解决高斯函数的函数值问题的策略初探

对于每一个实数x,我们用[x]来表示不大于x的最大整数,并将函数f(x)=[x]称为高斯函数.高斯函数首先是由德国数学家高斯于十九世纪所提出,而后广泛应用于生产生活的各个方面.高斯函数作为一种重要的初等函数,不仅具有简洁的结构和通俗的意义,而且还具有其他初等函数所没有的特性———连续的定义域和离散的函数值域,再加     

什么是初等函数

无论是中学数学教学还是大学微积分教学中,初等函数都占有十分重要的地位,初等函数不仅是人们最先认识的函数类,而且它有好的性质,如所有初等函数在其定义域内都是连续的;所有初等函数的导数仍为初等函数,在研究非初等函数时,可以借助于无穷级数,无穷乘积或极限过程,将它们用初     

对判别式法的再认识

判别式法求函数值域是中学数学的常用方法,其理论依据是： （1）函数式是一种特殊的二元方程式（y能用x的解析式表示,从而每一个一值对应于唯一的函数值y）,但方程式不一定是函数式,     

函数值域的求法复习

求函数的值域是研究函数的重要内容，求函数值域的方法涉及中学数学诸多方面的知识和方法．搞好函数值域求法的复习，有助于加深学生对函数知识的理解，拓宽知识面，提高运用所学知识解决问题的能力．1基本函数的值域首先应当掌握一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的定义域、值域以及其图象和性质，它们是求一切函数值域的基础．2基本函数在特定区间上的值域这里最突出的是二次函数在特定区间上的值域，关键是用配方法找对称轴，在明确抛物线的开口方向的前提下，借助其图象讨…     

“谈谈初等函数的定义”一文质疑

《数学通报》90年第三期“谈谈初等函数的定义”一文中主要命题的根据及公式是错误的。该文的主要命题“命题1:一个分段初等函数,如果在它的每个分段之内点都是用一个基本初等函数式表示,称之为分段从初型初等函数,对应于每个分段基初型初等函数,都存在着一个用单一初等函数式表示的函数,除界点之外,它与原来函     

求函数值域的一般方法

关于函数值域的确定,是统编高中数学教材中的一个难点。学生作题通常没有一般方法可循,并且容易出现混乱和错误。本文拟给出求初等函数值域的一般方法。下面我们提出三个定理,为尽量避免使用较多的实数理论,仅用几何图形加以直观说明,不给出严格论证。然后归纳出只需运用简单的导数知识,对中学生可行的初等函数值域的一般方法。定理1 若函数y=f(x)满足条件 (1)、在闭区间〔a,b〕上连续; (2),最大值、最小值分别为M,m,则函数y=f(x)的值域为〔m,M〕。(其中mM) 定理1中,M、m的存在性与结论的正确性从函数图象(图1)上看是很明显的。例1,求函数f(x)=x~2-5x+6,x∈〔2,     

求初等函数值域常用的几种方法

函数的定义域和值域是函数概念中两个极为重要的内容,它们在研究函数的性质和图象,解决有关实际问题中都起着基础的作用,本文现介绍求初等函数值域常用的几种方法。一观察法(定义法) 有些简单的函数可以从所给的解析式,或将解析式经过适当变形后,直接求出它的值域。     

关于初等函数值域的一般讨论

用初等方法求函数值域，一般来说是相当困难的，需用很多特殊的技巧，且只能解决一些特殊的问题，本文将运用微积分的方法对初等函数的值域作一般的讨论．一、介值定理的推广我们知道，对闭区间上的连续函数有介值定理：若ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，ｆ（ａ）＝Ａ，...     

关于分段函数的初等性

按照普通教科书中的定义,初等函数是能用一个解析式表示的函数,而这一解析式是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次函数复合步骤所形成的．由于在这个定义中强调了“能用一个解析式表示”这一条件,所以分段表示的函数是否为初等函数就另需加以判定了．本文的目的就是要讨论这一问题．引理三函数都是初等函数．证明因为g1（x）,g2（x）,g3（X）分别可表示为放它们都是初等函数．引理2函数都是初等函数．证明因为分别可表示为放它们都是初等函数,引理3若分别是和（a,b）上的初等函数,均为常数,则都是初等函数,它们分别…     

极限计算的常用方法

求极限是高等数学中最基本的运算之一,它在现行中学数学教学中也占有重要地位。本文按统编教材的有关内容(全日制十年制高中数学第四册第七章),对极限计算的常用方法做一点归纳,供中学生学习参考。一、依函数的连续性求极限中学数学中所讨论的函数是初等函数,而初等函数在其定义域内都是连续的,因此根据函数连续的定义,求连续函数的极限值可变为求在给定点处的函数值。     

