Sur l'extension des fonctions CR dans une variété de stein

Sumé Etant donné un domaine D relativement compact d'une variété de Stein M de dimension n, n 2, on montre que toute fonction continue, CR, définie sur un ouvert connexe de D ayant un complémentaire K dont l'enveloppe holomorphiquement convexe dans M ne rencontre pas ¯ DK, se prolonge en une fonction holomorphe sur D.

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Summary Let there be given a relatively compact domain D in a Stein manifold M of dimension n, n 2, we prove the holomorphic extendibility of the continuous CR functions defined on an open connected subset of D, provided theO(M)-hull of its complementary K does not meet ¯ DK.

     

Variété de Picard d'une variété complète

Résumé On construit la variété dePicard d'une variété complète arbitraire U, c'est-à-dire, qu'on donne une structure canonique de variété de groupe au groupe des classes des diviseurs (localment principaux) de U algébriquement équivalents à zéro. à M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique.     

Plongements différentiables de variétés dans variétés

Sans résumé This work was partially supported by NSF Grant G-10.700.     

Sur quelques variétés d'Einstein compactes

Résumé On démontre en particulier qu'un variété riemanienne compacte d'Enstein de dimension quatre et de courbure comprise entre1 et1/4 est nécessairement à courbure constante. à M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique.     

Sur les variétés lorentziennes dont le groupe conforme est essentiel

Résumé. Nous proposons de nombreuses constructions de variétés compactes lorentziennes pour lesquelles le groupe conforme ne préserve aucune mesure lisse. Ceci montre que le théorème de Ferrand-Obata ne se généralise pas au cadre lorentzien.     

Sur la régularité de la fonction croissance d'une variété riemannienne

Résumé On étudie la différentiabilité de la fonction croissance d'une variété riemannienne complète. En général, elle a la même régularité qu'une fonction concave: la dérivée peut avoir des sauts pour lesquels on donne une formule. Dans le cas analytique réel, la fonction croissance est de classeC ¹. Un exemple montre qu'elle n'est pas nécessairementC ². A titre d'application, nous construisons, pour toute variété ouverte paracompacteM et toute fonction croissantev de classeC ¹, une métrique continue de croissance égale àv et une métrique de classeC surM de croissance proche dev en topologieC ¹-fine.

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Travail réalisé avec l'aide financière du MURST d'Italie.     

Sur la cohomologie LP des variétés

The main purpose of this Note is to indicate vanishing and non vanishing theorems for L^p cohomology of riemannian manifolds, especially when the dimension is half the dimension of Riemannian symmetric space.     

Sur l'homologie de cycles géodésiques dans des variétés hyperboliques compactes

The notion of an l-geodesic cycle in a compact hyperbolic n-manifold M generalises, in dimension l, the one of a closed geodesic. In this Note we show that when l ≥n/2, such a cycle lifts to a finite cover of M as an embedded totally geodesic submanifold non zero homologous. It enables us to prove that the compact hyperbolic manifolds constructed by Gromov and Piateski-Shapiro (see [4]) have infinite virtual Betti numbers and to give a new proof of the same fact for the compact arithmetic hyperbolic manifolds constructed by Borel in [3].     

Sur les courants d'une variété différentielle invariants sous l'action d'un groupe de Lie

Sans résumé

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The article is the text of a talk given at the Symposium on Differential Geometry in Debrecen, Hungary, on August 28–September 3, 1975.     

L'anneau de cohomologie d'une variété de Seifert

All manifolds M considered in this Note are orientable Seifert 3-manifolds with base surface S² and infinite fundamental group π₁ (M). Our goal is to compute the cohomology ring H^* (M; Z/2Z). The ring structure will enable us to determine whether M admits a degree 1 map into RP³ or not. We describe the equivariant chain complex for the universal cover M of M, and give a diagonal approximation. The cohomology ring H^* (M; Z/2Z) is computed.     

Isomorphisme de Dolbeault dans les variétés CR

Let M be a q-concave CR generic C^∞-smooth submanifold of real codimension k in an n-dimensional complex manifold X, then the truncated tangential Cauchy-Riemann complexes τ^≤q−1[ɛ^p,*](M), τ^{≥n−k−q+}2[ɛ^{p, *}](M) of C^∞-smooth forms and τ^≤q−1 [D′^p.*](M), τ^{≥n−k−q+}2[D′^p,*(M)] of currents on M are quasi-isomorphic for 0 ≤ p ≤ n.     

Transformations projectives des variétés munies d'une connexion métrique

Résumé Ce travail est consacré à l'étude du groupe P₀(M, ) des transformations projectives d'une variété munie d'une connexion métrique , et du sous-groupe P ₀ ^r (M, ) (resp. P₀(M, )) constitué par celles de ces transformations qui conservent le tenseur de torsion (resp. le co-vecteur trace de torsion). Dans le cas compact on détermine des conditions pour que ces groupes coïncident avec le groupe des transformations affines ou le groupe des isométries. Ces conditions portent sur la courbure de Ricci de la connexion ou de la connexion symétrique associée, ou plus généralement sur la signature d'une forme quadratique dépendant de la courbure scalaire et du tenseur de torsion. On étudie, plus particulièrement, le cas où M est de dimension n, compacte, simplement connexe, munie d'une connexion métrique complète telle que la partie symétrique de la courbure de Ricci de la connexion symétrique associée soit du type d'Einstein: R_(ij)=Cg_ij, où C est une constante positive. Si M admet un champ de vecteurs projectifs propres pour la connexion métrique, laissant le co-vecteur de torsion invariant, alors M est homéomorphe à une n-sphère. On aborde enfin le cas où C est une constante non positive.

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Summary This paper is devoted to the study of the group P₀(M, ) of projective transformations of a manifold endowed with a metric connection and of the subgroup P ₀ ^r (M, ) (resp. P₀(M, )) made of the transformations conserving the torsion tensor (resp. the covector trace of torsion). In the compact case we determine the conditions so that these groups coincide with the group of affine transformations or with the isometry group. More particularly if M is simply connected endowed with a complete metric connection such that the symmetric part of the Ricci curvature of the associated symmetric connection is of Einstein type R_(ij)=Cg_ij, when C is a positive constant and if M admits a projective group leaving invariant the trace of torsion, then M is homeomorphic with a sphere. We examine the case when C is nonpositive constant.

     

Sur la cohomologie à support des fibrés en droites sur les variétés symétriques complètes

Let X be a complete symmetric variety, i.e., the wonderful compactification of a symmetric G-homogeneous space (where G is a simply connected semi-simple linear algebraic group). If L is a line bundle over X and if C is a Bialynicki-Birula cell of codimension c in X, then the Lie algebra $ \mathfrak{g} $ of G operates naturally on the cohomology group with support H _C ^c (L). A necessary condition on C for the existence of a finite-dimensional simple subquotient of this $ \mathfrak{g} $ -module is given. As applications one calculates the Euler–Poincaré characteristic of L over X, estimates the higher cohomology group H ^d (X, L), d ≥ 0, and obtains the exact formulas in some cases including that of the complete conic variety.