发现 归纳 探究 创新——中考压轴题引发的思考

一、中考试题 如图1,⊙O1与⊙O2外切于点A,BC是 ⊙O1和⊙O2的一条外公切线,B、C为切点． (1)求证:AB⊥AC;(2)若R、r分别为 ⊙O1、⊙O2的半径,且R=2r,求AB/AC的值．     

一道中考题的解题思路分析

题目(2011黄石)已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D.(1)如图1,若AC是⊙O2的直径,求证:AC=CD;(2)如图2,若C是⊙O1外一点,求证:O1C⊥AD;     

数学问题解答

2006年5月号问题解答(解答由问题提供人给出)图11611已知:如图1,⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,且⊙O2过⊙O1的圆心O1,由B点引⊙O2的弦BC,连结AC交⊙O1于点F,求证:BC=CF.图2证明如图2,连结AB,O1O2,BF,O1A,O1B,O2A,O2B,延长CB交⊙O1交于D点,连AD.因为AB为⊙O1与⊙O2的公共弦,O1O2为连     

八圆定理

定理1⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切,⊙O1切⊙O2、⊙O3于A、C,⊙O2与⊙O3切于B,⊙O4与⊙O1、⊙O2、⊙O3分别外切于D、E、F(如图1),则⊙ADE、⊙BEF、⊙CDF两两外切,且与⊙ABC均内切.先证引理1.引理1⊙O1(r1)、⊙O2(r2)、⊙O3(r3)两两外切,⊙O1与⊙O2、⊙O3切于A、C,⊙O2与⊙O3切于B,     

与教材中的一个例题相关的中考题

例题如图1,⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的外公切线,B、C为切点,求证:AB⊥AC.纵观近几年的中考试题,与此题相关的试题层出不穷.现举几例加以说明,以供参考.例1(2003年天津)已知,如图2,⊙O1与⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的外公切线,B、C为切点.(1)求证:AB⊥AC;(2)若r1、r2分别为⊙O1和⊙O2的半径,且r=2r2,求AB/AC的值.     

数学问题解答

20 0 3年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 4 36　如图 .⊙O1 与⊙O2内切于P ,⊙O1 的弦AB切⊙O2 于C .若⊙O1 和⊙O2的半径分别为R、r.求证 :AC2AP2 =R-rR .(安徽省肥西中学　刘运谊　 2 31 2 0 0 )证明　设PA、PB交⊙O2 于E、F ,连结EF ,过P作⊙O1 与⊙O2 的外公切线MN ,延长PC交⊙O1 于Q ,再连BQ、CF .因为MN是⊙O1 与⊙O2 的外公切线所以∠EFP =∠APM =∠ABP所以EF∥AB ,所以CE =CF所以∠APC=∠BPC又因为∠A =∠Q所以△APC ∽△QPB、△APC∽△QBC所以 ACAP =BQPQ ( 1 )　　 ACAP =CQBQ (…     

一道女子奥赛题的多种证法

<正>如图1,⊙O1与⊙O2交于A、B两点,延长O1A交⊙O2于点C,延长O2A交⊙O1于点D,过点B作BE∥O2A交⊙O1于点E,若DE∥O1A,求证:DC⊥CO2.这是2014年中国女子数学奥赛第一题,笔者从多角度来添设辅助线证明本题,供同学们参考.证法一如图1,分别连接DB、O1O2、AB,延长EB交⊙O2于H,连接AH.∵∠ABH=∠EDA=∠O1AO2=∠DAB,     

对称在初中数学课外活动中的应用

初中讲授的轴对称和中心对称都属于合同变换的范畴 .轴对称又叫翻折变换或反射变换 ;中心对称是旋转变换的特例 .利用对称来解题 ,能训练思维 ,增强空间想象能力 ,使问题简捷明了 ,直观新颖 .本文将从五个方面来说明这一点 .1　对称作图利用对称性原理来作图 ,能使问题简化 ,通俗易懂 .例 1　已知两等圆⊙O1、⊙ O2 相交于 A、B.求作 :一个正方形 ,使其四个顶点分别在两个圆上 ,且每个圆上必须有两个相邻的顶点 .作法 :( 1 )连结 O1O2交 AB 于 O;( 2 )作∠ AOO1的平分线交⊙ O1于 C,交⊙ O2 于 G,其反向延长线交⊙ O1于 H,交⊙O2 于…     

第1578问题的简单证明、推广及应用

问题1578如图1,⊙O1、⊙O2内切于点P,⊙O1的弦AB切⊙O2于C,设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r.求证:AACP22=R-rR.这是贵刊2005年第11期《数学问题解答》栏中第1578问题,经过我们认真地研究发现,它具有“证法多样、可以推广、应用广泛”的特点,可以说,是一个值得深入研究的好问题.下     

一对几何定理的证明与一类趣题

<正>本文拟证明一对几何定理,并运用其证明一类有趣的几何问题.1.定理及证明定理1如图1,⊙O1与⊙O2内切于点P,过⊙O1上的点A作⊙O2的切点AB,切线为B,设⊙O1与⊙O2的半径分别为R与r,则有AP=     

由一道练习题变成一系列中考题

一、原题:已知:如图1,⊙O1,⊙O2相切于点T,直线AB、CD经过点T,交⊙O1于点A、C,交⊙O2于点B、D.求证.AC//BD.(人教版九义教材初中几何第三册第145页练习第2题).     

