e~(kx)在解题过程中应用几例

在解题过程中如果能用上ekx，会使解法简单巧妙，下面的例2说明必须会用e－x构造辅助函数。例1设f（x）是定义在［0，］上的连续函数，且证二八x）在肝，音］上连续，八X）＞o，设在X。处取最大值，于是由于八x。）是最大值，人n＜八X。），这就有：用上面的方法可证出在同样可证fseo，以此类推，则有人X）三0。上面的例是我们学校的一次统考题，证法一是学生想起的。例2设人x）在「a，b］上存在n＋l阶导数，且满足广‘’（a）一月‘’（b）—0，足一0，1，2，…，n．（这里／”（a）一f（），f”’（b）一f（））．证明：目七（a，b）使…     

变上限积分integral from n=a to x () f(t)dt的一个应用

本文将利用变上限定积分构造辅助函数的方法，建立并证明一类新的积分不等式。定理1设f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，f（a）=0，如果．那么如果广（x）＞l，那么不等式（l）反向，且仅当人x）20，入。）一x－a或几。）一lr－a＋b＿I。＿。、上三二时等号成立。2”“。、——～。证明对于任意给定的t6［a，b」，构造函数对t求导数得：F’（t）二由厂（t）＞O，知f（）单调递增，又f（）一O，故f（）＞O，tC［a，hi又O＜／（t）＜1，．”．G’（t）＞O，G（t）单调递增。”．’G（a）一O．”．G（t）＞O即产（t）一G（t）f…     

用对弧长的曲线积分求一些柱面面积

我们知道，柱面的面积可以用二重积分计算，实事上它也可以通过对弧长的曲线积分计算。因为当j（x，y）70时，在几何上If（x，y）ds表示以xoy平面上曲线L为准线，母线平行于Z轴的，高为Z一f（，y）时的柱面面积，如图1。例1用曲线积分计算柱面x’＋y’一ax含在球域x’＋y’＋z‘＜a’内那部分的表面积（aIn0）。解由对弧长的曲线积分的几何意义及对称性知，所求面积S一到SdS（图2），＿＿。＿＿＿＿。＿．．、＿，。、，、卜十y－ax．、。＿。。＿＿其中L：y一tw～．其高是球面与柱面的交线，（。“。＿。由此得出z’二a’－ax，即一卜…     

函数对称性及简单应用

性质1y=f(x)关于x=a轴对称<=>f（a＋x）＝f（a—x）（或f（x）＝f（2a-x)，f(-x)=f2＋x)等)性质2y=f(x)关于（a，b)中心对称<=>f(a＋x) f(a－x）=2b（或f(x)＋f（2e-x）＝2b，f（-x） f（2a＋x）＝2b等）特别地有：（1）y=f(x)关于（a，0）对称b八a＋x）—一人a－x）（或人x）—一人如一动，人一X）—一人加十X）等）（2）y一人工）关于（0，b）对称白人工）＋＊（一X）一Zb证明1．y一人工）关于x＝a轮对称hoJ一人。＋＊关于x—0对称edy一人x＋a）为偶函数今户八一x＋a）一人x＋。），通过提元面得人）一人加一），人一）一八b＋＊等．2．…     

一个不等式的巧证

设a，b，c∈R，且a＋b＋c＞0，ab十bc ca＞0，abc＞0，柬：a＞0，b＞0，c＞0．此题在分种参考书中曾出现过，原证法都是用反证法证明的．这里结出一种简捷的巧证．设f(x）=（x＋a）（x＋b）（x＋c）＝x‘＋（a＋b＋c）x3＋（ab bc ca）x＋abc从尾舟式来看，显然当X＞ow人X）＞o．意味着y一八X）的图象更X轴的正半细无交点，而y一人x）弓xs青三个交点（－a，0），（－b，0），（－C，0），所以必有一a＜0，一b＜0，－c＜0即a＞0，b＞0，c＞0．一个不等式的巧证@周满庭$安徽省宣城中学!242000…     

用“柱壳法”求旋转体体积

对旋转体的体积，通常是取一个扁圆柱体的体积为体积微元，对于有些旋转体用这种方法计算有时比较困难，而采用“柱壳法”却较方便。定理设平面图形（如图1）绕y轴旋转所成旋转体的体积为证明在[a，b]上取小区间[x，x＋dx]以f（x）为高，dx为宽的矩形绕y轴旋转所得的圆柱形薄壳（也称柱壳）的体积的近似值2一八X）dX即为体积微元dV：推论平面图形0＜a＜x＜b，人（x）＜y＜人（x）绕y轴旋转所成旋转体的体积V为例1求y二sinx（0＜x＜。）与x轴所围图形绕y轴旋转所得立体的体积。解选X为积分变量，XE［o，d。在k，d上取小区间》，X十dX〕，…     

