Cauchy型积分高阶导数公式的一个证明

<正> 在现行《复变函数论》教材中,Cauchy 型积分的高阶导数公式一般都不证明,最多仅仅指出证明的方法——数学归纳法.而用数学归纳法证明比较繁.下面介绍一个较简单的证明方法(主要取材于 J.B.Conway,Function of One Complex variable).这个方法不仅使 Cauchy 型积分的高阶导数公式得到圆满的证明,而且使 Cauchy 积分的高阶导数公式作为它的特殊情形而得到证明.下面就来证明这个公式.     

应用Popoviciu不等式证明两族孪生对称不等式

<正>Popoviciu不等式如(1)所示,揭示了凸函数在一组数据点的函数值之间的关系.巧用该不等式,可以很好地解决某些不等式难题.本短文将应用该不等式,证明一个采用常规基本不等式无法证明的不等式(2).Popoviciu不等式及其证明可以参考文献[1],证明主要利用了凸函数性质和Karamata不等式.不等式(2)的一个特例,     

关于高斯消去法的主元估计

本文证明了对任意一个给定的6阶实阵 A=(a_(ij)),若其中|a_(ij)|≤1,则有 P_6<6.7883.对于一般 n 阶矩阵,本文给出了估计 P_n 的一个改进方法.     

一个同调函子

<正> 设CW复合形K的维数不大于n+2(n≥2),又设π_r(K)=0(1≤r≤n-1),则K称为A_n~2多面体.J.H.C.Whitehead在[1]中,用上同调群,Pontrjagin或Steenrod平方定义上同调环,他证明A_2~2多面体的伦型与他的上同调环正则同构类一一对应,但是证明方法较为复杂.最近,张素诚建立了一个A_2~2同调可环,证明A_2~2多面体的伦型与A_2~2同调可环的正则同构类一一对应,证明且简化了.本文旨在建立一个函子R:,     

线性代数中构造性证明简析

<正> 在微积分中,微分中值定理,绝对收敛的级数必是收敛的,线性微分方程的求解公式的证明等,都是通过构造一个辅助函数来完成,这是熟知的事实.在线性代数中许多命题的证明,也是通过构造辅助矩阵的方法来完成.然而,一个m×n 阶矩阵共有mn 个元素,构造一个m×n 阶矩阵就要考虑mn 个数(或mn 个函数),在这个意义上说,构造一个辅助矩阵要比构造一个辅助函数复杂些.本文就线性代数对构造性证明进行分析和归纳,进而说明在命题证明中辅助矩阵是如何构造的.2 线性代数中构造性证明简析线性代数中从构造性证明的叙述方式来看,它是属于演绎法,但就其构造过程的思考方法即构造性证明是怎样想出来的,就应属于倒推法.要充分利用命题提供的信息(或条件)由命题的结论开始进行一步一步的     

关于“一个均值定理”一文的更正

<正> 我们在“一个均值定理”(见《数学学报》18:4(1975),254—262)一文所给的证明中有一不严格之处,即在(3.4)的最后一式把提到了的前面,这是不可以的.在不提出时,证明需稍作修正,但方法仍相同.由显然估计     

外平面图全色数定理的简单证明

1988年,张忠输等证明了对于△(G)≥3的外平面图G,全色数X_T(G)=△(G)+1.本文给出此结论一个简单证明,方法是全新的.     

康托洛维奇不等式的初等证法

<正> 吴振奎同志曾用归纳法对不等式的等价形式给出一个初等证明方法,此处再给出一个比归纳法更为简单的初等证明方法.     

简议充要条件命题的证明

<正>一个用充要条件叙述的命题,实际上包含着两个互逆的命题,即p是q(p、q也可以分别为两个命题)的充要条件相当于"若p则q"和"若q则p"这两个命题的总和.因此,要证明一个充要条件的命题,必须采取双向证明的方法,即既要证充分性,又要证明必要性.     

不等式证明的常用技巧

不等式问题千变万化 ,五光十色 ,丰富多彩 .不等式问题的方法因题而异 ,灵活多样 ,技巧性强 .但是 ,它也有一些基本的常用方法和技巧 ,只需我们熟练地掌握好这些基本的方法和技巧 ,相当一部分问题也就可以迎刃而解了 .本文我们讨论不等式问题的一些常用技巧 .1　放缩法在不等式的证明中 ,我们常会使用这样的变形技巧 :为了证明Ａ >Ｂ ,由于不易直接证明 ,我们借助一个 (或多个 )中间量Ｃ作比较 ,证明Ａ >Ｃ ,Ｃ >Ｂ ,从而Ａ >Ｂ成立 .这种把Ｂ放大到Ｃ(或者说把Ａ缩小到Ｃ)的变形方法 ,我们称之为放缩法 .它的基本思想是利用不等式的传递性…     

