韦达定理及其应用

在中学的代数課里,曾讲授过二次方程的根与系数的关系,那就是大家所熟悉的韦达定理。它的逆定理也是成立的。这两个定理运用得很广泛,有关二次方程討論的许多問題,都可以用到它們。本文主要想給予逆定理以两个証明方法,并将这两个定理的运用作一些系統的敍述。 (一) 一般概念 設二次方程 ax~2+bx+c=0 (1)的根是x_1和x_2,那么根据求根公式有: 从这两个等式可得这就証明了下面的定理(韦达定理): 定理1.如果二次方程ax~2+bx+c=0有根,則这两根之和等于一次項的系数b除以二次項的系数a所得之商的相反数;这两根之积等于常数項c除以二次项系数a所得之商。     

p~k(p≥3)元域上的二次方程的根的状况

<正> 关于实系数二次方程的实根的状况,有定理.ax~2+bx+c=0(a(?)0)为实系数二次方程,△=b~2-4ac,则其实根的状况为:有两个不同的实根(?)Δ>0;有两个相同的实根(?)Δ=0;没有实根(?)Δ<0.由此,对特征数为 p 的 p~k 元域 F,作类比推理,有定理.ax~2+bx+c=0(a(?)0)是 p~k 元域 F 上的二次方程,Δ=b~2-4ac,e 为     

关于不等式的“还原”问题

二次方程内容中,有一类已知方程求作新方程的问题。类似地,不等式的内容中,也可以提出这样的问题,即已知不等式的解,如何“还原”不等式的问题。关于这类问题,下面举例讨论它的几种解法。例1 已知不等式ax~2+bx+3>0的解是-3相似文献   

区间内二次方程根的判别式及其应用

二次方程根的判别式已有广泛的应用。本文讨论二次方程在指定区间内有根的条件。这样的判别式有一些巧妙的应用,如判断二次曲线的相互关系、证明一些不等式、求一些函数的值域等。 二次方程f(x)=ax~2+bx十c=0(a≠0)在区间[α,β]内有根的充要条件,可先按根的各类情祝,讨论如下:     

二次方程解法概述

在代数課本中,二次方程一般被认为是簡单熟悉的問題,但是不少教师为了在这一問題上扩大学生的知識范围和培养学生的解題技巧,正在不断的研究和改进着自己的教学方法。本文企图指出在初等数学的教学中进行此一工作仍有着广闊的余地,从而为教师或学生进一步独立钻研打下基础。哈恰多里(巴庫)写道,数年来他坚持在八年級的一节課上进行了利用韦达定理口答带有有理根的完全二次方程的练习。为此目的,他証明了二次方程枳的一个簡单性貭。已知方程 ax~2+bx+c=0, 証明方程 y~2+bx+ac=0的根等于已知方程根的a倍。为了証明此性质,我們应用公式解每一方程     

关于“2~k元域上的二次方程根的公式”的注记

对 2 k元域上的二次方程 ax2 +bx +c=0 (a≠ 0 )的根的多项式表示进行了讨论 ,从而解决了文献“2 k元域上的二次方程根的公式”中提出的问题 .     

方程讨论中的条件运用

代数二次方程讨论的基本理论是判别式定理与韦达定理,定理所叙述的条件对于方程的根来说都是充分而又必要的。但由于方程讨论时缺乏几何证明中的那种严谨性,所以有时常常忽略了条件的正确运用,有时又混淆了条件的必要性与充分性,而导致谬误。下面举例说明解法中常见到的一些错误。 例1.k为何值时,x的二次方程     

复习高一代数二次方程的一些意見

高一代数在第一学期讲的內容是冪和方根,二次方程和可化为二次方程的方程。本文打算提出有关复习二次方程的一些問題。 (一)关于解一元二次方程教师应着重要求学生,对于二次方程,不但要会正确地解,而且会用简捷的方法去解,并能达到熟练程度。 1.如果所給的二次方程能写成特殊形状 ax~2 c=0,ax~2 bx=0就直接求出它們的根,不必应用二次方程求根公式来解。 2.如果所給的二次方程很容易利用视察法来求出它的一个根,那末就可以利用韦达定理求它的另一个根。例如解方程 (a-b)x~2 (b-c)x (c-a)=0(a≠b),由視察,设x=1得 (a-b) (b-c) (c-a)=0,     

三次方程实根的个数初探

在初中数学中,我们曾利用判断式来判断二次方程根的个数.那么,对于三次方程的根的个数,该如何求呢?利用导数,便可以解决.下面讨论:方程ax3+bx2+cx+d=0(a>0)的根.分析函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与x轴有几个交点,方程便有几个实根.解由题意得f′(x)=3ax2+2bx+C.     

