teorema energetico dei sistemi poligenici, si mostra che i sistemi poligenici di tipo divergenza sono pseudo-conservativi e quindi che il loro Hamiltoniano può essere usato come un funzionale alla Liapunov per studiare la stabilità di tali sistemi. Si mostra inoltre, sempre per i sistemi poligenici di tipo divergenza, che la curva degli autovalori è strettamente monotona e che il suo primo ramo è sempre alla destra del primo ramo della curva degli autovalori del corrispondente sistema conservativo. Dunque il primo carico critico del corrispondente sistema conservativo è un limite inferiore per il carico critico del sistema poligenico di tipo divergenza.

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This research was carried out under NRC Grant No. A. 7297.     

The stability boundary of systems with one degree of freedom (Part I)

Summary It is shown that the stability boundary of a one-degree-of-freedom conservative structural system cannot have convexity towards the region of instability. An example illustrating the essential features of the theory is discussed. The results of two experiments providing qualitative verification of the theory are reported.

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Sommario Si dimostra che il dominio di stabilità di un sistema conservativo ad un grado di libertà è convesso. Si discute un esempio che illustra gli aspetti essenziali della teoria svolta. Si presentano i risultati di due esperienze che forniscono una verifica qualitativa dei risultati teorici.

     

Torsional oscillations in constant — velocity drives incorporating two cardan joints: The present state of knowledge and the design of an experimental research

Summary The paper reports a survey and a comparison between theoretical predictions (as well as few experimental findings already known) on dinamic stability of torsional oscillations in two-Cardan-joint constant-velocity drives.In such a drive self excited oscillations arise due to the periodic velocity ratios through the joints, which may be brought out of phase by the intermediate shaft twist. The survey deals mainly with systems having a single-degree-of-freedom and with analysis made by means of both linear and non-linear oscillations theories; these ones predict the existence of parameters critical ranges, in which instability conditions or at least very high amplitude of oscillations will take place; more, they predict that these ranges will be found not only in the vicinity of resonance between revolving speed and sistem's natural circular frequency but also in the vicinity of unit fraction values of the natural frequency.Then the paper reports the design of a special test apparatus, later built and used as we will see in a forthcoming paper, allowing to experience a broad range of testing conditions (revolving speed, misalignment, damping, all variable or settable at will) and to measure and record the oscillatory relative motion of the drive output shaft.

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Sommario Il lavoro riferisce circa la rielaborazione e il confronto fra previsioni teoriche (nonchè alcuni risultati sperimentali già pubblicati) sulla stabilità dinamica delle oscillazioni torsionali in trasmissioni omocientiche a doppio giunto di Cardano. In tali trasmissioni, oscillazioni autoeccitate sono provocate dalla periodicità dei rapporti di trasmissione attraverso i giunti, che possono trovarsi sfasati a causa della torsione dell'albero intermedio.L'indagine riguarda sistemi a un grado di libertà analizzati sia con la teoria delle oscillazioni lineari che con quella delle non lineari; esse prevedono l'esistenza di campi critici dei parametri — nei quali si ha instabilità o almeno ampiezza di oscillazione molto grande — non solo vicino alla velocità di rotazione corrispondente alla pulsazione naturale del sistema, ma anche vicino a valori frazionari di quella.Il lavoro riferisce quindi circa la progettazione di una apposita apparecchiatura di prova, poi effettivamente costruita e utilizzata, tale da consentire di sperimentare una vasta gamma di condizioni di prova, rilevando e registrando il moto, oscillatorio, di rotazione relativa dell'albero d'uscita.

     

On the stability of equilibrium in critical cases

Summary A study of the stability of the equilibrium of a holonomic system in critical cases by means of the search for Lyapunov functions. A method of searching for such functions, which have the form of polynomials or power series, is discussed in general terms and is illustrated in a concrete application to the case of a system with two degrees of freedom.In the second part a different method is used to search for Lyapunov functions for dissipative systems. The discussion on stability leads to conclusions that generalize classical results.

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Sommario Viene compiuto uno studio della stabilità dell'equilibrio di un sistema olonomo, nei casi critici, attraverso la ricerca di funzioni di Lyapunov. Un metodo di ricerca di funzioni siffatte, aventi forma di polinomi o di serie di potenze, viene appunto discusso in generale ed, inoltre, illustrato attraverso la sua concreta applicazione al caso di un sistema con due gradi di libertà.Con un diverso metodo, in una seconda parte, si esegue una ricerca di funzioni di Lyapunov per i sistemi dissipativi, pervenendo, nella discussione della stabilità, a conclusioni che generalizzano alcuni classici risultati.

     

On some problems of stability of systems with an infinite number of degrees of freedom

The problem of stability of equilibria of a physical pendulum with a nonstretchable thread attached to it is considered from the standpoint of the Lagrange theorem on stability and its inversion. Specific difficulties which one faces when studying an infinite dimensional mechanical system are discussed. A new approach to the study of stability with respect to two metrics is suggested. The influence of resonant phenomena on the motion of the shortened (linearized) system is considered.

