“古池推圆”问题趣谈

今有方中古圆塘, 风吹雨打历沧桑. 三面皆被土湮没, 只露一角映残阳. 外方隅至弧中央, 七尺六寸已测量. 圆径几何如相问, 请读九韶及九章. 这首诗是笔者根据秦九韶《数书九章》     

数学诡辩

费今夫定趣的、楠海份若。>气证:,.’在等比数烈。.,a’一琢,‘一名bZ,…b川r。‘,b:吞矿ox‘.“,口,:’.不:嚼络里‘一爪”一答书‘ b.、o’LI,苏,) U“a.气今l二吞 g泣则嫌等六不成立.另一方彻,利用公式S,奋聋冬立竺卫东~g又是成立(fI沂石“:一0 q. l一q。一。一口_己生亡{ l一。一‘娜(2),. .a众另一个轰度来肴,孟=。,a:争尸.’. q.a名,q.杯!O一lb一场.b‘缈题华饨谬奴=石公式可知二升,(亡)淤’__杏“入习~乙一、.’.︸卜,少卜夕 了嵌蝗(:)’一城含广a,b几而当。,句付,这.书等式就不成立了:解的过醒中j(t李并护一招异一12,飞:永、碗成…     

一道征解题的解答和推广

1984年本刊第二期《问题与解答》栏第九题“证明不等式要,粤· 石峪56门丝了生”100、10,现证如措冶<护玄落厄= 1斌豆获i才六这就是如二、k+1晚不等式也成立,’ 敌咖枉意‘有然数时,不等式恒成女为孔,二·于争争二蛊则二:=1声一3,2名4:5忿匀9,/丁万“’卜二-二二-言、、b“王UU.1忍3么更有趣的是(A城可以推广份下,’-证虾”罕,鑫糯生‘兴尹.。·2名一1 99么1 00么一l4:一全’。里生…33。弓5 .7 写德 6,:一1 99:_19匀一1仓1 101月仇一1 n刀Z 仍二1-簇百万布今于不六产产宁~下〔介*揣誓撇;“‘:、1 ..为任意宣然敏,二 、.-.仁洲尸土\丽’要…     

紀念刘徽注“九章算术”1700周年(263—1963)

刘徽是我国第三世紀时数学家。从現存数学典籍来看,他最早成功地运用演繹推理解决了一系列数学問題。在刘徽之前,我国数学知識很多还是只通过直接度量、观察、实驗等实践提出了一些数学規律。那时的认識比較片面和表面,因此所得到的結論就难免比較粗糙,甚至发生謬誤。“九章算术”就是秦汉五百年間陆續完成的数学著作,一度曾經秦火焚毁,汉时又为张蒼、耿寿昌等重新編写,其中仍多經驗公式。“晉书律曆志”記:“魏景元四年(263)刘徽注‘九章’。”刘徽为“九章算术”全面注释并給图解,使“九章算术”容易学习,而且在注释中刘徽并不迷信古人,增补了自己的創見,又訂正了原书的謬誤,使“九章算术”的科学性提高了一步。刘徽在注“九章”时,除了在数学理論上有貢献外,还很重視理論联系实际。現存測量計算书“海島算經”可能就是刘徽在注释勾股章时所发揮的一本著作。刘徽注“九章”的工作实际上是对原有数学資料的去粗存精的总結工作。刘徽在注释“九章”中表現的治学精神和研究成果对后世都有很大影响。下面提出他的主要貢献。 1.圓周率。在交通运輸、制造、量度等生产活动中最先接触到的几何图形是方和圓,而圓周率是这些生产活动中必須解决的問題。“九章算术”圓周率取     

大有可为的“1984”

