On the phase transitions in fluid mixtures

Summary The integral equations of balance for a binary fluid mixture are stated when the mixture presents two phases which are separated by an interface. The equilibrium conditions are derived together with the Gibbs phase rule for plane interfaces. The theory is extended to the mixture with three phases.

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Sommario Si scrivono le equazioni integrali del bilancio per una miscela fluida binaria che una interfaccia separa dalla miscela del suo vapore. Si derivano le condizioni di equilibrio e, nel caso di interfaccia piana, la regola delle fasi di Gibbs. La teoria proposta è poi estesa a sistemi di miscela binaria con tre fasi.

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This paper is made under the auspices of G.N.F.M. of the Italian C.N.R.     

On the principle of gyroscopic effect for self-excited rigid bodies

Summary A new method is described whereby the gyroscopic effect for self-excited rigid bodies is studied by means of a differential equation of the second order and the results of other Authors are generalized.

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Sommario Si descrive un metodo di calcolo, che permette di ricondurre la discussione sulla validità dell'effetto giroscopico per i solidi autoeccitati allo studio di una equazione differenziale del secondo ordine e di generalizzare i risultati ottenuti da altri Autori.

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This work has been done under the auspices of the Research Group no. 6 of C.N.R.     

On Saint-Venant's principle in three-dimensional elasticity

Summary Toupin's version of Saint-Venant's principle is extended to bodies of general shape, and an exponential upper bound for the strain energy is obtained. The rate of decay is shnow to depend on the first non-zero proper value of the Steklov problem formulated on suitable parts of the body.

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Sommario Si estende a corpi di forma qualsiasi la formulazione di Toupin del principio di de Saint Venant, ottenendo una maggiorazione di tipo esponenziale per l'energia di deformazione. Si dimostra che la velocità di estinzione dipende dal primo autovalore del problema di Steklov formulato su parti opportune del corpo.

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This research was supported in part by the C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica.     

Evolution law of a weak discontinuity crossing a non characteristic shock in a non-linear dielectric medium

Summary Transmission and reflection of an electromagnetic discontinuity wave colliding with a non characteristic shock in a dielectric medium with non-linear constitutive equation is analyzed in the case of polarized fields depending on one space variable and time. The transmitted and reflected amplitudes are obtained; the evolution law of the transmitted discontinuity is integrated for propagation through a constant state and the appearing of a new value of the critical time is discussed.

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Sommario Viene analizzata la collisione di un'onda elettromagnetica di discontinuità con un urto non caratteristico in un mezzo dielettrico avente equazione costitutiva non lineare, per campi polarizzati e dipendenti da una sola variabile spaziale e dal tempo. Vengono ricavate le ampiezze trasmessa e riflessa. Si integra poi la legge di evoluzione della discontinuità trasmessa nel caso della propagazione in uno stato costante e si discute la comparsa di un nuovo valore per il tempo critico.

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Lavoro eseguito durante il godimento di una borsa di studio nell'ambito del G.N.F.M. del C.N.R.     

On the Ljapunov stability of a system with known first integrals

Summary The differential equations of the perturbed motion with known independent first integrals are considered, and it is shown that a sufficient condition for the stability of the imperturbed motion of the complete system is given by the total stability of the corresponding solution of a certain reduced system, of lower rank. This theorem finds an interesting application in the study of the stability of the merostatic motions of a holonomic system with ignorable coordinates and acted upon by dissipative forces.

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Sommario Si considerano sistemi di equazioni differenziali del moto perturbato per i quali siano noti alcuni integrali primi indipendenti, e si dimostra che una condizione sufficiente per la stabilità del moto non perturbato del sistema completo è data dalla stabilità totale della corrispondente soluzione di un certo sistema ridotto, di rango inferiore. Questo teorema trova una significativa applicazione nello studio della stabilità dei moti merostatici di un sistema olonomo con coordinate ignorabili e soggetto a sollecitazioni dissipative.

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Research supported by the Gruppo di Ricerca No. 7 of the C. N. R.     

Natural convection in a rectangular cavity. An analytic solution

Summary An analytic solution is given to a problem of natural convection in a rectangular cavity, by means of a Papkovich-Fadle series. The convergence of the method is numerically proven and the results are compared with those obtained by several other methods. The considered solution procedure shows definite advantages with respect to the other techniques.

