The Dirichlet problem for the minimal surface equation in non-regular domains

Summary In this paper we study the Dirichlet problem for the minimal surface equation in a open set Ω without any assumption about the regularity of ϖΩ. We prove an existence theorem using only the pseudoconvexity of Ω.

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Riassunto In questo lavoro studiamo il problema di Dirichlet per l'equazione delle superfici minime in un aperto Ω diR ⁿ sulla cui frontiera non si fa nessuna ipotesi di regolarità. Si ottiene un teorema di esistenza usando la sola pseudoconvessità di Ω.

     

Esistenza di soluzioni positive per equazioni ellittiche quasilineari con metodi non variazionali

Riassunto Viene provata l’esistenza di soluzioni positive per il problema di Dirichlet quasilineareMu+f(u)=0 in Ω,u=0 su βΩ, con Ω aperto di ℝ ^N , limitato o non limitato, verificante opportune proprietà geometriche. QuiM è un operatore ellittico in forma di divergenza, non degenere o degenere, come ilp-laplaciano o l’operatore di curvatura media.

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We prove the existence of positives solutions for the quasilinear Dirichlet problemMu+f(u)=0 in Ω,u=0 on βΩ, were Ω is a bounded or unbounded open subset of ℝ ^N , satisfying suitable geometrical properties. HereM is a non degenerate or degenerate elliptic operator in divergence form, like thep-laplacian or the mean curvature operator.

     

Problema di Dirichlet per l’equazione delle superfici di curvatura media assegnata con dato infinito

Riassunto In questo lavoro si studia il problema di Dirichlet per l’equazione delle superfici di curvatura media assegnata con dato infinito. Si dimostra una condizione necessaria e sufficiente affinchè esista una soluzione. Si dimostra pure un teorema di unicità.

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Summary In this paper we consider the Dirichlet’s problem for surfaces of prescribed mean curvature with infinite data. We prove a necessary and sufficient condition for the existence of the solution. Finally we prove an uniqueness theorem.

     

Dirichlet problem for a class of linear second order elliptic partial differential equations with discontinuous coefficients

Summary I give a sufficient condition in order that a Dirichlet problem is solvable in H ² (Ω) for a class of linear second order elliptic partial differential equations. Such a class includes some particular cases for which the result is known.

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Sunto Si prova una condizione sufficiente affinchè un problema di Dirichlet sia risolubile in H ² (Ω) per una classe di equazioni differenziali alle derivate parziali lineari ellittiche del secondo ordine. Tale classe comprende alcuni casi particolari per i quali il risultato è noto.

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The present work was written while the author was a member of the ? Centro di Matematica e Fisica Teorica del C.N.R. ? at the University of Genova, directed by professorJ. Cecconi.

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Entrata in Redazione il 25 febbraio 1971.     

The Dirichlet problem for the wave equation

Summary We consider a vibrating string fixed at the ends for which the position is known at two different times. This corrisponds to a classical not well posed problem, theDirichlet problem for the wave equation, which we reconsider here in order to determine under what conditions it is possible to obtain useful information about the physical phenomenon. This problem is related to a functional equation from which the principal results can be deduced.

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Sunto Si riesamina un classico esempio di problema ? non ben posto ?, il problema diDirichlet corrispondente al modello fisico di una corda vibrante, fissa agli estremi e assumente posizioni note in due diversi istanti. Lo studio relativo all'esistenza ed unicità della soluzione è ricondotto a quello di una equazione funzionale ed è strettamente connesso a questioni di teoria dei numeri. Si esamina poi la dipendenza della soluzione dai dati e si discute il problema dal punto di vista delle sue applicazioni.

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This research was supported in part by the United States Air Force under contract No. AF 49 (638) 228 monitored by the Office of Scientific Research, Air Research and Development Command.     

Asymptotic stability for abstract evolution equations and applications to partial differential systems

Scopo del lavoro è di studiare la stabilità asintotica per le soluzioni di problemi di evoluzione astratti. Si considerano operatori differenziali quali ilp-Laplaciano, e il poliarmonico, termini smorzanti e fortemente smorzanti, potenziali di richiamo o di sorgente.      

On a characteristic Cauchy problem

Sunto Si studia un problema di Cauchy caratteristico (per un operatore di cui quello di Klein-Gordon, in coordinate cono luce, è un modello). Si stabiliscono teoremi di esistenza ed unicità. Si prova che la velocità di propagazione è infinita.     