彝程烈 1984年迈着骄健的步伐走来了,她满身载着有趣的问题走来了。你着她那美丽的外表—1984就足以令人高兴. 1。求证N=11…199…988…844…4、气尸子、,.砂、一,J 厅7之儿、一沪J 儿是1987的倍数(:=工仑84X花985 x 1986).证明:.:N二11.二1的一988…8妞…丝10。一1 9 、一尸“一J一J、~尸J 理n九(1。二+。x 102·+sx、,“九10”,.’ 1987是素数,1987,10)二1十4). 由 8.求证2983几“.备+2993‘。“4不是一个自然数的平方数.证明:设1983几.6‘+1993‘。“‘二。么(m〔N) 则2993‘“.‘=(m+1953。““)(功一1983。。“)。 ,.’ 1993是质数…     

用圆研究椭圆问题几例

圆是椭回的特例,而椭圆又可以看作是圆经过~,*“。二:‘~.u,一。,.,,丫.犷.‘二。压缩变换得到的。因此,有关椭圆二;十~头二1的问~~~夕、’,一J’‘。~尸“,’J、”“尸’“?’护‘“甲’J题可以经过均匀压缩变换{x=手, ’夕~万g变成圆x今+y今二矿的相关问题来处理解决。 均匀压缩变换有下列性质:(不作证明) 1、均匀压缩变换把直线仍变为直线; 2、均匀压缩变换把平行直线仍变为平行直线; 3、均匀压缩变换对变换前直线与圆的位置关系与变换后直线与椭圆的位踢等系仍保持不变;4、若图形F在均匀压缩变换1‘丫飞g一丁y下变为图形G,G的面积为s…     

数学通报1959年总目录

(括弧前数目字指期数,拈弧内数目早指沪总血数)控制趁程的算法描述……李雅普斋夫塞斯特巴尔3(74)AA :Ar、、/、.产、了2 J12OU 261二22产万、、‘了、子,、 拭合渝述破除迷信与刻苦钻研·‘······”··…本刊静输且弓(1斗6)从近代数学史看生产实际对于数学发展的作 用·····,.························…….关肇直8(254)十年来中国数学研究工作的概况 ”’.’‘””“.“’“”’·‘’·’‘二‘二”·…~二华罗庚10(326)数学之为用····················”·“··……华罗庚7…     

I．J．Matrix定理的再推广

名一+.、、、.产了 文〔l」用初等方法证明:设二.,九,…,:。是。个不为零的且互不相同的数,则兰军里「TT,JLII名一+(生+生+交_‘一星)卜‘高11(‘,一‘。)11‘,(r=一1).皿‘奋‘月 告产矛+(‘工丫+生生十…、:一2十… \\劣一/劣一劣2/但对,<一I时未作讨论.为此,本文将给出,《一l的一般结论.其次,我们还将从另一方面推广文[1]的结果,并给出部分结果的一个较为实用的证法. 定理相同的教,l设::,…,:.是旅个不为零且互不则对任意自然数。,有 二万.逐项积分,由于告f少一1(因方向是一’一’~’一2石场.“一、一,二’’J_负的).故除z一’的系数…     

数学问题解答

1990年7月号问题解答《解答由问题提供人给出、 万能.解方程组. (1一式)·:。+,=2劣,(k二1,2,…介)且九+1==补· ,,.设。。一今率,试确定:。,。。确值 一’一”台了了一’,u一’一“‘曰一记此处〔习司表示不超过S。的员大整数). 祥(1)先证:2召万菊,一22(~一汀,,所以 ”Z万Zn一1。。一全决>分‘~一、 拓二一丫‘沁二1故原方程组的解为 二2功砰丁一2.由2召万>斌不万十了万干丁得六<“…     