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Sommario Si considera il problema di stabilità di punti di equilibrio di un pendolo fisico con un filo inestensibile appeso ad esso dal punto di vista del teorema di Lagrange sulla stabilità e sulla sua inversione. Difficoltà specifiche relative allo studio di un sistema meccanico di dimensione infinita sono discusse. Si suggerisce un nuovo metodo per lo studio della stabilità rispetto a due metriche. L'influenza di fenomeni di risonanza sul moto del sistema ridotto (linearizzato) è considerata.

     

On the foundation of the stability theory of elastic structures

Summary Some difficulties and unsolved problems of the stability theory of continuous systems will be investigated. After having closely examined the meaning and importance of the choices of the distance between two configuration of a continuous system, the problem of the equilibrium stability of elastic structures will be formulated in a proper functional space, where it is possible to demonstrate the validity of the energy criterion as sufficient condition of stability in Lyapunov's sense.Lastly, are pointed out the still open problems on the stability criterion based on the second variation of the potential energy of which a partial proof is given.

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Sommario Vengono esaminate alcune difficoltà e problemi ancora aperti nella teoria della stabilità dei sistemi continui. Dopo aver approfondito il significato e l'importanza della scelta della distanza tra due configurazioni di un sistema continuo, il problema della stabilità dell'equilibrio delle strutture elastiche viene formulato in un opportuno spazio funzionale, nel quale è possibile dimostrare la validità del criterio dell'energia come condizione sufficiente di stabilità nel senso di Lyapunov.Si puntualizzano infine le questioni ancora aperte sul criterio di stabilità basato sulla variazione seconda e del quale si fornisce una parziale giustificazione.

     

Non-Linear Self-Excited Random Vibrations and Stability of an SDOF System with Parametric Noises

Abstract. The paper presents the solution to the properties of stochastic response of a system with random parametric noises, which is prone to the loss of aerodynamical stability. The system is described by an equation of van der Pol type with the negative linear, and with the positive cubic dampings. The coefficients of the linear damping and of the stiffness include the multiplicative random perturbations, the external excitation being given as a sum of a deterministic function and of an additive perturbation. All three input random processes are supposed to be Gaussian and centered, with the non-zero mutual stochastic parameters, as it corresponds to the properties of real systems. The solution has been based on the method of stochastic linearisation and of the subsequent solution of the Fokker–Planck–Kolmogorov equation in the sense of the first and second stochastic moments for the transient and stationary states. There have been demonstrated several effects, which are typical for systems with parametric noises, differentiating them from the systems with constant coefficients. The principal attention has been devoted to the properties of the spectral density of the response, the character of which changes abruptly with the degree of non-linearity of the damping and of the level of random perturbations.Sommario. La presente memoria studia le proprietà della risposta stocastica di un sistema con eccitazione casuale parametrica, che tende alla perdita della stabilità aerodinamica. Il sistema è descritto mediante un'equazione del tipo di van der Pole con il termine lineare dello smorzamento negativo e il termine cubico positivo. Poichá l'eccitazione esterna è la somma di una funzione deterministica e di una perturbazione additiva, i coefficienti dello smorzamento lineare e della rigidezza comprendono le perturbazioni casuali moltiplicative. I tre processi stocastici di eccitazione sono assunti gaussiani e a media nulla con parametri stocastici incrociati diversi da zero, come si verifica per le proprietà dei sistemi reali. La soluzione è basata sul metodo della linearizzazione stocastica e della successiva soluzione dell'equazione di Fokker-Planck-Kolmogorov studiando i primi e i secondi momenti statistici per gli stati transitori e stazionari. Vengono mostrati diversi effetti, tipici dei sistemi con eccitazione parametrica, differenziandoli dai sistemi a coefficienti costanti. Particolare attenzione è rivolta alle proprietà della densità spettrale della risposta le cui caratteristiche cambiano bruscamente con il grado di non linearità dello smorzamento e del livello di casualità delle perturbazioni.     

Input selection and pole assignment for linear dynamical systems

Summary It is well known that the dynamics of a system depends not only on pole configuration but also on the particuiar choice of the feedback matrix assigning the desired poles to the given plant. The aim of this paper is to introduce both a method for pole assignment and a criterion for classifying the systems having the same pole configuration and obtained by such a method.

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Sommario E' noto che la dinamica di un sistema non dipende solo dalla configurazione dei poli, ma anche dalla particolare scelta della legge di retroazione che assegna al sistema l'insieme desiderato dei poli.Scopo di questo articolo è introdurre un procedimento di sintesi modale che generalizza i risultati di Wonham-Luenberger ed un criterio per la classificazione dei sistemi con gli stessi poli così ottenuti.

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This work was supported by C.N.R.     

A priori bounds for the plastic dissipation of elastic-plastic oscillators

Summary The possibility of enlarging the definition of collapse of elastic-plastic structures to include dynamic problems is first examined. It is concluded that the most satisfactory definition is the one given in terms of plastic dissipation. The simple case of a single-degree of freedom oscillator is then studied in detail. After giving some upper bounds for the dissipation with the aid of suitable a priori inequalities, a typical property of stability of the solution is employed to obtain a fairly severe bracketing of velocities throughout the motion. A numerical example, taken from a problem of seismic design, shows that the latter result leads to further improvements in majorizing the plastic dissipation.

