解析几何中的四类对称变换

[复习说明 ]由于平面解析几何中所研究的许多图形是对称图形 ,于是相关的对称变换问题经常在全国高考试卷与各地模拟试卷中出现 ,它是高考复习的一个热点专题 .本专题复习的重点是两点关于直线成轴对称问题 ;难点是两曲 (直 )线关于直线成轴对称问题 .[内容提要 ]1 .点 P(x,y)关于点 M(a,b)成中心对称的点是 P′(2 a - x,2 b - y) .2 .两点 P(x1,y1)、Q(x2 ,y2 )关于直线 Ax+By +C=0 (AB≠ 0 )成轴对称的充要条件是　 A .x1+x22 +B .y1+y22 +C =0 ,且 (- AB) .y1- y2x1- x2=- 1 .特例　点 P(x,y)依次关于直线 x =a,y =b,y =x,y =- x…     

函数图象对称性选择题

1.函数y=f(x)与y=-f~-1(-x)的图象( )。 (A)关于y=x对称 (B)关于y=-x对称 (c)关于x轴对称 (D)关于原点对称 2.设函数y=f(x)与y=-f(x)的图象既关于x轴对称,又关于原点对称,那么y=f(x)图象( )。 (A)关于x轴成轴对称图形 (B)关于y轴成轴对称图形 (C)关于原点成中心对称图形 (D)关于直线y=x成轴对称图形     

新题征展(133)

A 题组新编1.设函数y=f(x)在定义域D上可导,且a∈D,则(1)函数y=f(x)的图象关于点(α,f(α))对称( ←→)函数y=f'(x)的图象关于直线x=α对称;(2)当f'(a)=0时,函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称( ←→)函数y=f'(x)的图象关于点(a,f'(a))对称.     

对互为反函数图象对称关系的证明过程的注记

关于函数与其反函数的图象间的对称关系有:定理　函数y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.从教材[1]上对其证明过程来看,证明了两个结论:1.函数y=f(x)图象上任一点M关于直线y=x的对称点M′都在y=f-1(x)的图象上;同时,2.函数y=f-1(x)图象上任一点关于直线y=x的对称点也都在y=f(x)的图象上.若仅仅证明结论1,可否说明y=f(x)与y=f-1(x)图象关于直线y=x对称?回答是否定的,事实上,只要对本节(P62)中例1稍作改造,就构造出一个反例:y=3x-2(x∈R ),y=x 23(x∈R)易见对y=3x-2(x∈R )图象上任一点,关于直线y=x的对称点都在y=x 23…     

五个对称结论及应用

对称是高中数学的一个重要内容,分为中心对称和轴对称两大类型,最常见对称有,关于原点、x轴、y轴,直线y=x、直线y=-x等五种,设点P(x,y)或曲线F(x,y)=0,则有以下结论:1.关于x轴对称时,P(x,y)的对称点为P’(x,-y),曲线F(x,y)的对称方程为F’(x,-y)=0,其特点是"纵变,横不变".     

新题征展(105)

A 题组新编 　　1.(党润民)(1)f(x)定义在R上,若y=f(3x+5)是偶函数,则y=f(x)的图象必关于直线____对称,y=f(6x)的图象必关于直线____对称; 　　(2)f(x)定义在R上,若y=f(2x+3)的图象关于直线x=4对称,则曲线y=f(5x+6)的图象必关于直线____对称;……     

圆锥曲线的对称问题例析

圆锥曲线上存在两点,关于某条直线对称,求参数的取值范围,这类问题的常见解法是:设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b对称的两点,则PQ的方程为y=-1/kx+m,将之代入圆锥曲线方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,其中P、Q的坐标即为方程的根,故△＞0,从而求得k(或b)的取值范围.例1 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y=1交于A、B两点.     

关于周期函数的探讨

2001年高考题最后一题是这样的:设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称.对任意 都有设f(1)=2,求 .(Ⅱ)证明f(x)是周期函数,对于第二问,我们求得f(x 2)=f(x).如果我们将题目推广到一般情况可得: 一、如果函数y=f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称(a相似文献   

解析几何中的对称问题浅析

对称和对称问题在高中数学课本虽然没有专门研究,但对称和对称问题在高中数学中经常出现.根据教材所涉及的对称知识和高考中所考查的有关对称的试题,在此就解析几何中的三个问题进行总结.1.基本的对称问题1.1点关于点的对称问题例1已知两条直线l1:x-3y 10=0和l2:2x-y-8=0,过定点P(3,2)作一条直线分别与l1,l2交于A,B两点,使得P点是AB的中点,求该直线方程.解设A(x,y),则由题意得B(6-x,4-y).∴x-3y 10=02(6-x)-(4-y)-8=0x-3y 10=02x-y=0x=2,y=4.∴直线AB的斜率k=24--23=-2,所求直线方程为y-2=-2(x-3),即2x y-8=0.小结本题中P点是AB的中点…     

关于直线y=±x＋b的对称曲线的简易求法

众所周知,曲线c：f（x,y）=0关于直线l：y=x的对称曲线为f（y,x）=0,只需把原式中的字母x,y互换就可以了,其原因在于,原图像厂上任一点P（x,y）关于直线l：y=x的对称点为P（y,x）,所以c关于l的对称曲线为f（y,x）=0。同理,c：f（x,y）=0关于直线l：y=-x的对称曲线为f（-y,-x）=0。基于这一思想,我们有如下推广：     

浅思一道容易想错的高中数学题——利用导数的几何意义求分界点

指数函数y=αx与对数函数y=logαx是互为反函数,它们的图像是关于直线y=x对称,高一的教材或高三的复习资料都会把它们的图像画在一起,形象直观地显示了互为反函数的图像是关于直线y=x对称,如图1所示:     

由一道习题谈函数图像关于直线对称问题

题目 有下列四个命题:①若函数f(x-a)=f(a-x),则f(x)的图像关于y轴对称;②函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图像关于直线x=a对称;③函数y=f(a-x)与y=f(a+x)的图像关于y轴对称;④函数y=f(x-a)与y=f(a-x)的图像关于直线x=a对称.其中正确的命题是___.     

