关于丢番图方程(12n)~x+(35n)~y=(37n)~z

运用同余及元素阶的性质,证明对任意正整数n,丢番图方程(12n)x+(35n)y=(37n)z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2).     

关于丢番图方程b~x+(2~α)~y=(b+2~α)~z

结合初等和高等的方法研究丢番图方程b~x+2~(αy)=(6+2~α)~z,α≥3正整数解的问题,并得到了如下结论:1.若b为平方数,则方程只有正整数解(x,y,z)=(1,1,1);若b+2~α为平方数,则x=1.2.若x1,则2■z.3.方程3~x+(2~(2k+1))~y=(3+2~(2k+1))~z,k■2 (mod 6),2k+1∈N,2k+11只有正整数解(x,y,z)=(1,1,1).     

指数Diophantine方程(143n)~x+(24n)~y=(145n)~z

设(a,b,c)是一组满足a~2+b~2=c~2,gcd(a,b)=1,2|b的本原商高数,运用初等数论方法讨论方程(an)~x+(bn)~y=(cn)~z正整数解(x,y,z,n),证明了:当(a,b,c)=(143,24,145)时,方程仅有正整数解(x,y,z,n)=(2,2,2,m),其中m是任意正整数,上述结果说明此时Jesmanowicz猜想成立.     

关于指数丢番图方程a~x+(3a~2-1)~y=(4a~2-1)~z的正整数解(英文)

本文通过计算Jacobi符号,运用代数数的对数线性型的下界估计,证明了:当整数a>1时,指数丢番图方程a~x+(3a~2-1)~y=(4a~2-1)~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,1,1).     

关于纯指数丢番图方程a~x+b~y=(m~2+1)~z

设r和m都是正偶数,(a,b,c)=(|V(m,r)|,|U(m,r)|,m~2+1),这里V(m,r)+U(m,r)(-1)~(1/2)=(m+(-1)~(1/2))~r.本文同时使用两个代数数的对数线性型的下界估计和两个有理数方幂之差的p-adic赋值的下界估计的一些结果以及本原素因数的结论证明了:(1)m48400r~2(log r)~2,或(2)m1.4r~2,r≡0(mod 4),2|x,2|y时,方程a~x+b~y=c~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,r).     

关于丢番图方程(an)x+(bn)y=(cn)z

设n,a,b,c是正整数,gcd(a,b,c)=1,a,b≥3,且丢番图方程a~x+b~y=c~z只有正整数解(x,y,z)=(1,1,1).证明了若(x,y,z)是丢番图方程(an)~x+(bn)~y=(cn)~z的正整数解且(x,y,z)≠(1,1,1),则yzz或xzy.还证明了当(a,b,c)=(3,5,8),(5,8,13),(8,13,21),(13,21,34)时,丢番图方程(an)~x+(bn)~y=(cn)~z只有正整数解(x,y,z)=(1,1,1).     

指数Diophantine方程(bn)~x+(2n)~y=((b+2)n)~z的例外解

设b是大于3的正奇数.运用初等方法讨论了方程(bn)^x+(2n)x+(2n)^y=((b+2)n)y=((b+2)n)^z适合(x,y,z)≠(1,1,1)的正整数解(x,y,z,n).证明了:i)对于任何给定的正整数N,存在无穷多个b可使该方程有满足min{x,y,z}≥N的正整数解(x,y,z,n);ii)对于任何给定的b,该方程仅有有限多组正整数解(x,y,z,n)满足y>z=x.     

丢番图方程及Browkin的一个猜想（英文）

本文首先证明了一些丢番图方程在整数环Z中无解,然后我们部分验证了Browkin在[Lecture Notes in Math.,Vol.966,1-6]中的一个猜想.     

混合幂丢番图不等式（英文）

It is proved that if λ_1, λ_2, ···, λ_7are nonzero real numbers, not all of the same sign and not all in rational ratios, then for any given real numbers η and σ, 0 σ 1/16, the inequality |λ_1x~2_1+ λ_2x~2_2+∑7 i=3λ_ix~4_i+ η| ( max1≤i≤7|x_i|)~(-σ)has infinitely many solutions in positive integers x_1, x_2, ···, x_7. Similar result is proved for |λ_1x~2_1+ λ_2x~2_2+ λ_3x~2_3+ λ_4x~4_4+ λ_5x~4_5+ λ_6x~4_6+ η| ( max1≤i≤6|xi|)-σ.These results constitute an improvement upon those of Shi and Li.     

