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Euler-Maclaurin 公式与渐近估计 总被引:2,自引:0,他引:2
张南岳 《数学的实践与认识》1985,(1)
若 f(x)是连续可微函数,那么我们可以用 f(x)及其导函数 f′(x)的有关积分表示有限和 sum from k=n+1 to m f(k),这就是重要的 Euler-Maclaurin 公式.令 m 趋于无穷,我们就可以用广义积分表示出相应的无穷级数.更一般地,当级数是函数项级数 sum from k=1 to ∞ f(k,t)时,这个级数可用含参数 t 的广义积分表示出来.这对于研究级数的和函数的渐近性质常常是很有用的.本文先介绍 Euler-Maclaurin 公式,然后给出它在渐近估计方面的几个例子. 相似文献
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用级数的前n项的某种平均构成新级数的一般项并研究其性质,是一个非常有趣的问题.文章从一道数项级数练习题出发,联系Hardy不等式,将研究对象推广到通过一般函数获得的级数前n项的平均值.其次,类比连续型的Hardy不等式,将所得结论推广到了对[0,+∞)上可积函数在[0,x]上积分均值的研究,进一步推广了原命题. 相似文献
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在立体几何中,我们所遇到的极值的问题一般都是次数高于二次的函数或是分式函数的极值问题.对于没有学过导数的人,解这类问题都比较困难,特别对于中学学生,感到束手无策.但是,这些极值问题大多数是和面积,体积 相似文献
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借助实例介绍利用级数收敛和数列极限存在的关系并结合阿贝尔变换求数项级数和的方法、利用幂级数和傅里叶级数的和函数在某点的函数值来求数项级数和的方法、利用基本初等函数的泰勒级数公式求数项级数和的方法. 相似文献
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因数列 { an}是定义在正整数集或其有限子集上的函数 ,故若给出一个数列的前若干项 ,欲求其通项公式 ,是和求函数解析式有密切关联的一个问题 .假若给定数列的前几项 ,能否写出其通项公式 ?如果能的话 ,能写出多少个 ?例 1 已知数列的前三项为 :3,9,2 7,请写出它的一个通项公式 .思路 习惯上把其一个通项公式写成an =3n.既然数列是定义在正整数集或其有限子集上的函数 ,我们自然会想到 :能否用一个最低次的关于 n的整式函数来表示 ,对于数列3,9,2 7,…来说 ,已知其前三项 ,就是知其对应的函数 f(n)图像上三个点 P(1,3)、Q(2 ,9)和 R(3,2… 相似文献
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求极限的方法虽然很多,但有一些极限题目求解仍然很困难,例如极限式是连乘积或和式形式,极限式含有n!或n的指数项等。在学习了无穷级数后;我们可以用无穷级数理论来求某些数列和函数的极限,这些方法为求极限问题提供了一种新的解题思路。本文用例题说明这些方法的应用。一、利用级数收敛的必要条件来极限一个数列Un的极限不易求出,如能将此看成某级数的通项,而对此级数收敛性的判定又较容易,则可由级数收敛的必要条件得出这个数列的极限为零。这种思路曾用于证明函数e“、sinx等幂级数展式中余项是趋于零的。对那些含有n!项、n的… 相似文献
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<正> 一个函数的Taylor展开,在近似计算中十分重要,其中的主要问题是求函数的各阶导数。如果这个函数是复合函数f[g(t)],为了估计误差,希望得到高阶导数D~nf[g(t)]的一般公式。在其它场合,例如用上级数方法解偏微分方程的初边值问题时,还会遇到求多元复 相似文献
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本文利用一个已知的变换公式及其它基本超几何函数的求和公式,给出了一类q级数恒等式的新的更简单的证明,并建立了该类恒等式的一般形式. 相似文献
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新近所得到的关于椭圆算子、Riemann流形上的Laplace算子和Markov链第一特征值下界估计的一般公式均依赖于某些函数类,即关于试验函数取变分.这里进一步得到了这些公式的一种显式估计.其优点是无需再使用试验函数.奇妙的是它不仅控制了上述变分公式所包含的全部实质性估计,而且导出了一维情形第一特征值正性的简洁判准.进一步的改进将在后续文章中给出. 相似文献
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在应用边界元方法求解Helmholtz方程周期边值问题时,需要构造以周期Green函数或其偏导数为核函数的积分算子形式的解.由于Helmholtz方程的周期Green函数G~P是一个函数项级数,该级数的通项是Hankel函数,在数值求解中,需要对其进行截断,从而很有必要研究其截断误差.本文根据Hankel函数在变量趋于无穷大时的渐近展开式,并结合Abel不等式,证明了G~P及其一阶偏导和二阶混合偏导一致收敛,且其截断误差收敛阶均为O(1/p~(1/2)).最后,通过数值实验验证了理论证明的正确性.本文的证明方法也可被用于证明其它一些方程周期Green函数的收敛性问题. 相似文献
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主要研究了P-adic数域上无穷级数的收敛问题,给出了P-adic数域上数项级数,函数项级数收敛的充要条件,并作了完整的证明.得到了P-adic数域上级数收敛比实数域上级数收敛更容易判断的结论. 相似文献
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以微分方程为工具 ,推出一类一致收敛且具有分析性质的函数项级数的求和公式 ,进而推广了五种基本幂级数 [1 ] 的和函数公式 . 相似文献
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文章在已知实数项级数收敛及区间数列收敛概念的基础上,具体阐述了区间数项级数的定义及其性质.然后,给出了几个关于正区间数项级数敛散性判断定理与推论.最后,关于一般项区间数级数敛散性的判别作了讨论. 相似文献
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讨论了二元复变解析函数在单位复超球区域上的某些边值问题,包括Dirichlet问题和Riemann-Hilbert问题,利用Cauchy公式、Plemelj公式以及级数展开的方法,我们对不同标数的情形,给出了所提问题可解的充分必要条件. 相似文献
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Nassrallah-Rahman积分的一个新证明 总被引:2,自引:0,他引:2
应用关于q-微分算子的Leibniz公式证明了关于q-微分算子的两个恒等式.利用这些恒等式及q-级数的一些求和公式给出了Nasralah-Rahman积分的一个新证明,进而给出了关于q-级数8Φ7的积分表示的一个简易推导 相似文献
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《数学的实践与认识》2018,(20)
根据一个已知级数,利用正弦积分与Clausen函数的结果,使用积分-裂项方法得到分母为1个平方因子,平方因子与1个,2个,3个一次因子乘积的二项系数级数.所给出二项式系数级数的和式是函数形式.并给出分母含有奇平方因子的二项式系数数值级数恒等式. 相似文献