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Sommario Si studia aapprima l'estensione della definizione di collasso di una struttura elastoplastica ai problemi di tipo dinamico, concludendo che la miglior caratterizzazione é quella in termini di dissipazione plastica. Si passa poi a considerare il caso di un oscillatore a un grado di libertà, per cui si calcolano limitazioni superiori della dissipazione ricorrendo a opportune diseguaglianze a priori. Utilizzando inoltre una proprietà di stabilità della soluzione, tipica dei problemi di Plasticità, si riescono a dare strette limitazioni per la velocità. Come mostrato da un esempio numerico tratto da un problema sismico, esse conducono anche ad una più accurata delimitazione della dissipazione plastica.

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This research was supported in part by the C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica e per le Applicazioni della Matematica alla Fisica e all'Ingegneria.     

Vibrations,stability and general solution for the duffing and other non linear equations

Summary A general procedure is developed in order to calculate the vibratory motions of non linear systems with one degree of freedom. The vibration is considered as an infinite sequence of increasing and decreasing half-waves, for each of wich time and deplacement are considered as initial data, with initial velocity zero. Recurrent formulae giving the initial data for each half-wave as a function of those relative to the preceeding half-wave are calculated. This procedure is applied to the Duffing equation and leads to study of the powers of a matrix, whose behaviour, when the exponent goes to infinity, determines the character of stability or instability or asymptotic periodicity of the solution.

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Sommario Viene impostata una metodologia generale atta a calcolare i moti vibratori dei sistemi non lineari con un grado di libertà. Il moto vibratorio viene considerato come una successione infinita di semionde crescenti e decrescenti, per ciascuna delle quali il tempo e lo spostamento vengono considerati come dati iniziali, con velocità iniziale nulla. Vengono poi ricavate le formule ricorrenti che forniscono i dati iniziali di ogni semionda in funzione di quelli relativi alla precedente. Il procedimento viene applicato alla equazione di Duffing e porta allo studio delle potenze di una matrice, il cui comportamento quando l'esponente tende ad infinito determina il carattere di stabilità, o instabilità, o periodicità asintotica della soluzione.

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This research was conductes as an activity of the Italian Research Council, C.N.R., G.N.F.M.     

Estimating the domain of attraction of a stable equilibrium state for certain delayed differential systems of order two

Summary We discuss the influence exerted on the stability of an equilibrium state of a second order differential-difference system by the delays existing in the coupling terms of the two system equations. On certain hypotheses an asymptotic stability condition is determined which is independent of the magnitude of delays but dependent on the magnitude of coupling. A simple method for constructing regions belonging to the domain of attraction of the considered equilibrium state is developed. Several alternative constructions and applications are discussed in detail.

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Sommario Viene discussa l'influenza che sulla stabilità ai uno stato di equilibrio di un sistema differenziale alle differenze di secondo ordine banno i ritardi incorporati nei termini di accoppiamento fra le due equazioni del sistema. Si mostra come sotto opportune ipotesi si possa determinare una condizione di stabilità asintotica che non dipende dall'entità dei ritardi, mentre dipende da quella degli accoppiamenti, e si propone un metodo semplice e flessibile per costruire regioni contenute nel dominio di attrazione dello stato di equilibrio considerato. Si discutono in dettaglio numerose costruzioni alternative ed applicazioni.

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On leave of absence from CYFRONET, Institute of Nuclear Research, Swierk k/Otwocha, Poland.     

A differential equation for the minors of the state-transition matrix of linear systems

Summary A differential equation for the minors of the state transition matrix of linear time-invariant systems is established.An example is then presented, where the differential equation is employed in order to check the existence of the extremal control of a linear system with a performance index given by the integral of a quadratic form.

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Sommario Si stabilisce un'equazione differenziale per i minori della matrice di transizione dei sistemi lineari stazionari.Si illustra quindi un esempio, in cui tale equazione differenziale viene impiegata per verificare l'esistenza del controllo estremale di un sistema lineare con indice di comportamento dato dall'integrale di una forma quadratica.

     

On the dynamic shakedown stability

Summary Starting from a Benvenuto's sufficient stability Criterion, in the elastic-plastic range, on the load paths which will systematically exclude elastic returns in the actual state, and adopting a suitable incremental formulation of the Ceradini's theorem on the dynamic shakedown, the dynamic shakedown stability property may be proven, if the comparison material is assumed absolutely stable.

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Sommario Partendo da un noto risultato di Benvenuto circa un criterio sufficiente di stabilità elastoplastica su percorsi dei carichi che sistematicamente escludono ritorni elastici nello stato attuale, e adottando una opportuna formulazione incrementale del teorema di Ceradini sull'adattamento dinamico dei materiali, è possibile provare la stabilità dell'adattamento dinamico se il materiale fittizio di confronto è in fase stabile.