素变量混合幂丢番图逼近(Ⅱ)（英文）

设λ_1,λ_2,λ_3,λ_4是正实数,λ_1/λ_2是无理数和代数数,V是well-spaced序列,δ0.证了:对于任意给定的大于或等于3的正整数k及任意ε0,v∈V,v≤X,使得λ_1p_1~22+λ2p_2~2+λ_3p_3~3+λ_4p_4~k-v|v~(-δ)没有素数解p_1,p_2,p_3,p_4的v的个数不超过O(X~(σ+2δ+ε)),这里σ满足:当3≤k≤4时σ=1-4/11k;当k≥5时,σ=1-2/11k.这改进了之前[Chinese Ann.Math.Ser.A,2015,36(3):303-312]的结果.     

一个素变量丢番图不等式（英文）

本文证明了如果1c(97)/(81),则素变量丢番图不等式|p_1~c+p_2~c+p_3~c+p_4~c-N|log~(-1)N对充分大的N是可解的,改进了翟文广与曹晓东的结果1c(81)/(68).     

关于指数丢番图方程$x^2+(3a^2-1)^m=(4a^2-1)^n$

应用Bilu,Hanrot和Voutier关于本原素因子的深刻结果以及二次丢番图方程解的表示的一些精细结果,完全解决了指数型丢番图方程x2 (3a2-1)m=(4a2-1)n当3a2-1是奇素数或奇素数幂时的求解问题．     

关于素变数丢番图方程组与不等式组（英文）

本文研究了和素数有关的方程组和不等式组，通过更细致的指数和估计，我们改进了以前的结果。     

关于丢番图方程的一个注记

本文得到了Ｓｈｏｒｅｙ和Ｔｉｊｄｅｍａｎ关于不定方程的一个猜想的一个结果，并且基本上解决了Ｅｄｇａｒ的关于上述不定方程的一个猜想．     

关于指数丢番图方程a2x+(3a2-1)y=(4a2-1)z

设a＞3是一个整数,应用Bilu,Hanrot和Voutier关于本原素除子的深刻理论以及二次数域类数的一些结果,证明了指数丢番图方程a2x＋（3a2-1）y=（4a2-1）z仅有正整数解x=y=1.     

关于丢番图方程1+5~x+2~y5~z11~u=2~v·11~w,yvw>0,x+z>0的解

讨论了丢番图方程1+X+Y=Z的一个特殊情形.借助计算机,用初等方法给出了指数丢番图方程1+5~x+2~y5~z11~u=2~v·11~w,yvw>0,x+z>0的全部非负整数解.     

关于丢番图逼近论中的若干测度定理(英文)

本文证明了两条关于丢番图逼近论中的测度定理。(详细叙述见本文§1。)这些定理是P.X.Gallagher定理的改进,并包有W.M.Schmidt的测度定理,还可以导出,例如: 1°.对于几乎所有的(θ_1,…,θ_n)∈R_n,适合于的整数q的个数为此处‖X‖表示实数X至最近整数的距离,ε为任意正常数,而与“0”有关的常数依赖于ε与诸θ_i。 2°.W.M.Schmidt与王元的转换定理中的性质A对于几乎所有的(θ_(11),…,θ_(nm))∈R_(nm)都成立。     

关于Kenichiro的一个丢番图方程问题

研究了Kenichiro提出的轮换对称形式的丢番图方程,即方程ab bc ca=ya+b+c3的求解问题,利用素数整除的一些性质,证明了该方程仅有平凡解a=b=c以及非平凡解(a,b,c)=(k,k,4k),(k,4k,k),(4k,k,k)(k∈N),从而完全解决了这个方程.     

关于丢番图方程xp-1=Dyn

利用分解因子法,讨论了一类高阶丢番图方程的解,并解决了当D=5时,不定方程解的情况.     

关于线性丢番图方程的Frobenius问题

本文考虑线性丢番图方程a_1x_1+…+a_kx_k=b的非负整数解的存在性问题.为解答Frobenius开问题,对于k2,给出整数G(a_1,…,a_k)的表示形式,该整数是使得b≥G a(_1,…,a_k)时,上述丢番图方程总存在非负整数解的最小整数.