海伦三角形的若干性质

海仑三角形是边长和面积均为整数的三角形,如三边长互素,则称为基本海仑三角形。本文给出基本海仑三角形的若干性质。在     

周长与面积相等的海伦三角形

周长与面积相等的海伦三角形刘毅（齐齐哈尔教育学院）杨杰飞（齐齐哈尔农行干校）边长与面积均为整数的三角形叫做海伦三角形．本文讨论这种三角形中周长与面积相等的特殊情形，我们将证明如下定理：定理周长与面积相等的海伦三角形只有五个，它们的边长分别是５，１２，...     

存在面积为360的本原海伦三角形

文［１］曾证明有关本原海伦三角形若干定理,其中一个定理为本原海伦三角形的面积Ｓ是６的倍数．后又引文［２］指出：比如,不存在面积为３６０的本原海伦三角形．实际上,这个论断是错的,本文给出反例,找出了存在面积为３６０的本原海伦三角形．下面通过构造出两类海...     

周长是面积k倍的海伦三角形

周长是面积ｋ倍的海伦三角形姚勇（四川永川重印六厂６３２１６０）文［１］证明了周长与面积相等的海伦三角形只有五个．本文将证明更一般的结论．定理１周长是面积ｋ倍的海伦三角形只有有限多个．ｋ为正有理数．引理１不定方程ａｘｙ＋ｂｘ＋ｃｙ＋ｄ＝０①只有有限多组...     

海伦与海伦三角形

提起希腊数学家海伦 ,人们就会立刻想到那个由三边求三角形面积的海伦公式Ｓ=ｐ(ｐ-ａ) (ｐ -ｂ) (ｐ-ｃ)其中Ｓ是三角形面积 ,ａ、ｂ、ｃ为三边之长 ,ｐ是半周长 ,即ｐ=12 (ａ ｂ ｃ) .但据 1 0— 1 1世纪的一位阿拉伯学者比鲁尼 (Ａｂ懕Ｒａｙｈ仭ｎａｌ-Ｂｉｒ懕ｎｉ)所述 ,这一公式是阿基米德 (Ａｒｃｈｉｍｅｄｅｓ ,公元前2 87—前 2 1 2 )最先得出的 ,这一点现在得到公认 .但是这一公式确实是由于海伦的工作而流传下来的 .因而称为海伦公式似乎也是可以的 .海伦 (Ｈｅｒｏ或Ｈｅｒｏｎ)是希腊亚历山大后期(从公元前 30年到公元 60 0…     

三角形外角平分线三角形面积的性质

如图1,△ABC是一任意三角形,△DEF图1是它的外角平分线三角形,记△ABC的三边长为a、b、c,半周长为p,面积为S0,外接圆半径为R,内切圆半径为r,旁切圆半径为ra、rb、rc,△DEF的面积为S.经过探讨,笔者现已得到:定理S=2pR.证明因(p-a)(p-b)(p-c)=r2p,ab bc ca=p2 4Rr r2,得p-1a p-1b     

关于三角形的面积

关于三角形的面积,从小学到中学,大家都知道有三个最常用的计算公式: S=1/2ah_a,S=1/2bcsinA, S=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2) 其中a、b、c表示三角形的三边长,h_a表示边a上的高,A是a边所对的内角,s表示三角形的半周长。为了比较系统地研究三角形的面积问题,本文应用这些公式,从各个角度对这一问题作一探讨。一、根据初等几何研究三角形的面积这时,应用最熟悉的公式S=1/2ab_a,对学生来说是极易理解和接受的,在讨论三角形的面     

关于海伦三角形的一个有趣定理

文中杨之用拟合的方法给出了诺尔曼——埃尔德什定理（即：平面上存在不共线的n个点，其中任两个点间的距离都是整数）的一个初等证明．但证明复杂，且其中有n-1个点都在一条直线上．本文将用构造性方法证明更有趣的结论。     