三角形正则点的尺规作图

关于三角形正则点的讨论 ,初步展现了这一新点的价值 ,值得重视 .但美中不足的是 ,三角形正则点都是间接构造得来的 .能不能直接用尺规作图找到正则点呢 ?本文给出肯定的答案 .情形 　不等边三角形已知 :△ ABC各边互不相等 .求作 :△ ABC的正则点 .作法 :1作∠ A的内角和外角平分线 ,与对边 BC(或延长线 )交于 D,D′;2以 DD′为直径作⊙ O1;3同样作∠ B的内、外角平分线 ,与对边交于 E,E′,再以 EE′为直径作⊙ O2 ;4⊙ O1与⊙ O2 的两个交点就是△ ABC的正则点 .证明　如图 1 ,首先要证明⊙ O1与⊙ O2 相交 .在此不妨设AB >B…     

小议切点三角形

(九年义务教育)人教版初三《几何》课本P129例4中,⊙O1、⊙O2外切于A,BC是⊙O1、⊙O2的外公切线,B、C是切点,求证:AB⊥AC.(如图1) 我们仔细看一下△ABC:它实际上是由两圆相外切的切点A,外公切线与两圆相切的切点B、C三个切点连线围成的.因此,把它称为     

一题多证触类旁通

一题多证(解),是巩固知识点,提高分析能力和综合应用能力,培养思维灵活性的好方法.南通市的一道中考题,就很典型. 例 如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,且圆心O2在⊙O1上。 (1)如图1,AD是⊙O2的直径,连结     

从两圆的内、外公切线的长谈起

首先从两圆的外公切线的长谈起。1.(1) 如图1,已知:⊙O和⊙O_1外切于D.AB是两圆的外公切线,A、B是切点,连心线OO_1交⊙O于F、交⊙O_1于C.设两圆的半径分别为R、R_1(R>R_1),求证:AB~2=4RR_1(=CD·DF)。     

数学问题解答

2012年8月号问题解答(解答由问题提供人给出)2076已知:在⊙O中,弦CD垂直于直径AB,垂足为E,点M1、M2分别在OC与CO的延长线上,且CM1=OM2,AM1交⊙O于点F1,AM2的延长线交⊙O于点F2,DF1交AB于G1,DF2的延长线交AB的延长线于点G2.     

再论圆周向量定积定理

文[1]中提出了“圆周向量定积定理”:设⊙C的半径为R,其同心⊙C′的半径为R′,R>R′,M是⊙C上的动点,AB是⊙C′的任一直径(如图)1),那么MA·MB=R2-R′2.文[2]将该定理改进为:设AB是半径为R的⊙O上的两点,M是平面上任意一点,如果AB是⊙O的直径,则MA·MB=MO2-R2.本文主要讨论该定理的逆定理是否成立,即:AB是半径为R的⊙O上的两点,M是平面上任意一点,如果MA·MB=MO2-R2,则AB是否一定是⊙O的直径呢?分析当M与A点或B点重合时,由于“MA·MB=MO2-R2”是一个恒等式,故AB一定是⊙O的直径.当M与A点及B点都不重合时,我们分M…     

圆的切点弦方程及其应用

1.结论当点M(x0,y0)在⊙O:x2+y2=r2外时,过P(x0,y0)向⊙O:x2+y2=r2所做两条切线的切点弦的方程为l:x0x+y0y=r2.2.简析如图1,过M(x0,y0)作⊙O的两条切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则过点A(x1,y1)的     

关于圆的一个命题在椭圆中的推广

郭璋老师在<数学通报>2009年第3期"数学问题与解答"专栏中用综合法证明了如下一个关于圆的命题(问题1776):⊙O中,AB,CD是互相垂直的直径,点F1在AO上, 延长OB到F2,使OF1=BF2,直线CF1交⊙O于E1,AE1的延长线交CD的延长线于M1,CF2交⊙O于E2,AE2交CD于M2.     

滚动与转动的区别

问题如果⊙O的周长为20πcm，⊙A，⊙B的周长都是4πcm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动．⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周回到原来的位置，想一想，为什么？