证明三角形不等式的一种方法

证明三角形不等式的一种方法方明（四川省平昌二中６３５４００）众所周知，△ＡＢＣ的内切圆在三个切点处把三边ａ，ｂ，ｃ分成ａ＝ｙ＋ｚ，ｂ＝ｚ＋ｘ，ｃ＝ｘ＋ｙ，（）其中ｘ，ｙ，ｚ均为正数．应用代换（），可将三角形的边元不等式在条件ｂ＋ｃ＞ａ，ｃ＋ａ＞ｂ...     

一个不等式的图证及推广

题目：若ｘ,ｙ,ｚ为正实数,则ｘ２＋ｘｙ＋ｙ２＋ｙ２＋ｙｚ＋ｚ２＋ｚ２＋ｚｘ＋ｘ２≥３（ｘ＋ｙ＋ｚ）;（当ｘ＝ｙ＝ｚ时取等号）;文［１］中,对上述不等式提出一个简洁图证;本文再对该不等式给出一个更具一般意义的有效图证,并进而给出其推广及证明;证明：原不等式左边等于ｘ＋ｙ２２＋３２ｙ２＋ｙ＋ｚ２２＋３２ｚ２＋ｚ＋ｘ２２＋３２ｘ２;构造图（１）,设ＡＦ＝ｘ＋ｙ２,ＤＧ＝ｙ＋ｚ２,ＥＨ＝ｚ＋ｘ２,ＤＦ＝３２ｙ,ＥＧ＝３２ｚ,ＢＨ＝３２ｘ;由勾股定理得：ＡＢ＝ＡＣ２＋ＢＣ２＝ｘ＋ｙ２＋ｙ＋ｚ２＋ｚ＋ｘ２…     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年１１月号问题解答（解答由问题提供人给出）９２１若ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ＋，且ｘ＋ｙ＋＝１．求证：证明依柯西不等式得（１２＋１２＋１２）（Ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）≥当ｘ＝ｙ＝ｚ＝时取等号）。再由柯西不等式得时取等号）．原不等式成立．９２２在△Ａ...     

四面体中几个不等式的加强

四面体中几个不等式的加强２５７３００山东广饶第一中学侯良田本文对文以［１］中定理１、２的不等式进行加强．为此先证明如下两个引理．引理１ｘ，ｙ，ｚ，ｗ均为正数，且．则证明（ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ）＝ｘ３＋ｙ３＋ｚ３＋ｗ３＋６（ｘｙｚ＋ｙｚｗ＋ｚｗｘ＋ｗｘｙ）＋...     

一个递推关系导出的不等式链

文［１］给出了杨学枝老师提出的一个不等式的证明．本文利用一个递推关系给出这一不等式的一个加强的不等式链及其它不等式．设以实数ｘ、ｙ、ｚ为根的一元三次方程为ｔ３＋ｐｔ２＋ｑｔ＋ｒ＝０由根与系数间的关系知：ｐ＝－（ｘ＋ｙ＋ｚ），ｑ＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ，ｒ＝...     

一个不等式的代数证法与推广

作为书［１］“数形结合”一章的首例,形如ｘ２１＋ｙ２１＋ｘ２２＋ｙ２２≥（ｘ１＋ｘ２）２＋（ｙ１＋ｙ２）２的不等式,以其优雅的几何证法［１］～［３］令某些纯代数证法相形见拙．现利用柯西不等式将其推广为（字母均表实数）：∑ｎｋ＝１ｘ２ｋ＋ｙ２ｋ＋…＋ｚ...     

一个不等式的应用

一个不等式的应用王太武（山东省沂源县第二中学２５６１００）在《数学通报》１９９６年第７期７月号数学问题１０２３题中，曾映铁老师给出了下面一个不等式：设ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ为实数，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ为正数，则有ｘ２１ｙ１＋ｘ２２ｙ２＋…＋ｘｎ２ｙｎ?..     