函数概念与基本初等函数

1.本单元知识点函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.函数内涵丰富、思想深刻、应用广泛,是高中数学的核心知识与关键内容.基本初等函数尽管简单,但非常根本,也能大致满足描摹现实世界的需要.本单元学习重点包括:函数的概念及表示,函数的定义域与值域,函数的单调性与最值、函数的奇偶性,幂运算与对数运算,指数函数、对数函数与幂函数的概念和性质,函数零点与方程根的联     

关于分段函数的初等性

关于分段函数的初等性刘文（河北工学院）按照普通教科书中的定义，初等函数是能用一个解析式表示的函数，而这一解析式是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次函数复合步骤所形成的。由于在这个定义中强调了＂能用一个解析式表示＂这一条件，所以分段表示的函...     

多媒体计算机辅助函数教学的尝试

函数在中学数学教材中占有重要的地位,是最基本的概念之一．特别在高中教材里,开始系统、精确地介绍函数的概念并研究幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等基本初等函数的概念、性质和内容．对于给定的某个初等函数的特性研究一般包括下列内容：（１）函...     

反函数学习问答

反函数是中学数学中的一个重要内容 ,学习反函数时 ,如果对概念与定义内涵、性质的理解不深刻或有偏差 ,就会造成是非不清、知识错位 .下面以问答形式进行剖析 .1　函数ｘ =ｆ- 1( ｙ)和函数 ｙ =ｆ- 1(ｘ)是同一个函数 ,还是两个不同的函数 ?答 :是同一个函数 .因为函数定义域、值域及定义域到值域上的映射是函数三要素 .而对使用什么字母作自变量 ,什么字母表示函数并没有限制 .当没有指明函数的定义域时 ,一般是指使表达式有意义的自变量构成的集合 .但是 ,如果将ｘ =ｆ- 1( ｙ)和 ｙ =ｆ- 1(ｘ)作为方程看 ,这两者一般就不是同一个方程…     

談談初等函数的作图

在初等微积分学里研究的函数,主要是初等函数。因此,凡是想学习微积分的数学爱好者,对于一些初等函数的性质,特别是基本初等函数(冪函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数)的性貭应該比較熟悉的。然而,对于较复杂的初等函数,往往不容易掌握它們的性貭。我們认为,通过函数的图象来了解函数的一些性质是較为有效的,因为函数用图形来表示具有几何的直观性,它是研究函数时的重要輔助工具。本文将簡单地介紹一下有关初等函数作图的一些知識,同时为了便利于沒有学过微积分的广大讀者,文章并未涉及到微积分方面的知識。在按所給函数的分析式子描繪图形时,应該首先     

用初等函数表示一类分段函数的方法

用初等函数表示一类分段函数的方法郑州粮食学院龙洪波，伍毅分段函数作为特珠的函数是建立数学模型时经常遇到的一类函数．在一定的条件下，如果能将分段函数化成初等函数，将有利于研究它们的各种性态．本文将给出只有一个分段点，且在两区间段上的表达式均为多项式函数...     

辅助元方法在求无理函数值域问题中的应用

<正>对于无理函数f(x)=■±■(ab≠0且c,d不同时为零)值域的求法,当f(x)在定义域內为单调函数时,利用单调性容易求得其函数的值域:当f(x)在定义域內不单调时,不容易求得其函数的值域:在这种情形下,许多中学数学刊物曾探讨过其求解方法;本文将运用两个变量的平方和(差)为正常数作参数代换,给出求此类函数值域的新方法.先     

两函数和与商的值域求法

在中学数学里，我们常常遇到求具有和或商的形式的函数值域问题．笔者发现，这类问题可转化为直线系与定曲线相交时，求参数的取值范围，从而可用数形结合法简洁、明快地解决这类函数的值域问题．１形如ｓ＝ｕ（ｔ）＋ｖ（ｔ）函数的值域令ｘ＝ｕ（ｔ）ｙ＝ｖ（ｔ）｛，则...     

高一函数教学中“关键节点”的处置

函数是中学数学的主线,它像一条纽带把中学数学的各个分支紧紧地连在一起.中学生学习函数知识需经历四个阶段,第一阶段是在初中,第二阶段是在高一学习函数(数学1),第三阶段学习三角函数(数学4),第四阶段学习导数及其应用(选修1、2)等,其中,高一《函数概念与基本初等函数Ⅰ》是学生学习函数的重要一环,     

复合函数的定义域和值域的求法

复合函数的定义域和值域的求法朱犁（贵州师大附中５５０００１）解关于ｆ（ｘ）的函数方程的问题，求函数的定义域和值域，求函数的最值，讨论函数的增减性等问题散见各种数学复习资料和中学数学杂志上．高三复习时，面对这些问题，有些同学受一些复习资料的影响，处理时...