关于代数体函数及其纪(导)数(Ⅰ)

<正> 关于亚纯函数有著名的奈望利纳(Nevanlinna)学理;对于代数体函数,伐理隆(G.Valiron)与塞耳贝格(H.Selberg)以不同的方法奠立了一个类似学理的基础.在论文[3]中伐氏给出作为此学理的主要工具的基本不等式,但未加演证而仅指出用作证明出发的恒等式;熊庆来用不同的恒等式给出详细证明,并使基本不等式较臻精密,同时还建     

“分”“拼”“移”证明角的和差

证明角的和(差)类问题,方法较灵活,常常有多种证法.本文以证明一个角等于另两个角的和为例,说明证明角的和差问题(差转化为和来证明)的一般思想方法,愿对同学学习有帮助.     

关于拟保角变换的几个定理

1954年Y.Juve曾经对满足一个积分条件的拟保角变换族建立了掩蔽定理,但证明似乎不严格。本文前一部分主要给出这一定理的证明,并指出用本文的方法可以推广某些其他的拟保角变换族。后一部分将对一类K-拟保角变换族证明一个偏差定理。作者衷心感谢导师庄圻泰先生的指导和帮助。 1.掩蔽定理 1.设函数w=f(z)在圆|z|<1内连续、单叶且有连续偏导数,雅可比式J>0.我们称f(z)属于函数族S,若满足条件:     

“弦切角定理”的教学

笔者在《弦切角》一节公开课教学中采取了与教本(初级中学课本几何第二册)不同的证明方法,受到了二十名听课者的一致肯定,下面是教学实录,仅供同行参考。教学内容:初三几何§7.11弦切角课时安排:共分两课时 (第一课时) 教学目的:1.使学生掌握弦切角的定义并能正确判定弦切角; 2.熟练掌握三种情况下的弦切角的证明方法及推论的证明方法; 3.使学生能利用定理及推论进行简单证明; 4.初步培养学生的运动观点。     

小偏差与大偏差之间的一个最优关系（英文）

对于一个取值于Banach空间的高斯随机变量,Gao和Yang最近在[Sci.China Math.,2015,58(5):1091-1100]中推导出小偏差(小球概率)与大偏差(大球概率)之间的一个关系.本文证明了这个关系在一般意义上是最优的.证明的方法是构造一个取值于某个Banach空间的高斯随机变量.本文还考虑了关联于这个关系的几个例子.     

半简单本征值有限元外推

林群等的工作(见[1—3])奠定了本征值有限元外推的理论基础,证明了外推方法对简单本征值有效.本文要证明外推对半简单本征值也有效.由[1—3]的证明过程易知,只要证明存在λ_h,λ_(h/2)的本征函数 u_h,u_(h/2),它们都逼近λ的同一个本征函数 u 就可以了.但由于重本征值在离散化后一般被分离,给证明造成困难.本文提出了一个实施林群外推方法的新方案,巧妙地解决了这个问题.这方案花较少代价就能提高半简单本征值有限元近似解的精度阶.     

一类无理分式对称不等式的研讨

<正>1引言加拿大数学杂志《Crux Mathematicorum》2009年第2期问题3419如下:问题3419^[1]设a,b,c是正实数,∑是关于a,b,c的循环和,(a)证明■(b)证明■《Crux Mathematicorum》2010年第2期刊登了问题3419(a)的一个证明,在该证明后编辑指出问题3419提供者已发表了问题3419(b)的一个证明.^[2]     

转换视角 深化结论

<正>2020年高考全国Ⅰ卷理科第20题如下:已知A,B是椭圆E:x²/a2+y2/a2+y²=1(a>1)的左右顶点,G为E的上顶点,■=8.P为直线x=6上动点,PA与E的另一个交点为C,PB与E的另一个交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.不难看出,本题的难点在(2),在给出的参考证明方法,是基于变量x的证明方法,其过程的计算量较大.如果转换视角,基于变量y来思考(2)的证明方法,不仅可以有效地减少证明过程的计算量,还能够揭示问题背后的一般结论,从而加深对问题本质的认识,增强思维的深刻性.     

浅谈数学中的构造性证明

<正> 1 引言在微积分中,微分中值定理、多元函数泰勒公式、绝对收敛级数必收敛、线性微分方程的求解公式等的证明都是通过构造一个辅助函数来完成的,我们把这种证明方法称为构造性证明.实际上,数学中有不少命题的证明都属于构造性证明.无疑,构造性证明是初学者最难理解的问题之一.     

sl(2,F)PBW定理的另一种证明

设F是任意域,L是F上任意一个李代数,文献[1]给出了关于L的PBW定理及证明.本文对L=sl(2,F)我们给出了PBW定理的另一种证明方法.