常见递推数列通项公式的求法

递推数列求通项问题是高考与竞赛的热点问题,本文按照数列递推式的发展演化递进顺序,运用化归与转化的思想,简述了九类递推数列通项公式的求法.     

数列通项公式的求法

在关于由递推关系求通项公式的问题中,有一类递推关系既含有“项”,又含有“和”,即“项”“和”混杂,若一并考虑,则困难重重．对此种式子应先消元：     

几类数列通项的矩阵求法

本利用矩阵给出了几类数列的通项公式的求法，把数列通项公式的求法转化为矩阵幂的计算，思路简单、计算简便，并能判别其敛散性。     

一类数列的通项公式

众所周知 ,当一个数列用两个函数式表示 ,即ａｎ =ｆ(ｎ) ,ｎ=2ｋ- 1ｇ(ｎ) ,ｎ=2ｋ 　 (ｋ∈Ｎ)时 ,可合并写成ａｎ =1 (- 1 ) ｎ 12 ｆ(ｎ) 1 (- 1 ) ｎ2 ｇ(ｎ)　 (ｎ∈Ｎ)　① ,那么当一个数列用三个函数式表示 ,即ａｎ =ｆ(ｎ) ,ｎ=3ｋ- 2ｇ(ｎ) ,ｎ=3ｋ - 1ｈ(ｎ) ,ｎ =3ｋ(ｋ∈Ｎ)时 ,能合并写成一个表达式吗 ?对更一般的情况又会怎样呢 ?1　发现过程表达式①中 ,1 ,- 1可视为方程ｘ2 =1的两个根 ,1 (- 1 ) ｎ 12 ,1 (- 1 ) ｎ2 的分母 2正好是方程ｘ2 =1中未知数ｘ的次数 .注意到共性 :当ｎ 1 =2ｋ时 ,ａｎ =ｆ(ｎ) ,对应写成1…     

含根式的数列递推式的通项公式求法探讨

数列通项公式在各类数学竞赛中既是一个重点，又是一个难点．成为难点的一个原因，就是求通项公式的方法灵活多样，分析、推理、综合等能力较强．下面仅就含根式的数列递推式的通项公式求法给予探索和分析．     

交数列通项公式的求法例说

由数列｛ａｎ｝与｛ｂｎ｝的所有公共项,按它们在原数列中的次序排成的数列｛ｃｎ｝,可称为｛ａｎ｝,｛ｂｎ｝的交数列;这是一个值得研究的新课题,它的一个基本问题是求两个已知数列的交数列通项公式,本文试举几例说明各种方法及基本策略,从而揭示交数列的一般规律;例１　（１９８７年上海市高三数学竞赛）已知等差数列①：５,８,１１,…,与等差数列②：１,５,９,…,均有３００项,则有　　个数同时出现在这两个数列中;解法１　具体考察数列①：５,８,１１,１４,１７,２０,２３,２６,２９,…,３ｎ＋２,…;②：…     

类比思维的一种应用——已知递推公式求通项公式

本文拟用类比思想来研究三类特殊的已知递推公式求通项公式的题型。     

二阶线型递推数列通项公式的求法

求递推数列的通项公式，既是中学数学学习中的一个难点，又是近几年高考的一个热点，近三年新课程高考压轴题都是求这类数列通项公式的问题．文[1]介绍了一些常见递推数列通项公式的求法，本文就求二阶线型递推数列通项公式，介绍一种通用的方法．     

数列通项公式的求法

在关于由递推关系求通项公式的问题中,有一类递推关系既含有项,又含有和,即项和混杂,若一并考虑,则困难重重.对此种式子应先消元:即利用项与和之间的关     

常系数线性递推数列通项公式的矩阵求法

设数列为,若有正整数K和K＋1个实常数使对任意自然数n都成立,则称阶常系数线性递推数列,（l）式称为递推公式．彭咏松先生在文［l」中利用等比数列和线性方程组的一些知识,研究了常系数齐次（ho一O）线性递推数列的通项公式．本文利用矩阵理论讨论了一般的常系数线性速推数列通项公式．则（1）变为：将（2）式反复迭代,则有：当矩阵E－A可逆时,由于从而（3）式变为当时,,于是可见求数列（n｝通项公式的关键就是求矩阵A的n次方幂,利用矩阵理论可解决此问题．下面举例说明（X。）的通项公式的矩阵求法．例至已知X;一O,X。一1,…     

Fibonacci数列通项公式的四个直接证明

分别用初等方法,分析学中的生成函数方法,线性代数中矩阵的对角化方法以及几何变换的方法给出了Fibonacci数列通项公式的四个较为简单的直接证明.     

关于线性循环数列的通项公式

给出了线性循环数列的通项公式。     

常见的非线性递推数列通项公式求法

我们经常遇到含有分式根式或二次式等非线性递推关系．如何根据这些非线性递推关系求数列的通项公式呢？     

转化法求递推数列通项公式

求递推公式数列通项公式问题,是近几年高考的热点.通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题求解,通过变换递推关系,将非等差、等比数列转化为与等差、等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法.     

求有穷数列的通项公式的公式

一个无穷数列未必有通项公式,一个有穷数列呢?学习了高等代数中的拉格朗日插值公式之后,回答是肯定的。任何一个有穷数列都有通项公式。     

斐波那契数列通项公式的求法

分别运用常用求数列通项的方法．子空间理论,矩阵理论,函数方程理论．均可求出斐波那契数列的通项公式．     

如何整合数列的分段形式的通项公式

写出数列{an}：2,8,2,8,2,8,2,8,……的一个通项公式．     

再谈一类递推数列通项的求法

已知an＋1=can^2＋dan＋e/aan＋b, a1=t, ac≠0,e=b/a^2（ad-bc）,求an。     

探究递推数列通项公式求法的实质

已知数列的递推公式,求其通项公式是数列中一类常见的题型,这类题型如果单纯地看某一个具体的题目,它的求解方法是灵活多变的,构造的技巧性也很强.很多课外辅导资料均总结归纳了常见的几种递推数列通项公式的求法,题型上一般可以分为:形如an+1=an+f(n)型数列(其中f(n)不是常值函数);an+1=an·f(n)型数列;an+1=pan+q型数列;an+1=pan+f(n)型数列(p为常数);an=Aan/Ban+C型数列(A,B,C为非零常数).在日常的教学过程中,强迫学生死记硬背,或许能够收到一定的成效,但是数学是以培养学生思维能力为首要任务的学科,所以,我们有必要对以上几种题型的实质进行分析讨论,让学生明白所以然.笔者认为,无论哪种题型,最终均需要利用到等差数列(结合累加原理)或者等比数列(结合累乘原理)定义解决问题.