谈谈变换的一个有趣作用

谈谈变换的一个有趣作用党庆寿（江苏江都市大桥高级中学２２５２１１）众所周知，若ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ＋，则有ｘ＋ｙ＋ｚｙｚ＋ｚｘ＋ｘｙ（１）ｘ＋ｙ＋ｚ３３ｘｙｚ（２）本文将通过对（１）作变换证明（２），并意外地得到一个非常有趣的不等式链，从而说明“变换”...     

利用柯西不等式证点到直线的距离公式

利用柯西不等式证点到直线的距离公式姚义民（陕西富平立诚中学７１１７１１）笔者遇到过这样一道题：已知２ｘ＋４ｙ＝１，求ｘ２＋ｙ２的最小值．利用柯西不等式２ｉ＝１ａ２ｉ２ｉ＝１ｂ２ｉ≥（２ｉ＝１ａｉｂｉ）２得１＝（２ｘ＋４ｙ）２≤（２２＋４２）（ｘ...     

二次曲线分线段的比及其应用

二次曲线分线段的比及其应用西安市西光中学刘康宁为了叙述方便，我们把二次曲线方程Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０（Ａ、Ｂ、Ｃ不全为零）记作Ｆ（ｘ，ｙ）＝０，经过代换所得方程命题设经过Ｍ（ｘ１，ｙ１）、Ｎ（ｘ２，ｙ２）两点的直线与二次曲线Ｆ（ｘ...     

一个代数不等式的初等证法

一个代数不等式的初等证法江海涛袁昌斌（安徽马鞍山高级职业学校２４３０１１）福建杨学枝老师１９９４年提出了如下猜想：设ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ，且ｘ＋ｙ＋ｚ＝０，ｎ∈Ｎ，则２ｎ１（ｘ２ｎ＋ｙ２ｎ＋ｚ２ｎ）（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｎ（１）１９９６年，湖南农业大学陈...     

一个代数不等式的证明

一个代数不等式的证明４１０１２８湖南农业大学２２５＃陈宽红定理设ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ且ｘ＋ｙ＋ｚ＝０，ｎ∈Ｎ，则这是福建杨学枝老师于１９９４年提出的一个猜想，本文将证明此猜想．证（１）当ｎ＝１，２时，①式显然成立．（２）考察ｎ≥３，ｎ∈Ｎ的情形．１°若ｘ，...     

一个最值不等式的两点新见

一个最值不等式的两点新见孙超（浙江嘉善一中３１４１００）１问题的由来与提出现行高中《代数》（下册）Ｐ９页例３介绍了一个最值不等式，原题如下：已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋，ｘ＋ｙ＝Ｓ，ｘｙ＝Ｐ，求证：（１）如果Ｐ是定值，那么当且仅当ｘ＝ｙ时，Ｓ的值最小；（２）如果...     

一类解几问题的“叠加造圆”解法

《平面解析几何》课本Ｐ７０第３题是这样一道习题：已知一个圆的直径端点是Ａ（ｘ１,ｙ１）,Ｂ（ｘ２,ｙ２）．证明圆的方程是（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＋（ｙ－ｙ１）（ｙ－ｙ２）＝０．这里证明从略．现将圆的方程变形为,ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｘ＋ｘ１ｘ２＋ｙ２－（ｙ１＋ｙ２）ｙ＋ｙ１ｙ２＝０．式中的一次项及常数项明确显露出韦达定理特征,据此着眼,对于某些直线与曲线相交问题,可将直线方程代入曲线方程分别得出关于ｘ及ｙ的一元二次方程．直接叠加即得以直线被曲线所截弦长为直径的圆的方程．以抛物线为例,有如下命题：设…     

证明不等式的几种常用置换方法

证明不等式的几种常用置换方法黄启林（华南师大附中５１０６３０）不等式是高中数学竟赛中的一个重要内容，证明不等式又是其中的一个难点，本文谈一谈证明不等式的几种常用置换方法．一、均值置换若条件中出现ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ＝ａ的形式，常可考虑如下置换：设ｘ，...     