方差非负性的应用

方差的计算公式为S2人教版初中《代数》第三册），它又可化为9一上【】X～上（，IZI方差具有非负性，即5270，当且仅当xl—12一…一xu，SZ＝0，利用方差公式及其非负性，可以将不少数学问题转化为方差问题来解决．例1已知a，heR”，a＋b—1，求证a’＋bZk且2”证考虑a，b二项的方差例3已知实数x，y，z满足x－y＝6，cy＝zZ十9，求证：X一y·证工，y的方差为Y一言【x“十y“一二（x＋y广」”亏以x＋y）“一zry一青（x＋y广」一一子【一子X十一月．t＋o）1一一，J＞几4＝O，于是X一y·例4已知0＜6＜。，求函数y＝／厂工面F肩而十／而百…     

三类最小值问题的统一解法及一般结果

本文旨在通过实例，归纳总结出形如y=x＋和y=x的最小值问题的统一解法及一般结果对能直接利用基本不等式a＋b≥2,a＋b＋c≥3求解的情形，本文将略去．第一类的最小值问题情形1例1求的最小值，这里x（O，π）．以上两个木等号中的等式同时成立，当且仅例2求函数y的值域．解函数的定义域为一1≤X≤1，于是令t=（1－x2）＋，于是只需求出t的值域，即可得到y的值域．以上两个不等号中的等式同时成立，当且仅。。M。。。。。。4．例3（一般情形）求y一x十上的最小值，其中，0＜X＜b，户是一个正常数，且产）矿．上述两个不等号中的等式同时成立…     

连续同伦方法的点估计判据

本文证明了，当S·Smale［1］的点估计判据a（z0，f）＝||Df（z0）-1·f（z0）||sup||Df－1（z0）·时，求Banach空间解析映照f零点的连续同伦H（t，z）≡f（z）＋（t－1）f（z0）＝0有定义于［0，1］上的解z（t），且对t∈［0，1］，Hz（t，z（t））－1存在，进而F（Z（1））＝0，可以用连续同伦方法求得f的零点．     

一个极值问题的新解

编者按：本刊1998年第11期刊出单薄先生《一个极值问题》一文后,编辑部先后收到不少读者的来稿,对如何求函数1,b＞O）的最小值提供新解法,现综合摘登如下：华罗庚先生曾提到函数的最小值问题,并介绍了八种解法．单博先生不久前给出了第九种解法．（见卜］）下面我们再补充三种解法．解法（－）我们讨论更一般的函数f（）一而7无一x（。＞0）（2）的最小值,其中a＞1,b＞O．（以上解法由陕西师大数学系惠州人和浙江绍兴马山中学戴志祥给出．）解法（二）由恒等式（ax－by）‘一（a’－b2）·（x’－y勺十（ay—bx）’立即可知：对于a…     

再谈广义奇(偶)函数及其周期性

文［1］对奇（偶）函数的概念作了推广，并对其性质和周期性问题进行了探讨．笔者读后，获益匪浅．现试图将原文论及的问题再作推广．一几个概念定义至对于函数f（x），若存在常数a、b、m、n（m＞0，n＞0），对于其定义域内的任意x：（1）当都有f（a＋mx）=f（b－nx）成立时，则称函数f（x）为广义偶函数．特别地，如果a=b=0，m=n，则f（x）就是偶函数．（2）当都有f（a＋mx）=－f（b－nx）成立时，则称函数f（x）为广义奇函数．特别地，如果a=b=0，m=n，则f（x）就是奇函数．定义2对于一个图形的两部分，从第一部分上的各点作定直线l的垂线…     

二阶系统边值问题的正解

本文以关于非线性全连续算子的锥不动点定理为工具，研究以下二阶系统边值问题x"（t）＋λa（t）f（x（t），y（t）＝0，y"（t）＋λb（t）g（x（t），y（t））＝0，x（0）＝x（1）＝y（0）＝y（1）＝0．在不假定f单调的情况下，本文得出了上述问题存在正解的若干充分条件．     

高等数学试题

一、填空（每小题5分）2．微分方程好的通解为3．曲面3在点（2，1，0）处的法线方程为4．过点（3，1，－2）且与直线垂直的平面方程为5．幂级数的收敛区间为答案：其中函数人g具有二阶连续导数，5、（10分）计算曲线积分I其中L为圆周x’＋y’一a’的逆时外方向。答案：－。四、（10分）试求球体x’＋y’＋z‘＜Zz的质量，已知球体上任一点的密度与该点到原点的距离平方成正比。答案：＊切，足是常数””””］q”’～’”一五、（10分）计算曲面积分是曲面X—X‘＋／（0＜Z＜1）的外侧。竺室．二“——’2六、（10分）设P（x，y）一xy’o…     