互为反函数的函数图象间的关系定理的又一证明

高中数学第一册§1.8揭示了互为反函数的函数图象间的关系,有如下定理: 函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f~(-1)(x)的图象关于直线y=x对称. 要证明这个定理,关键是要证明函数y=f(x)上的任一点M(a,b)与函数y=f~(-1)(x)上的点M′(b,a)关于直线y=x对称.对此,课本上给出了一个证明,这里再介绍一个证法.     

线性对称变换中的可对换性及其条件

我们经常会遇到线性对称变换问题:求曲线C:F(x,y)=0关于直线l:ax by c=0对称后所得曲线C′的方程.解这类问题,一般是设点P(x,y)是C′上的任意一点,关于直线l对称后的点为P′(x′,y′),则P′(x′,y′)必在曲线C上,然后根据直线l垂直平分线段PP′列出两个方程y′-yx′-x·(-ab)=-     

函数图象中对称问题剖析

请先看下面一题 :设函数 f(x)定义在R上 ,则函数 f(1-x)与f(1+x) 的图象关于 (　　 )(A)直线 y =0对称 .　　 (B)直线x =0对称 .(C)直线 y =1对称 . (D)直线x =1对称 .学生往往容易错选 (D) (正确答案应选 (B) ) .什么原因呢 ?显然 ,学生把它混同于问题“若 f(1-x)=f(1+x) ,则 f(x)的图象关于 对称”了 .此类现象还很多 ,学生常常难辨真伪 .其实 ,要解决好此类问题应分以下两步 :第一步 ,要根据题意分清研究对象 ,即某函数自身的对称问题 ,还是某两个函数之间的对称问题 .第二步 ,剖析题设条件中函数的特性 .下面就常见的两类易混淆的对…     

与一次函数结合的中考题

一次函数是初中的重要内容 ,也是中考的热点内容 .其它知识与它结合 ,能构成丰富多彩的综合题 .下面以 2 0 0 2年全国各地中考题为例进行分析说明 ,供大家参考 .一、一次函数与一次函数结合例 1( 2 0 0 2年陕西 )已知一次函数 y =2x +1.( 1)求一次函数与 y轴交点A的坐标 .( 2 )若直线 y=kx +b与直线y =2x +1关于 y轴对称 ,求k与b .解　 ( 1)令x =0 ,y =2× 0 +1=1,∴　直线与y轴交点A的坐标为 ( 0 ,1) .( 2 )∵　直线 y =kx +b与直线y=2x +1关于 y轴对称 ,∴两直线的交点为A( 0 ,1) ,∴b =1,在直线 y =2x +1上任取一点B( 1,3) ,则点B关于 …     

P(x,y)关于y=±x+c对称原来可以这样!

在一节关于点和直线对称问题的新课上,同学提出了教师平时很少去深入探究的问题.下面我们一起来看一看:…问题1点P(a,b)关于y=x的对称点P′坐标是__.问题2点P(a,b)关于y=-x的对称点P′坐标是__.学生甲:问题1先设出P′的坐标为(x0,y0),通过对称性可知,线段PP′的中点在直线     

互为反函数图像的交点问题

<正>我们已经熟知"函数y=f(x)的图像和它的反函数y=f^(-1)(x)的图像关于直线y=x对称"这个重要结论,但是关于函数y=f(x)与y=f(-1)(x)的图像关于直线y=x对称"这个重要结论,但是关于函数y=f(x)与y=f^(-1)(x)的交点问题,不少同学在认识上存在一定的误区.误区1函数y=f(x)及其反函数y=f(-1)(x)的交点问题,不少同学在认识上存在一定的误区.误区1函数y=f(x)及其反函数y=f^(-1)(x)图像的交点,一定在直线y=x上.我们举两个反例加以阐释.     

两类极易混淆的对称问题

先看这样两道习题: 1.若函数y=f(x)对定义域内任意的自 变量x都有f(x-1)=f(1-x),则该函数的 图像关于直线＿＿对称. 2.(1997年全国高考试题)函数y=f(x -1)与y=f(1-x)的图象关于直线＿＿对 称.(注:原题是一道选择题) 这两道习题涉及到两类对称问题,即一个     

有关函数的易混易错的类比问题

本文结合教学实践介绍高三在第一轮复习中与函数内容有关的一些易混易错的问题 ,通过比较和鉴别 ,达到灵活运用正确命题的目的 .问题 1　若 y =f( x)是偶函数 ,则有f( x a) =f ( - x - a) ;若 y =f ( x a)是偶函数 ,则有f( x a) =f ( - x a) .(奇函数也有类似结论 ,请读者探明 .)例 1　 ( 2 0 0 1年高考题改编 )设 f ( x)是定义在 R上的偶函数 ,其图像关于直线 x =1对称 ,证明 f( x)是周期函数 .分析　函数 f ( x)的图像关于直线 x =1对称 ,∴　　　 f ( x 1 ) =f ( 1 - x) .∵　　　 y =f ( x)是偶函数 ,∴　　　 f ( x - 1 ) =…