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Sommario Si fornisce, per mezzo della serie di Papkovich-Fadle, una soluzione analitica per un problema di convezione naturale in una cavità rettangolare. La convergenza del metodo è numericamente provata e i risultati sono confrontati con quelli ottenuti con altri metodi. La soluzione proposta tramite la serie è in tal caso vantaggiosa rispetto alle altre tecniche.

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This work has been partially supported by C.N.R. through grant n. 81.01501.11.     

Shock structure for heat conducting and viscid fluids

Summary The structure of plane steady shock waves is investigated for a class of theories of heat-conducting and viscid fluids which avoid the well-known difficulties of the Navier-Stokes-Fourier equations for high-frequency sound waves and acceleration waves.It is demonstrated that a unique continuous and stable shock structure exists only for sufficiently low Mach numbers.

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Sommario Si studia la struttura delle onde d'urto piane in una classe di teorie dei fluidi dissipativi che risolvono le note difficoltà delle equazioni di Navier-Stokes-Fourier per le onde sonore di alta frequenza e per le onde d'accelerazione.Si dimostra che una soluzione unica, continua e stabile esiste solo per numeri di Mach sufficientemente piccoli.

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Research supported by C.N.R., G.N.F.M.     

Limit analysis of arch-beam structures by dynamic programming

Summary We study one-dimensional structures like arch-beams in the limit state of plastic collapse, on the ground of a two-dimensional yielding surface (bending moment and normal generalized stress). The proposed method, which is able to give a numerical solution of the problem of finding the limit load, rests on the upper bound theorem of limit analysis and uses dynamic programming. We examine also some questions linked with numerical procedures. A future work devoted to applications will complete the treatment.

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Sommario Si studiano le strutture monodimensionali ad arco nello stato limite di collasso plastico, sulla base del dominio bidimensionale (momento flettente e sforzo normale). Il metodo proposto, atto a fornire una soluzione numerica del problema della ricerca del carico limite, si fonda sul teorema cinematico dell'analisi limite e sull'impiego della programmazione dinamica. Si prendono anche in esame talune questioni connesse con l'algoritmo di calcolo. Un successivo lavoro di carattere applicativo completerà la trattazione.

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This paper has been supported by National (italian) Research Council (C.N.R.).     

Stefan — like problems with space — dependent latent heat

Summary A wide class of one-dimensional heat conduction problems with phase change is considered on the assumption that the latent heat is a given function of the position of the separation plane between the two phases: L=[s(t)].Some sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solution in a given time-interval are given. This work permits the generalization of some previous results and the investigation of some cases of particular interest.

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Sommario Si studia una vasta classe di problemi di conduzione unidimensionale del calore in presenza di cambiamento di fase, nel caso in cui il calore latente sia funzione della posizione del fronte di separazione tra le due fasi: L=[s(t)].Si trovano delle condizioni sufficienti per l'esistenza e la unicità della soluzione del problema in un certo intervallo di tempo; si mostra infine che la trattazione permette di generalizzare risultati già noti e di estendere lo studio a casi di particolare interesse.

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Work performed within the Research Group (Grant. no. 115.2210) of the C.N.R.     

On plastic dynamic flexure of plates

Summary This paper discusses the rigid-plastic flexure of plates subjected to dynamic loading. A piecewise linear yield surface and small displacements are assumed. The plate is discretized by assuming the constant moment mixed triangular element of Herrmann. Under the above assumptions the dynamic loading of plates is turned into a problem in linear inequalities which is a priori discretized in time. An approximate technique is developed, which takes into account the influence of the strain-hardening and the strain rate sensitivity of material. Some numerical examples of plates subjected to a given velocity distribution confirm the efficiency of this approach.

