Divisible modules and space of divisibility of an integral domain

Sunto Se A è un modulo divisibile su un dominio d'integrità R e Q è il campo delle frazioni di R, sia R_A Q il massimo sopraanello di R tale che A possa essere dotato della struttura di R_A-modulo. La struttura di R_A riflette quella di A. Se A è un modulo divisibile semplice di torsione, cioè è divisibile di torsione e non ha sottomoduli divisibili propri non nulli, R_A è analiticamente irriducibile. Se C e D sono due moduli divisibili semplici, diciamo C equivalente a D se R_C=R_D. Se d-Space (R) è un insieme di rappresentanti delle classi di equivalenza degli R-moduli divisibili semplici, d-Space (R) puó essere dotato di una struttura di spazio di Hausdorff zero-dimensionale; lo spazio topologico d-Space (R) (da noi chiamato lo spazio di divisibilità di R) contiene un sottospazio chiuso omeomorfo alla superficie di Riemann astratta di R dotata della patch topology.

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Lavoro eseguito con il contribute del Ministero délia Pubblica Istruzione     

Quasi-isomorphisms of finitely generated modules over valuation domains

Sunto Sia R un anello commutativo. Due R-moduli si dicono quasi-isomorfise ciascuno è isomorfo ad un sottomodulo dell'altro. Si prova che, a meno di quasi-isomorfismi, un R-modulo si decompone in modo unico in una somma diretta finita di sottomoduli uniformi. Nel caso in cui R è un dominio di valutazione, si prova che, se X e Y appartengono ad una certa classe di R-moduli finitamente generati e uniformi, X e Y sono quasiisomorfi se e solo se sono isomorfi. Usando i precedenti risultati, otteniamo nuove classi di R-moduli finitamente generati che, a meno di isomorfismi, si decompongono in modo unico in somma diretta di addendi indecomponibili.

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Lavoro eseguito con il contributo del Ministero della Pubblica Istruzione.     

Moduli compatti e linearmente topologizzati e dualità

Riassunto SianoR un anello commutativo con unità munito della topologia discreta edM unR-modulo topologico compatto e totalmente sconnesso. Nel lavoro si determinano condizioni necessarie e sufficienti, riguardanti sia l'anello che il modulo, affinchèM sia linearmente topologizzato comeR-modulo, sfruttando una condizione sufficiente individuata da Woodcock per il caso localmente compatto anzichè compatio (cfr. [6]). Si trova inoltre che i moduli compatti e linearmente topologizzati suR sono tutti e soli i duali secondo Pontrjagin di una sottoclasse ereditaria di pretorsione della categoria degliR-moduli, ed infine che, su tale classe, la dualità di Pontrjagin è equivalente alla dualità di Orsatti [3].

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Summary In this paper we give necessary and sufficient conditions for a compact topologicalR-moduleM to be linearly topologized (R is equipped with discrete topology). Moreover we give a characterization of linearly topologized compact modules in terms of their duals with respect to Pontrjagin duality forR-modules, thus identifying a classC F ⊆ ModR. Then we study the Haudorff completion ofR with respect to the topology of all ideals of finite index, and the dual of this completion with respect to Pontrjagin duality forR-modules. Eventually we show that for the classC F Pontrjagin duality is equivalent to other dualities studied in [2] and [3].

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Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.S.A.G.A. del C.N.R.     

The topology of two-dimensional real algebraic varieties

Sunto È noto che ogni spazio analitico reale è localmente omeomorfo al cono su un poliedro con caratteristica di Eulero-Poincaré pari. Si dimostra che questa condizione è anche sufficiente affinchè un poliedro (compatto) di dimensione due P sia omeomorfo ad una varietà algebrica reale affine P. Segue inoltre dalla costruzione che la P ottenuta ha, in un certo senso, un insieme di singolarità algebriche minimale, compatibilmente con la topologia di P.

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The authors are members of the G.N.S.A.G.A.     

Noncharacteristic hypersurfaces for complexes of differential operators

Sunto Sia X una varietà differenziabile ed S una ipersuperficie orientata in X. Si consideri un complesso di operatori differenziali su X. Se S è formalmente non caratteristica, esso induce un complesso di operatori su S. Si generalizza la nozione di simbolo di un operatore differensiale al caso di multigradazioni e si dimostra che, se S è non caratteristica, modulo «trasformazioni fibra» il complesso indotto è un complesso di operatori differenziali. In particolare, se una ipersuperficie è non caratteristica rispetto alla nozione usuale di simbolo, il complesso al bordo è sempre un complesso di operatori differenziali. Nell'ultima parte del lavoro si studio, il complesso al bordo indotto dal complesso di Hilbert dell'operatore .     