三角形分块面积乘积的一个性质

定理设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点,且BD:DC=CE:BA=AF:FB=λ,AD、BB、CF交成△RQS,P为△RQS内或其边上一点,以S_cS_a、S_b分别表示△PAB、△PBC、△PCA的面积,则当P点位于△RQS顶点时,S_aS_bS_c达到最小值。引理1 设△ABC所在平面为π,作平面π＇与π交于直线BC,在π＇内作正△A＇B＇C＇,使B＇C＇与BC重合。在AA＇,使A与A＇对应,B与B＇对应,C与C＇对应,过△ABC内或边上任一点X作AA＇的平行线交π＇于X＇,则让X与X＇对应,于是建立了π→π＇的一一对应,则有 1)D、E、F对应点D＇、E＇、F＇分别位于B＇C＇、C＇A＇、A＇B＇上,且有B＇D＇: D＇C＇=C＇     

四边形的海伦面积公式

当且仅当a=b=c=d,即四边形是圆内接正方形时,面积最大．     

关于三角形的一个性质

如图 1 ,在△ ABC中 ,设 AH =BI =1m AB,BD =CE=1m BC,CF =AG=1m AC,其中 m >2 .AD与 BG交于 P,BF与 CI交于R,AE与 CH交于 Q,则有如下结论 :(1 )△ RQP∽△ ABC;(2 ) S△ RQP∶ S△ ABC =(m - 22 m - 1 ) 2 .证明　 (1 )过 D点作 DK⊥ BG于 K,过A作 AM⊥ BG,交 BG或其延长线于     

三角形面积比的两个性质及应用

三角形面积比的两个性质及应用３２５６００浙江省乐清市育英学校方亚斌４３６５００湖北省黄梅县职业高中方文如图１，设ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ分别是ＡＢＣ的三条高线，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别为垂足，Ｈ为垂心，因此可得如下两个关于面积比的定理．定理１，证明此处仅证前一式另外二...     

关于三角形的一个向量性质

文[1]给出了三角形重心的如下一个向量性质：     

内切圆半径为整数的海伦三角形

内切圆半径为整数的海伦三角形曾丕刚（陕西镇安县中７１１５００）笔者对文［１］进行改进与推广得到一些结论．设ＡＢＣ的三边为ａ，ｂ，ｃ；半周长、面积、内切圆半径分别为ｐ，ｓ，ｒ；ｔ＝ｐ－ａ，ｕ＝ｐ－ｂ，ｖ＝ｐ－ｃ．则ｔ，Ｖ，Ｖ的几何意义为各顶点到内切圆的...     

关于一类阿基米德三角形面积最小值的结论

对于抛物线,文[1]中有性质6,如下: 　　若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶点Q的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积的最小值为p2. 　　对于椭圆的底边过定点的阿基米德三角形面积问题,笔者通过简洁运算,得到了一个关于文[1]中性质6的结构优美的推广结论,自以为还是很有趣味的(尤其值得一提的是,推证过程中巧妙地运用了二元Cauchy不等式,从而避开了求最值问题的繁杂计算),现呈现在下文中,以期与读者共享.……     

关于“焦点三角形”面积的求法

椭圆(或双曲线)上任意一点与其两焦点连线构成的三角形称为焦点三角形,解与焦点三角形有关的问题,尤其是解决有关面积的问题时,如果能紧扣圆锥曲线的定义,并结合正弦定理和余弦定理,就能图1　例1图达到顺利求解的目的.例1　已知椭圆的方程为ｘ24 ｙ23=1,Ｆ1,Ｆ2是椭圆的左右焦点,Ｐ是椭圆上一点,且∠Ｆ1ＰＦ2=60°,求△Ｆ1ＰＦ2的面积.解法1　∵ａ2=4,ｂ2=3,∴ｃ2=ａ2-ｂ2=1,∴2ａ=4,2ｃ=2.如图1,设|ＰＦ1|=ｘ,则|ＰＦ2|=4-ｘ.在△ＰＦ1Ｆ2中,由余弦定理,　|ＰＦ1|2 |ＰＦ2|2-2|ＰＦ1|·|ＰＦ2|·ｃｏｓ∠Ｆ1ＰＦ2=|Ｆ1Ｆ2|2,即ｘ2 (4-ｘ)2-…     

一个面积最大值问题的海伦解法

题目已知椭圆 的焦点为F1,F2直线l过F1且与椭圆交于A、B两点,求△F2AB面积的最大值. 这是一道常见题,解法较多.湖北《中学数学》2001年第11期P10页提供了以下四条解题途径: (1)以弦AB为底,点F2到直线l的距离为高解之; (2)以|F1F2|为底,点A、B到x轴的距离|y1|,|y2|为高解之;