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Sommario Si analizza il problema della flessione rigidoplastica di una lastra soggetta a carichi dinamici. La lastra viene discretizzata assumendo l'elemento triangolare misto a stato di sollecitazione costante di Herrmann. Tale assunzione insieme alle ipotesi di piccoli spostamenti e di superficie di plasticizzazione lineare a tratti, consente di ricondurre il caricamento dinamico della lastra ad un problema retto da diseguaglianze lineari, che risulta discretizzato a priori nel tempo. Attraverso una tecnica approssimata si valuta l'influenza che hanno sulla risposta dinamica della struttura, l'incrudimento e la sensibilità alle velocità di deformazione del materiale. L'efficienza del procedimento è verificata attraverso alcuni esempi numerici di lastre di diversa geometria sottoposte ad una prefissata distribuzione di velocità.

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Research supported by the National Research Council (C.N.R.P.A.d.I.S.) of Italy.     

The Gibbs principle for the equilibrium of systems with two simple or composed phases

Summary A precise formulation of the Gibbs principle is proposed and the equilibrium equations for systems having two phases of the same substance are derived and discussed when: a) one of them is solid, isotropic and elastic and the other one is liquid or vapour and both the phases are simple, b) one is liquid and the other is vapour of the same binary mixture. Some final remarks are provided for the case of crystal phases.

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Sommario Viene proposta una rigorosa fomulazione del principio di Gibbs; vengono derivate e discusse le equazioni per l'equilibrio di un sistema formata da due fasi di una stessa sostanza, quando: a) la sostanza é semplice; b) una é liquida e l'altra é di vapore di una stessa miscela binaria. Alcune considerazioni finali riguardano il caso in cui la fuse solida é cristiallina.

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Work supported by the Italian C.N.R.     

On the dynamic behaviour of elastic plastic beams simply supported and axially loaded

Summary An elasto-plastic beam-column model withn degrees of freedom statically loaded with an axial compressive force is considered. Its dynamic behaviour in the elasto-plastic range, resulting from the action of a transversal distributed force periodically varying in time in condition of resonance with the structure in the elastic range, is examined. The principal differences with previous results obtained with one degree of freedom model are showed.

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Sommario Si considera un modello adn gradi di libertà di un'asta elasto plastica sollecitata staticamente da una forza assiale di compressione. Se ne esamina la risposta, in campo elasto plastico, ad un carico trasversale distribuito, variabile con legge armonica ed in condizioni di risonanza con la struttura in campo elastico, evidenziando le principali differenze rispetto alle conclusioni tratte in precedenza utilizzando schemi ad un grado di libertà.

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The present investigation has been promoted and financed by the Consiglio Nazionale Ricerche (C.N.R.) at the Istituto di Scienza e Tecnica delle Costruzioni del Politecnico di Milano.     

On a stability condition for elastic plastic structures

Summary The paper considers discrete or discretized elastic-plastic structures subjected to conservative external forces and given imposed strains. Material flow laws are assumed to be associated; the plasticity condition and the hardening rule are piecewise linearized.For a given equilibrium configuration of such systems, a necessary and sufficient condition for the positivity of second order plastic work is proved. It is shown that this work is positive if and only if a certain matrix is positive definite. Connections with the kinematic stability of the configuration are discussed.The interest of the statement is two-fold. Firstly it provides a deeper understanding on the assumptions on which some techniques for elastic-plastic analysis are based. Secondly, it leads to operative procedures for stability analysis which may prove efficient in some cases, as it is illustrated with reference to the evaluation of the collapse load for elastic-perfectly plastic frames in the presence of second order geometrical effects.

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Sommario Si considerano strutture elasto-plastiche discrete e discretizzate, soggette a carichi esterni di tipo conservativo e a distorsioni assegnate. Si suppone che il legame costitutivo del materiale sia associato e la condizione di plasticità e le leggi di incrudimento vengano linearizzate a tratti.Per un'assegnata configurazione di equilibrio di un sistema di questo tipo, si dimostra una condizione necessaria e sufficiente per la positività del lavoro plastico del second'ordine; si mostra che esso è positivo se e solo se una certa matrice risulta positiva definita. Le implicazioni di questo evento con la stabilità della configurazione sono brevemente discusse.L'asserto dimostrato ha un duplice interesse. In primo luogo approfondisce il significato di alcune ipotesi alla base di certe tecniche numeriche per l'analisi elasto-plastica; in secondo luogo porta a procedimenti operativi per l'analisi della stabilità che possono rivelarsi utili in alcuni casi, come è illustrato con riferimento alla determinazione del carico di collasso di telai elasto-plastici in presenza di effetti del II ordine.