关于介值性、连续性与原函数的存在性的几点注记

众所周知，闭区间上的连续函数具有介值性。本文要讨论具有介值性的函数的连续性问题，同时还要讨论介值性与原函数的存在性之间的关系。首先指出，在区间［a，b］上具有介值性的函数不必在［a，hi上连续。例如，函数在区间上具有介值性，但却在x=0点不连续。在区间[a，b]上具有介值性的函数在[a，b]上虽然不一定连续，但我们有如下定理：定理1若函数在区间[a，b]上有定义，且在[a，b]上具有介值性，则函数f（x）在区间[a，b]上必不存在跳跃间断点。证用反证法。假设f（x）在区间[a，b]上存在一个跳跃间断点x0，即f（x0－0）、f（x0＋0）都…     

高中数学综合训练题(6)

1选择题（1）如果暴函数y=（m2－6m＋9）xm2－m-6的图象不过原点．则实效m的取植范围是（）（A）m=2或m＝4（B）－2＜m＜3（Cmc＝2（D）－2＜m＜3（2）圆x2＋y2－2x－4y=0的国心到过原点的直线的距离为1，则这条直线方程为（）（3）若slnaslnB＋cosacose＝0，则slnacosa＋sh恤osP等于（）（4）a、b为平面M外两条直线，在a／／M的前提下，a／／b是b／／M的（）（A）先要条件（B）必要非充分条件（C）充分非必要条件（D）既不充分又不必要条件（5）设P为双曲线＞一头一1上一点，F、F，为”—”——－”””—～／hi”一焦点，如果＊P民…     

对称问题的坐标代换法

高中数学中的中心对称和拍对称问题，解决的方法不乏多样，但笔者认为，利用坐标代换的方法来研究这类问题，更具有一般性和规律性．1中心对称问题求曲线C：八x，y）一0关于点Q（a，b）对称的曲线C’．设C上的任一点只（xl，yi）关于点Q的对称点为P（X，y），由中点坐标公式可得：fHI一一二十ZQlyl一一y十Zb因为点PI（xl，yi）在C上，即f（XI，yi）一0，k得f（一x＋Za，一y＋Zb）一0即为所求．例1抛物线y—ax’＋bx＋c与y一x‘一sx＋2关于点（3，2）对称，求系数a、b、c．解设点（xl，yi）是y—l‘一sl＋2上任一点即yi一xZ—5xl＋2…     

综合题新编选登

题130 设定义在R上的函数 f（x）=a0x^4＋a1x^3＋a2x^2＋a3x＋a4（a0,a1,a2,a3,a4∈R）， 当x=-1时,f（x）取极大值2/3，且函数y=f（x＋1）的图象关于点（-1,0）对称。     

数学问题解答

1561 已知函数y=f（x）=ax^2＋bx＋c，其中a〉b≥0〉c，a＋b＋c=0，（1）试证：方程f（x）=-a有实数根，（2）设方程f（x）=-a的两实根为x1，x2，问能保证f（x1＋m）和f（x2＋m）中至少一个为正数的实数m是否存在？若存在，确定m的取值范围。     

积分上限函数在运用微分中值定理证题中的应用

一、在运用洛尔定理证题中的应用分析将结论改写为，由于给出的条件：f（x）在［0，1］上连例3设y＝f（x）是闭区间［0，1」上的任一非负连续函数。（1）试证存在x。E（O，1），使得在区间「0，x＊上以f（x。）为高的矩形面积等于在区间［x。，l］上以y一八x）为曲边的梯形面积；（2）设入。）在（0，1）内可导，且／（x）＞－——，证明（1）中的lr。唯一。分析（1）矩形面积一T／（x。），曲边梯形面积一I人x）d。，即欲证明的结论为。。八x。）一if。）dx．If（）dx－x。f（。）一O（一）（）’。x＝。。一Ifx）dx－。。八万。）一0，…     

Gini平均值公开问题的解

对固定的（a,b）∈R×R,Gini平均值S（a,b;x,y）关于（x,y）∈（0,∞）×（0,∞）的Schur凸性或Schur凹性问题是目前的一个公开问题.本文证明了S（a,b;x,y）关于（x,y）∈（0,∞）×（0,∞）为Schur凸当且仅当（a,b）∈{（a,b）：a≤0,b≤0,a＋b1}以及Schur凹当且仅当（a,b）∈{（a,b）：b≤0,b≤a,a＋b≤1}∪{（a,b）：a≤0,a≤b,a＋b≤1}.