Prime ideals in polynomial rings

Summary Study of relations between the prime and maximal spectra of a ringA and ofA[X], without noetherian assumptions. Application to the cases whereA has finite noetherian type andA is an arbitrary valuation domain; behaviour of the catenary property. New proofs of known results aboutG-ideals and Hilbert domains.

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Riassunto Si studiano le relazioni fra lo spettro ideale e quello massimale di un anelloA e diA[X] senza ipotesi di noetherianità. Si fanno delle applicazioni ai casi in cuiA è un anello di tipo noetheriano finito o è un arbitrario dominio di valutazione; si studia inoltre il comportamento della proprietà catenaria. Si danno nuove dimostrazioni di risultati noti suG-ideali e domini di Hilbert.

     

On a decomposition of the Hilbert spaceL 2 and its applications to Stokes problem

The Helmholtz-Weyl decomposition of the spaceL ² is strictly related with the solutions of Stokes problem. We state the main properties of this decomposition and we apply them to Stokes problem: suitable boundary conditions reduce its solution to simpler problems; the techniques involved also allow to solve two Stokes-type problems.

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Sunto La scomposizione di Helmholtz-Weyl dello spazioL ² è particolarmente adatta allo studio delle soluzioni del problema di Stokes. Si stabiliscono le principali proprietà della scomposizione e le loro applicazioni al problema di Stokes: opportune condizioni di bordo consentono di semplificare il problema; le tecniche utilizzate consentono anche lo studio di due problemi di tipo Stokes.

     

Alcune limitazioni per le soluzioni di equazioni paraboliche

Sunto Si discute il problema diCauchy relativo all'equazione del calore, u_t=u_xx, ed a condizioni iniziali sull'asse t. Si provano inoltre alcune proprietà delle soluzioni positive di tale problema e di analoghi problemi diCauchy relativi a più generali equazioni paraboliche.

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Summary We consider theCauchy problem for the heat equation, u_t=u_xx, with initial conditions on the t-axis. We prove some property of positive solutions of this problem, and of similarCauchy problems for more general parabolic equations.

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A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno.     

Calculation of the surface temperature and heat flux on one side of a wall from measurements on the opposite side

Summary We consider a temperature conduction problem with slab symmetry, in which the temperature and heat flux on the right hand surface are unknown; the right hand surface is thermically insulated and its temperature is approximately measurable. The above problem can be seen as an ill posed problem for the heat equation. Several stabilized versions are studied, moreover discretized versions and numerical results are given.

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Sunto Si studia un problema di conduzione del calore attraverso un muro in cui temperatura e flusso del calore sulla faccia destra sono incogniti; la faccia sinistra è termicamente isolata e se ne può misurare approssimativamente la temperatura. Questo problema si traduce in un problema mal posto per l'equazione del calore. Varie stabilizzazioni sono studiate e analizzate; sono date inoltre versioni discretizzate del problema e alcuni risultati numerici.

     

Measures of finite energy on a commutative hypergroup

Some aspects of potential theory of invariant Dirichlet forms on a commutative hypergroupK are enlarged and extended. In particular measures of finite energy are characterized, and they are related to the problem of finding sufficient conditions for a continuous convolution semigroup onK to be transient. Si estendono alcuni aspetti della teoria del potenziale delle forme di Dirichlet invarianti su un ipergruppo commutativoK. In particolare si caratterizzano le misure di energia finita. Tali misure vengono inoltre correlate al problema di determinare condizioni sufficienti affinchè un semigruppo continuo di convoluzione suK sia transiente.     

On the matrix Riemann-Hilbert problem relevant to Rayleigh scattering

A solution to the matrix Riemann-Hilbert problem relevant to non-conservative Rayleigh scattering is proposed in order to eliminate one of the two existence questions included in a previously known solution.

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Sommario Si propone una soluzione del problema matriciale di Riemann-Hilbert, che si presenta in relazione a un'atmosfera conscattering di Rayleigh non conservativo, col fine di eliminare uno dei due problemi di esistenza posti da una soluzione precedente.

     

Su un operatore ellittico a coefficienti discontinui

Sunto. Vengono dimostrati teoremi di esistenza ed unicità in W _loc ^2,p per il problema di Dirichlet nella sfera, relativo ad una equazione ellittica omogenea, del secondo ordine, a coefficienti discontinui nel centro. è studiata la dipendenza di p dalla costante di ellitticità dell'operatore.