2 过圆外一点不一定能作圆的两条切线

·_〕协二求拉哪飞甸j些州)勺一”匆外‘点p(:,3)所引的圆‘!丁‘娜珍映妙冲谭所求切攻程.(《解析j侧可》课本户‘,,‘自)方程为扩一3今呵。幼.此方.程二’整理称·从,好乡今的,线之距一::.。‘.渗多碧瑞{)’一(二);·;解此方程冷-·:二二二一山于方程丈.f“》只..,此场、一.纲…f1心.、·卜,圆.r,!沪!.﹄︸求.﹃;·叹一二一厂一厂二_二滩几井--…‘一:“,一‘沁-瘫踢群斌骤裹鬓、终竺睽缪一一3大一勺娜砂补‘一、,二·:一’一’,一‘一二一《似上!、‘夕砂揭底请在术期找)卜一、r一止攀殊鹰:证‘眼、仁卫二矛司不“定为整数.附︸、1..一_,…     

对称单叶函数的一些不等式

命凡表示单位圆}刻<1内的标准化的户次对称单叶函数:f,(,)一万+名a沈琴::,·+‘(1)所构成的族,s,~s表示一般的单叶面数二+艺‘,(2)所构成的族.命f(:)~尺,(留)二(l一砂),今’.关于K(,)有薛多的极值性盾,c.(3),一i时自p为Koeb。函数二(,)一,二二 以一君厂Ulu尹ytl]曹征明‘(一,)一会犷‘,‘:一,,、具有商单的极值曲枝 z(,,f)《了(,,尤)以及 I(,,f二)一六户双刻”~丁耸(·一一会蜘夯尹,‘“、了耸[2].(4)(5)本文拟把(幻扩张到户次对称单叶函数(户)2),并进一步改进系数的估补.定理1.命;(a,。,,;二)’一,+女匹些卫上二鱼上二丝色全丝互丛色丝二…     

秦九韶“三斜求积”公式的来历

南宋的秦九韶(1202—1261)是一位数学大家,有著作《数书九章》(1247)传世.“三斜求积”是该书中的一题.这个“三斜求积”术是怎样发明的,他在该题中没有说明;但从书中“斜荡求积”题的解题过程中,可以知道“三斜求积”术的来历.如图,设h为a边上的高,则三角形的面积S=1/2ah.     

对新教材"圆锥曲线方程"一章的认识及教学体会

1　对新教材“圆锥曲线方程”一章的认识新教材“圆锥曲线方程”一章是在原教材《平面解析几何》的第二章“圆锥曲线”的基础上改编而来的 .原教材“圆锥曲线”一章包含了曲线与方程、圆、椭圆、双曲线、抛物线和坐标变换等六部分内容 .新教材把“曲线与方程”和“圆”两部分内容与“直线”合并成单独一章“直线和圆的方程”.由于新教材“平面向量”一章已包含了“平移”,故“坐标变换”这一小节这里已被删除 .于是 ,新教材又把椭圆、双曲线和抛物线另立一章为“圆锥曲线方程”,从而使得这一章的内容更独立、更系统、更统一、更与课题相吻合…     

放缩法巧解两例

例1已知n〔N十，求证:2(寸下拜万一l) 1 .1二1__二 炭‘十万十云十”’十云夭乙“”‘ ‘一.~.。12_2 习L明一气二一气二二于一下二<、-下二二二万甲一下二 了k了k十丫k丫k一1十了k 一2(在一、福二丁 (走=1，2，二，，n)，‘’ ， 岩 去 … 六<2仁(江一。’ (涯一万) … (石一     

“1985”趣题

值此19 55年来临之际,特造“1985,,数题,向本刊的编者、作者、读者致贺。1。已知数100…01,试证此散是合数。 19 85个0证明.’.100…01二10‘。“.+1=(10竺‘’)a+1、一,一一洲 1985个0=(10‘约“+1)。(101,2‘一10“:+1 ·’·迎二“’是合数· 19 85个0. 2已知一个自然数减去49后,是一个完全平方数,这个自然数加上40后,是另一个完全平方数,求这个自然数。 解:设所求的自然数为之,贝〔依题意得{ 一49=‘+40=石C(1)(马少且万>O,C>0.(2)一(1)得:C3一B.== 40由(3)知C>B,C一B)0,一(一49)=89(8)89为质数, 证明:利用(x+1)名’.‘(x+1)“”’…     