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Research sponsored by the C.N.R.     

Limit analysis of plates with piecewise linear yield surface

Summary Rigid-plastic plates having a piecewise linear yield surface are studied by limit analysis. Extremum principles for the evaluation of specific dissipation power are defined by means of linear programming concepts. The law governing the plastic collapse of plates is formulated on the basis of the well-known kinematic theorem of limit analysis. A general procedure for the approximate determination of the collapse load is proposed. The paper ends with a brief numeric investigation of the uniformly loaded square plate.

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Sommario Si studiano attraverso l'analisi limite le piastre costituite di materiale rigido-plastico aventi superficie di snervamento di tipo poliedrico. I principi di estremo riguardanti la valutazione della potenza specifica di dissipazione vengono definiti attraverso i concetti della programmazione lineare. Attraverso il noto teorema cinematico dell'analisi limite, si formula la legge che regola il collasso plastico delle piastre. Viene proposto un procedimento per la determinazione approssimata del carico di collasso del tutto generale. Si conclude infine con una breve indagine numerica relativa al caso di piastra quadrata con carico uniforme.

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The results presented in the paper form part of a Research supported by the National Research Council (C.N.R.).     

Thermodynamic restrictions on thermoelectric,thermomagnetic and galvanomagnetic coefficients

Summary All the consequences of the Clausius-Duhem nequality on thermoelectric, thermomagnetic and galvanomagnetic ffects are examined within the framework of a fourth-order heory developed in a previous paper. Besides the classical results, ome new conditions are derived and discussed.

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Ommario Gli autori esaminano tutte le conseguenze della isuguaglianza di Clausius-Dubem sugli effetti termoelettrici, rmomagnetici e galvanomagnetici nell'ambito di una teoria al narto ordine sviluppata in un lavoro precedente. Si ritrovano i isultati classici e, nel contempo, vengono dedotte e discusse talune hove condizioni.

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Work supported by the “Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica” of C.N.R.     

On a model for the temperature distribution in moving bimetallic strips

Summary We propose a mathematical model for the study of the temperature distribution in each component of a bimetallic strip, moving along a horizontal line, at a prescribed steady speed. A simplified model for the temperature averaged over a transversal cross section in bronze and steel respectively is considered. We prove that conduction in the direction of the strip motion can be neglected if the speed V exceeds some computable value.

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Sommario Si propone un modello matematico per lo studio della distribuzione della temperatura in una bronzina costituita da due strati metallici, che viene fatta scorrere a velocitá costante lungo una direzione orizzontale. Si considera un modello semplificato per la media della temperatura del bronzo e dell'acciaio su una sezione trasversale. Si dimostra che la conduzione nella direzione del moto della bronzina è trascurabile nell'ipotesi che la velocità superi un valore assegnato.

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Work partially supported by the Italian C.N.R. (Project on Industrial and Technological Application of Mathematics).     

Stability of axisymmetric motions in a rotating inviscid atmosphere

Summary We study the set of ordinary differential equations representing the truncation of the spectral vorticity equation in spherical geometry for two-dimensional, non divergent motions in a homogeneous, inviscid rotating atmosphere. The set of included spectral components represent an arbitrary axisymmetric field of motion (zonal flow) interacting with a couple of non zonal, wave-like perturbations. We analize the stability of the equilibrium configuration described by purely zonal flow, by an esplicit representation of the linear and non-linear parameters which characterize the unstable oscillations induced by perturbations of the equilibrium.

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Sommario Si studiano le soluzioni di un sistema di equazioni differenziali ordinarie che rappresentano il troncamento a poche componenti di Fourier dell'equazione di conservazione della vorticità per moti bidimensionali, non divergenti in una atmosfera rotante, inviscida e omogenea. Tale troncamento include tutte le componenti spettrali che rappresentano flussi a simmetria assiale (moti zonali) in interazione non lineare con una coppia di componenti asimmetriche che rappresentano flussi ondulatori. Si studia la stabilità della configurazione di equilibrio caratterizzata da moto zonale stazionario, analizzando i parametri lineari e non lineari che descrivono le oscillazioni instabili di ampiezza finita del campo di flusso che nascono da condizioni iniziali nell'intorno dell'equilibrio.