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Summary Existence and uniqueness theorems in W _lcc ^2,p are given for the homogeneous Dirichlet problem in the sphere for an elliptic, second-order equation with coefficients discontinuous in the center. The dependence of p on the ellipticity constant is studied.

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Lavoro eseguito nell'ambito del Gruppo Nazionale di Analisi Funzionale e Applicazioni, del Consiglio Nazionale delle Ricerche.

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Entrato in Redazione il 22 Maggio 1972.     

Equazioni differenziali in forma implicita in uno spazio di Banach

Sunto Viene studiato il problema diCauchy per una equazione differenziale in forma implicita F(t, x, x) =0 in uno spazio diBanach. Si dimostra, sotto certe ipotesi valendosi di metodi funzionali, un teorema di esistenza e, sotto altre, col metodo delle approssimazioni successive, un teorema di esistenza ed unicità.

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Summary TheCauchy's problem for an implicit differential equation F(t, x, x) =0 in aBanach space is studied. Under some hypothesis, using functional methods, a theorem of existence and, under others, using the method of the successive approximations, a theorem of existence and uniqueness are demonstrated.

     

Sul problema di Dirichlet per le equazioni lineari ellittiche in due variabili

Sunto Si dànno teoremi di esistenza e di unicità per il problema di Dirichlet, opportunamente ? generalizzato ?, relativamente alle equazioni lineari ellittiche in due variabili indipendenti. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno.     

Homoclinic and heteroclinic solutions for a class of two dimensional Hamiltonian systems

Summary The problem of the existence of homoclinic and heteroclinic solutions for a class of two dimensional Hamiltonian systems, calledcanyon-like, is discussed. Some basic properties, that are helpful in the qualitative analysis of dynamics, are discussed before stating the principal existence properties for the separatrix solutions. A schematic representation of the dynamics useful for obtaining an immediate sketch of the phase portrait and in computer applications, is proposed. It has been shown how the 1 d.o.f. conservative mechanical systems have a canonical canyon-like structure.

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Sommario E' stato discusso il problema dell'esistenza di orbite omocline ed eterocline per una particolare classe di sistemi Hamiltoniani bidimensionali, denominatitipo-canyon. Si sono mostrate alcune proprietá elementari utili nello studio qualitativo della dinamica. Successivamente si sono discusse le principali proprietà di esistenza per le orbite separatrici. Si é proposta una rappresentazione schematica della dinamica che risulta utile sia per ottenere immediatamente in modo qualitativo il ritratto di fase sia per le applicazioni al computer. Si é mostrato come la classe dei sistemi meccanici conservativi ad un grado di libertà possieda una struttura di tipo-canyon canonica.

     

Cauchy problem for some non-Kovalewskian equations

Some evolution equations with constant leading coefficients and real characteristic roots are considered. The wellposedness of Cauchy problem is proved inH ^∞ and in Gevrey classes, if an assumption is made on the lower order terms. Finally the results are generalized to nonlinear equations.

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Sunto Si considerano equazioni differenziali di evoluzione con coefficienti costanti nella parte principale e radici caratteristiche reali. Si dimostra la buona positura del problema di Cauchy inH ^∞ e nelle classi di Gevrey, sotto un’ipotesi sui termini di ordine inferiore. Infine, i risultati vengono estesi alle equazioni non lineari.

     

Differentiability and bifurcation points for a class of monotone nonlinear operators

Sunto Sia P l'operatore definito nello spazio L²(Ω) ponendo u = Pf in(11″). Si dimostra che questo operatore (differenziabile secondo Fréchet nell'origine (vedi teorema 1) e si utilizza questo risultato per caratterizzare i punti di biforcazione per il problema non lineare(25) (vedi teorema 2).

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Entrata in Redazione l'll settembre 1975.     

On partial indices for a matrix Riemann-Hilbert problem

An analytical solution of the matrix Riemann-Hilbert problem relevant to the BGK model in the field of rarefied-gas dynamics is used to deduce the partial indices basic to a canonical solution of the considered Riemann-Hilbert problem.

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Sommario Si fa uso di una soluzione analitica del problema di Riemann-Hilbert che origina dal modello BGK nel campo della dinamica dei gas rarefatti per dedurre gli indici necessari per ottenere una soluzione canonica del problema di Riemann-Hilbert.