Good dualities and strongly quasi-injective modules

Sunto Siano R ed A due anelli e sia_RK_A un bimodulo topologico di Hausdorff su R ed A dotati della topologia discrete. Sia D(K_A) la categoria formata dagli A-moduli astratti M tali che Hom_A (M, K) separa i punti di M e sia C(_RK) la categoria formata dagli R-moduli topologici che sono topologicamente isomorfi a sottomoduli chiusi di prodotti topologici di copie di_RK. Nella prima parte del lavoro si determinano dette condizioni su K affinchè le suddette categorie siano l'una la duale dell'altra. Nella ricerca di tali condizioni la nozione di modulo topologico fortemente quasi-iniettivo giuoca un ruolo fondamentale. Nella seconda parte del lavoro si studia il caso in cui K è compatto. In particolare, si mette in evidenza uno stretto legame fra la suddetta teoria di dualità ed i risultati di K. R. Fuller sulla teoria delle equivalenze. Nella terza parte del lavoro, infine, si esamina il caso in cui_RK è disereto. Si approfondiscono in tale ambito alcuni risultati ottenuti precedentemente dagli autori nel caso in cui R ed A siano commutativi. Come applicazione si dimostrano rapidamente alcuni teoremi di B. Mütter riguardanti la dualità di Morita.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca matematica del CNR.     

L p Regularity and partial Hölder continuity for solutions of second order parabolic systems with strictly controlled growth

Sunto Si dimostra innanzitutto la regolarità L^p-globale, 2 < p < p₀, delle derivate spaziali D_iu delle soluzioni di un problema di Cauchy-Dirichlet per sistemi parabolici lineari del II ordine definiti in un cilindro Q=×(0,T) Rⁿ×R_t, con dati al bordo nulli e coefficienti L. Questo risultato generalizza quello di [6]. Se ne deduce un risultato L^p-locale, 2

0, per le derivate spaziali D_iu di soluzioni di un sistema parabolico quasi-lineare del II ordine con andamenti strettamente controllati. Ne consegue che, sotto opportune ipotesi, le soluzioni in Q di un sistema parabolico quasi-lineare del II ordine con andamenti strettamente controllati, sono parzialmente hölderiane in Q nel senso che esiste un cilindro Q₀ Q, chiuso in Q e di misura di Hausdorff n-dimensionale 0, tal e che la soluzione u è hölderiana in QQ₀. Questo risultato generalizza quello di [8].     

La variazione seconda generalizzata nel caso dei punti terminali mobili e problemi sugli autovalori connessi

Suute. L'A. prendendo in esame un funzionaleJ[y] (l'integrale di una espressione quadratica iny ey′), pery variabile nell'insieme delle funzioni di classeC′ in un dato intervallo, mette in rilievo taluni problemi sugli autovalori inerenti a sistemi differenziali con condizioni quadratiche in due punti o generali condizioni lineari agli estremi, ed assegna, seguendo un procedimento assai semplice, una condizione espressiva e di facile applicazione che è necessaria e sufficiente: per l'esistenza del minimo diJ[y] e di autovaloricontenuti nell'intervallo (0, 1). Nel contempo dimostra l'esistenza di infiniti autovalori (con l'infinito come punto limite) pei menzionati sistemi, e, richiamandosi a precedenti studi, rileva la possibilità di estendere le superiori considerazioni al caso che si debba decidere dell'esistenza o no di autovalori contenuti in un intervallo assegnato (r ₁, r₂) e che il parametro figuri non linearmente.     

Su alcune soluzioni parametriche delle equazioni del moto intorno a un punto fisso di un solido pesante asimmetrico