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This work was supported by the C.N.R. through the Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica.     

Solution to the boltzmann equation for monoenergetic neutrons in a slab

Summary This paper presents a physical solution to the linear integro-differential Boltzmann equation, which governs the stationary distribution of the flux of monoenergetic neutrons in the interior and at the boundary of an infinite slab of finite thickness. Results for both the angular and the total fluxes are obtained by properly accounting for the boundary conditions of the problem and by a Fourier transform of the original Boltzmann equation. An integral linear Fredholm equation for the Fourier transform of the total flux is thus derived. The solution of such an equation is given two different representations according to the two decompositions devised for the given Fredholm kernel. The solution obtained in each case is finally inverted termwise to yield the sought total flux in the original space. The result for the angular flux follows, then, directly from the result for the total flux.

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Sommario In questa nota viene costruita una soluzione fisica dell'equazione integro-differenziale lineare di Boltzmann, che, in regime stazionario, regola la distribuzione del flusso di neutroni monoenergetici all'interno di una lastra piana di spessore finito. Risultati per la distribuzione sia del flusso angolare che totale vengono ottenuti tramite una trasformazione di Fourier dell'equazione integro-differenziale di partenza, in cui le condizioni al contorno del problema vengono opportunamente incorporate. Si perviene in tal modo ad una equazione integrale lineare di Fredholm per la trasformata di Fourier del flusso totale. Della soluzione di questa equazione vengono date due diverse rappresentazioni, che corrispondono a due possibili decomposizioni del nucleo dell'equazione stessa. In ciascuno dei due casi la soluzione ottenuta viene quindi antitrasformata termine a termine per riprodurre il flusso totale nello spazio originale. Dal risultato per il flusso totale segue poi direttamente quello del flusso angolare.

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Work performed under contract C.N.R.     

Boundedness,continuity, positivity and dominance of the solution of the neutron boltzmann equation

Summary In this paper the behavior of the solution of the integral form of the neutron transport Boltzmann equation is investigated for slab and sphere geometry. The study of the properties of the integral transport operator K leads to interesting results concerning the following subjects: boundedness, continuity and positivity of the total flux; existence of a dominant critical eigenfunction; spectral properties of K; dependence of the critical eigenvalue on the dimensions of slab and sphere; uniform convergence of the Neumann series in subcritical conditions; approach to the criticality; summability of the solutions and neutron conservation.

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Sommario In questo lavoro viene esaminato il comportamento della soluzione della forma integrale dell'equazione di Boltzmann del trasporto dei neutroni nel caso di una lastra piana e di una sfera. Lo studio delle proprietà dell'operatore integrale del trasporto K porta ad interessanti risultati riguardanti i seguenti argomenti: limitatezza, continuità e positività del flusso totale; esistenza di una autofunzione dominante critica; proprietà spettrali di K; dipendenza dell'autovalore critico dalle dimensioni della lastra piana e della sfera; convergenza uniforme della serie di Neumann in condizioni sottocritiche; avvicinamento alla criticità; sommabilità delle soluzioni e conservazione dei neutroni.

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Work performed under contract C.N.R.     

On the notion of state for a material system

Summary For every simple material the set of thermodinamic processes is completed by means of a special uniformity related to the dynamic material behavior and the state space topology.In such a way we are allowed to work with a complete state space so that we obtain the same results of Coleman and Owen [1] and moreover we attain to a theory where potentials are defined on the whole state space.

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Sommario Per ogni materiale semplice il relativo insieme dei processi termodinamici viene completato mediante una particolare uniformità legata alle caratteristiche dinamiche del materiale e legata anche alla topologia dello spazio degli stati.In tal modo è possibile lavorare con uno spazio di processi completo e ottenere così oltre agli stessi risultati di Coleman e Owen [1] anche una teoria dove i potenziali sono definiti su tutto lo spazio degli stati.

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Work performed under the auspices of G.N.F.M. of the C.N.R. (Consiglio Nazionale delle Ricerche).