单叶函数的开始多项式

毅八(:)一 习a沪:“ 1在翠位圆!:{<1内正则、翠巢,而且}了、(“)!、、,6:(·)在圆,·}<(‘一‘半)‘内亦必罩‘·若f,(;)(s岁,什键斯基[10]蹬明:…     

课外练习

初书年级 1.下面竖式中“学、习、雷、锋”代表4个连续的数字,那么,它们各代表什么数字,使算式成立?(雷代表最小的自然数;锋代表最小的一位数) 学习雷锋X学习雷锋 口口口锋 口口口雷 口口口习 口口口学锋雷口口口口雷锋(山西太谷县东盛小区(030800)要二海、郝承玲) 2一个数a,,aZ,…,a,,若al一告, 从第二个数起,每个数都等于1与它前面的 那个数的差的倒数,求内005的值. (江西省新干县桃源中学(331316)曾向根) ,.~,,、.,_.1 3.化简:(x+妇+(2x十;毛冶刃+(3x+ ’.’,‘、一’挤’、一’IX2了/’、一’ 1、二,____,1 万子六v)十…+(ZOO5x+一们…     

1988年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试题

一、(本爪分30分)本且共有10个小厄,只要求宜雄坟写结.,每个空格坟对月3分,否则一扮得.分.夕=arcsm、slnx夕=slnarCSinXarCCOS工了.、了.、、,J,、..了、飞r子B VDJr、了.、r、方程4‘一2‘干’一8二0的解是二了丁二万的反函数是,=书多(a>。,·,1)是(‘.上,白 3.在极坐标系中,半径的圆的方程为以(芬,一令)为圆心、誉为 “‘ 4.参数方程普通方程是x二1_一Zty=Z犷一t(t为参数)化为 5.乞丽的侧面展开图是圆心角为:16·的扇形,则此圆锥的轴截面的半顶角的正弦是(一2)”+’n一col一2+4一…+(一2)”一’ 7.函数,一e必(于x,。05[令‘x一,)}的…     

开拓思路 绕过难点

扭:~投万厂数x、y、份满足不等式:犷勺,一尹+犷斗一“’一‘仁尹低卜夕’2二夕 Zyz忿之%二是与匕个几角}形的三边长.>1求沁_:x、y、这是八一七年_}海巾刊中数于竟赛试题的最后一题,给分最淌(18分),难度也较大. 常规思路是:x、y、二是父个三角形的三边长今今少+二>,:十二>.,二十少>.为获得介·十:一二,刃十‘一y,戈+一二,对题给不等式变形: :(x“+、,“一二“)+*(,,2+二“一x“)+少(二“卜x“一夕:).一2二y友>。*然后分解因丘听俘:又y+二一x)xL:+二一.v)(汾+y“习知.、**’ 共体求解过程}‘将碰到两个难点:一兄山*式因式分解获得、**式;二是…     

法国Ecole Polytechmque笔试入学试题

1.设x为实数,整数Q李1.令S、‘,)二之业罗兰试证·““(‘) f‘5 in(Zq+1)兀,:,=1—a封一工 J 0 Sln材U2.令·(叫匕_: 、Sln介材月U“二0o<}u{<2.试证《。)在(·1,+l)申连续可微.试证存在一个常数A:,当x〔〔O,15、(小二一耳 几兀J口名叮+!,韶名Sin”。 一〔止V合〕以及对一切整数“》‘时,}、念便有 。)计算s。(冬)之值,并由使上述不等式推出积分f一圣些兰、,的收敛性,并求其值. ”“’、2‘’~一’‘’一一一一”‘一”一一一’‘一J0,”--一’一一’一’一- 3.验证存在一个实数AZ,使得对于V实数二和整数q>1,不等式}又(劝l成A:成立…