Sunto. In questa nota si considerano le equazioni del moto intorno a un punto fisso di un corpo rigido pesante, nel caso in cui il baricentro appartenga a uno dei piani principali dell'ellissoide d'inerzia relativo al punto fisso (piano xy). Si ravvisa la possibilità di una particolare soluzione parametrica per mezzo di un parametro u tale che du=rdt, essendo r la componente della velocità angolare secondo l'asse z, e nell'ipotesi che il coseno direttore γ₃ secondo l'asse z della verticale discendente, sia della forma: γ₃=α₀(Ax₀p+By₀q)r, con α₀ costante, mentre gli altri simboli hanno il solito significato. Si dimostra che sono possibili soltanto due casi: Il 1^o é quello in cui il baricentro appartiene a uno degli assi x, y (y₀=o, oppure x₀=0), e questo corrisponde a un caso di integrabilità segnalato da Stekloff; il 2^o è quello in cui l'asse z è asse intermedio dell'ellissoide d'inerzia e la retta baricentrale coincide con l'intercezione del piano xy con uno dei due piani ciclici dell'ellissoide d'inerzia passanti per l'asse z. In questo secondo caso il moto si riduce a una rotazione uniforme del solido intorno a tale retta baricentrale disposta verticalmente, retta che appartiene al cono di Staude. Entrata in Redazione il 15 maggio 1975.     

Sopra l'esistenza dell'estremo assoluto per problemi variazionali di ordinen anche con riferimento a una nuova definizione di intorno

Sunto. Nel presente lavoro viene ripreso in esame il problema dell'esistenza dell'estremo assoluto per una classe di integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica dipendenti da elementi differenziali fino all'ordine n (n>3) e invarianti rispetto al parametro. Tale problema viene trattato, oltre che con riferimento alla definizione di intorno (ϱ)ⁿ di una curva ordinaria C ₀ ⁽ⁿ⁾ , considerata in precedenti ricerche dall'A., anche in base a una nuova definizione di intorno {ϱ}ⁿ di una curva ordinaria C ₀ ⁽ⁿ⁾ introdotta recentemente dall'A. Si perviene dapprima a un teorema di esistenza valido con riguardo sia all'una che all'altra delle citate definizioni. In seguito, invece, il problema stesso viene trattato separatamente nei due casi in cui si fa riferimento o all'una o all'altra delle definizioni sopra indicate, e si perviene a teoremi di esistenza dell'estremo assoluto la cui validità è assicurata in classi di curve ordinarie C⁽ⁿ⁾ che sono complete rispettivamente di ordine n-(I) o di ordine n-(II). I risultati ottenuti, alcuni dei quali sono nuovi anche per n=3, vengono illustrati con vari opportuni esempi. Entrata in Redazione il 22 dicembre 1976. Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.A.F.A. (C.N.R.).     

Indecomposable finitely generated modules over valuation domains

Summary LetR be a valuation domain,S a maximal immediate extension ofR. We introduce the definition of unitary independence. We use units ofS, which are unitarily independent over an ideal ofR, to construct indecomposable finitely generatedR-modules with Goldie dimension greater than one. We prove that, ifR is archimedean, the endomorphism ring of an indecomposable finitely generatedR-module is local. On the other hand, we prove that, ifR is a suitable non archimedean valuation domain, there exist indecomposable finitely generatedR-modulesM such that End (M) is not local.

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Riassunto SiaR un dominio di valutazione,S un'estensione massimale immediate diR. Si introduce la definizione di indipendenza unitaria. Si usano unità diS unitariamente indipendenti su un ideale diR per costruireR-moduli finitamente generati indecomponibili con dimensione di Goldie maggiore di uno. Si dimostra che, seR è archimedeo, l'anello degli endomorfismi di unR-modulo finitamente generato indecomponibile è locale. Si prova altresì che, seR è un opportuno dominio di valutazione non archimedeo, esistonoR-moduliM finitamente generati indecomponibili, tali che End (M) non è locale.

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNSAGA.     

Su certi sistemi ∞1 di omografie

Sunto Si dimostra che se y è un punto della traiettoria di x in un sistema ∞¹ di omografie (contenente l'identità) e se la stessa omografia che porta x in y fa corrispondere le relative tangenti, il sistema è un gruppo oppure è formato da omologie con lo stesso centro. A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico     

Descrizioni geometriche sintetiche di geometrie proiettive con caratteristicap >0

Sunto è ben noto che, per gli spazi proiettivi basati sopra un corpo commutativo, vale il teorema di Pappo e che, viceversa, per mezzo di questo teorema tali spazi possono essere coordinatizzati con un corpo commutativo K. Il teorema di Fano ci dice quando K non può essere di caratteristica p=2. Un altro teorema è: In piani proiettivi sopra corpi K con p=2, e soltanto in questi, si ha che: Le tangenti d'una conica, costruita nel modo sintetico consueto, passano per un punto fisso. Teoremi del genere per p ≠2 sembrano mancare finora, ma sono necessari per una costruzione pure sintetica della geometria algebrica. Il lavoro seguente conterrà siffatti teoremi. Entrata in Redazione il 14 giugno 1976.     