两个不等式的简捷证法

下面给出的两类不等式问题,一般是通过代换的方法证明．本文给出直接简捷的证明．命题１　设ｘｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ）且ｘ２１１＋ｘ２１＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ＝ａ（０＜ａ＜ｎ）,求证：ｘ１１＋ｘ２＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ≤ａ（ｎ－ａ）①证　由题设易知：１１＋ｘ２１＋１１＋ｘ２２＋…＋１１＋ｘ２ｎ＝ｎ－ａ．由于　１１＋ｘ２ｋ＋ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｘ２ｋ　　≥２１１＋ｘ２ｋ·ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｋ２ｋ　　＝２ｎ－ａａ·ｘｋ１＋ｘ２ｋ）（ｋ＝１,２,…,ｎ）,此ｎ式相…     

积分型Hilbert定理的改进与应用

本文建立如下权函数的不等式ｗ （ｘ） ＝ ∫∞０１ｘ ＋ ｙ ＋ １（ｘ ＋ １ｙ ＋ １）１／２ｄｙ ≤π［１ － １ － ２／π（ｘ ＋ １）１／２］　（ｘ ∈［０,∞））,这里,常数１－ ２／π是最佳值,从而改进了积分型Ｈｉｌｂｅｒｔ定理,作为应用,建立一个Ｈｉｌｂｅｒｔ类积分不等式及其加强式;并改进推广了Ｈａｒｄｙ－Ｌｉｔｔｅｗ ｏｏｄ 积分不等式．     

一例错解的剖析

一例错解的剖析２３８３００安徽无为职业中学周邦云有这样一题：这是一道关于ｘ的有理三角函数分式，求此类函数的值域，常规方法有两种：方法１原式去分母并整理变形，化成ｓｉｎ（ｘ＋θ）＝ｆ（ｙ）形，由｜ｆ（ｙ）｜≤１，求出ｙ的取值范围．方法２对原式作万能代换...     

慎用斜率公式

斜率公式在中学数学中应用广泛,十分活跃,但人们在应用斜率公式解题时,常有疏失之处;笔者通过探究两道课本习题的流行解法,以期大家引以为鉴;习题１　一个圆的直径的端点是Ａ（ｘ１,ｙ１）、Ｂ（ｘ２,ｙ２）,证明：圆的方程是：（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＋（ｙ－ｙ１）（ｙ－ｙ２）＝０．（《平面解析几何》甲种本,Ｐ８０第③题）《中学数学杂志》１９９４年第一期Ｐ４２载文给出如下证法：“证明：设Ｐ（ｘ,ｙ）为圆上的动点,由ＰＡ⊥ＰＢ,得ｙ－ｙ１ｘ－ｘ１·ｙ－ｙ２ｘ－ｘ２＝－１,即　（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＋（ｙ－…     

数学问题解答

１９９９年７月号问题解答（解答由问题提供人给出）１２０１．已知ｘ,ｙ,ｚ都是正实数,且满足ｘ·ｙ·ｚ＝１;求证ｘ２ｙ＋ｚ＋ｙ２ｚ＋ｘ＋ｚ２ｘ＋ｙ≥３２;证明：设ｓ＝ｘ＋ｙ＋ｚ,则ｘ２ｙ＋ｚ＋ｙ２ｚ＋ｘ＋ｚ２ｘ＋ｙ＝ｘ２ｓ－ｘ＋ｙ２ｓ－ｙ＋ｚ２ｓ－ｚ＝ｘ２ｓ－ｘ＋ｘ＋ｙ２ｓ－ｙ＋ｙ＋ｚ２ｓ－ｚ＋ｚ－ｓ＝ｓ·ｘｓ－ｘ＋ｙｓ－ｙ＋ｚｓ－ｚ－ｓ＝ｓ·ｘｓ－ｘ＋１＋ｙｓ－ｙ＋１＋ｚｓ－ｚ＋１－３－ｓ＝ｓ２·１ｓ－ｘ＋１ｓ－ｙ＋１ｓ－ｚ－４ｓ≥ｓ２·３２（ｓ－ｘ）＋（ｓ－ｙ）＋（ｓ－ｚ）－４ｓ＝９２ｓ－４ｓ…