A condition that a derivation be inner

SiaR un anello primo con derivazioned. Si dimostra che se esiste un ideale sinistroL≠0 diR ed un elementoa≠0. tale chead(L)≠0, allorad è una derivazione interna indotta da un elemento dell'anello dei quozienti di Martindale diR.     

Hilbert polynomials and powers of an ideal

Sunto Nel n1. viene definito il complesso generalizzato di Koszul K(A; E; t) di R-moduli associato ad una matrice A sopra un anello R e un R-modulo E. Si studia poi K(A; E; t) nel caso particolare in cui A sia una matrice della forma B(m, s) data nel n.3. Si dimostra infine che, sotto certe condizioni di finitezza, la lunghezza di ogni modulo d'omologia à una funzione polinomiale in m per m grande, e che per ogni m ≥1 la caratteristica di Euler-Poincaré è il prodotto di un coefficiente binomiale per la caratteristica del complesso di Koszul K(B(1, s); E;0).

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Entrata in Redazione il 18 novemb e 1972.     

Rings with commuting projections

Si dimostra che in un anello con involuzione, sotto opportune ipotesi, ogni proiezione che commuta con un certo tipo di suoi coniugati è centrale.     

Sull'espressione dell'energia libera nei materiali viscoelastici lineari

Sunto Si dimostra come l'energia libera di un materiale elastico lineare con memoria si possa identificare con l'energia potenziale interna di Volterra. Si ha così una espressione dell'energia libera che, associata ai principi della termodinamica, permette di ricavare proprietà dei coefficienti di memoria, sinora ammesse come intuitive, e di provare, direttamente, una condizione di minimo dell'energia libera conforme a un teorema di Coleman. A BeniaminoSegre nel suo 70° compleanno Entrata in Redazione il 30 settembre 1973.     

Persistence and spatial patterns in a one-predator-two-prey Lotka-Volterra model with diffusion

Sunto Si considera un sistema di equazioni di reazione- diffusione del tipo di Lotka-Volterra con due prede e un predatore. Assumendo delle ipotesi sui coefficienti che assicurano che il sistema è persistente (nel senso di Butler, Freedman e Waltman), si mostra l'esistenza di equilibri non omogenei e di soluzioni periodiche non omogenee rispetto alla variabile spaziale per certi valori dei parametri di diffusione. I risultati sono illustrati da elaborazioni numeriche.     

Funzioni tensoriali di un vettore e leggi elementari dell’elettromagnetismo

Sunto Si espone un algoritmo particolarmente adatto per lo studio delle leggi elementari dell’elettromagnetismo, sia allo scopo di stabilire il grado di indeterminazione da cui sono affette, sia allo scopo di determinare tutte le leggi elementari dotate di requisiti assegnati. Nel primo capitolo si esaminano le proprietà generali delle leggi elementari e si classificano. Nel secondo capitolo si studiano i tensori del secondo e del terzo ordine associati alle leggi elementari. Tali tensori sono tutti funzioni di un vettore e godono delle proprietà che al mutare della terna di riferimento le nuove componenti del tensore, espresse in funzione delle nuove componenti cartesiane del vettore, godono dell’invarianza formale. Tale proprietà si traduce in un sistema di equazioni funzionali, che vengono risolte. Si ha così che le 9 (27) componenti del tensore di secondo (risp. terzo) ordine possono essere espresse mediante una combinazione lineare di sole 3 (risp. 7) funzioni del solo modulo del vettore, che vengono chiamate “funzioni di distanza” del tensore. La ricerca delle leggi elementari dotate di proprietà assegnate dà luogo a sistemi di equazioni differenziali fra le componenti dei tensori associati alle dette leggi. Tali sistemi constano talvolta di un enorme numero di equazioni alle derivate parziali del primo o del secondo ordine. Tuttavia la sopradetta conoscenza della semplice struttura dei tensori incogniti ed un appropriato procedimento di calcolo permettono di pervenire alle soluzioni in modo relativamente semplice, rispetto alle complessità che la questione offre a prima vista. Alcuni esempi vengono illustrati. Nel terzo capitolo si risponde in modo esauriente all’antica questione relativa all’indeterminazione della prima legge elementare diLaplace. Nel quarto capitolo si determinano le espressioni generali di particolari insiemi di leggi elettrodinamiche. Ad Antonio Signorini nel suo 70^mo compleanno.