关于二次方程的实根问题

题目若口,刀是二次方程 ,.岑2一尹左主+k+6=o的两个实数根,试求(a一l)“十(月一!)2的最小位。 错解一山韦达定理可得a+刀J一,刀二k+6(。二z),十<刀一I),二。“+刀“一2。一2刀件:二(a+刀)“一:(。‘尸)一:a刀+2二‘左乞一6k一10 3、。=4L闷一一f)‘一 峙芋》一留(。一1),+(夕一,),的最小值为一华. , 错处钮)么》o 错因答案一琴是错的的,闪为(。一,),、、,:- 仔解法中只考虑了韦达定理,忽略了几认方程有实根的条件,即灸程的系数多欲人的取值范围要受根的判别式全》。介愁阳制.改错①②③先得条件组a+刀=2左a·刀,k+6211 \(一二·“)2升4(左…     

一元多项式的根

对于1’>O,如果了(劣)~‘扩+‘一:扩一’十…十al劣+a0是复系数一元:次多项式,那么方程f(:)二。,即 a·‘,+‘一、‘,一‘+…+a,:+a。=0②①叫做复系数一元二次方程.方程②的根,也称多项式① 的根. 一27一中学数学(湖北)1992.12 类似地,如果j(,)是实系数(或有理系数、整系数等)一元:(、>0)次多项式,那么方程j(幻二O叫做实系数(或有理系数、整系数等)一元:次方程. 关于多项式的根的个数有以下重要定理: l代数墓本定理一元:次多项式在复数集中至少有一个根. :799年伟大的数学家高斯证明了这一重要定理· 2根的个数定理一元二次多项式有且仅有…     

我怎樣教指數方程及對數方程

1.分析教材及根據學生水平,決定教學目的: 指數方程及對數方程,這節是高中代數學第121節,為高中二年下學期的課程,它緊接著對數學完之後即在懂得對數的若干性質,及二次方程解法知識的基礎上而學習的,但因此二類方程各無一般解法,在小學階段只能限於若干特殊的例子,也就是可化為普通的一次方程及二次方程來解的問題而已,課本中只有①解方程2~x=1024。②解方程a~(2x)-a~x=1。③解方程1g(a+x)+1g(b+x)=1g(c+x)三個例子,而習題本中除了簡單的方程外,尚有比較複雜而且常有增根失根的情況,在另一方面,對於為什麼要學習指數方程與對數方程,以及比種超越方程不能都以代數方程的解法去解它,課本中未曾提起,根據我班學生一般水平,在代數知識上是參差下齊的,對於二次聯立方程的知識還不很豐富,對於同根定理的認識更是膚淺,因此對本節的教學要     

有限域GF(2~m)上二次方程根的判别

<正> 我们记元素个数为p~m的有限域为GF(p~m).有限域GF(p~m)上的二次方程一般形式为 ax~2+bx+c=0,其中a、b、c∈GF(p~m),且a≠0.文[1]曾对特征数p为奇素数的情形进行了研究,给出了根的判别式,得到了完整的结果.本文将讨论 P=2的情形,提出有限域GF(2~m)上二次方程根的判别方法.     

应用图象研究二次方程根的分布

二次方程的判别式只能判定根的虚实和异同,通过相应的二次函数的图象却能直观地确定根的分布情况,现举例说明如下.例1关于x的二次:亏程丫+2(k+3)x+Zk+4二0两个实根一个大于3,一个小于3,求k的范围. 二次函数f(x)二分+2(k+3)x+2庵+4的图象如图l所示,易见,城使x,<3(均,只要f(3)=     

判别式有用须会用

<正>在解一元二次方程的有关问题时,常用到判别式.在具体应用时,必须正确使用,否则,将出现不易觉察的错误.一、应用判别式的前提是二次项系数不为零例1 k为何值时,关于x的二次方程k²x2x²+2(k-1)x+1=0有两个实根?错解∵上述二次方程有两个实数根,     

利用韦达定理的逆定理构造二次方程解题

利用韦达定理的逆定理构造二次方程解题２１１７００江苏省盱眙县中学周以宏若两实数ｘ１、ｘ２满足ｘ１＋ｘ２＝ｘ１·ｘ２＝（ａ≠０）．则ｘ１、ｘ２是方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的两根．这是韦这定理的逆定理，它在解题中有着广泛的应用．本文例说合理地利用它构造一元...     

初中数学竞赛中的一元二次方程问题

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有以下关系:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,那么x1+x2=-ab,x1·x2=ac.反过来,如果x1,x2满足x1+x2=p,x1·x2=q,则x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两个根.因此,人们把这个关系称为韦达定理.一元二次方程的韦达定理,揭示了根与系数的一种必然联系.利用这个关系,我     

运用二次函数图象研究二次方程初探

二次函数与二次方程的关系密切.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)而言,当y=0时,就得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).因此,一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴的交点的横坐标.我们     

关于二次方程有异号根的条件

在一些数学书刊中,在讨论二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)有异号根的问题时,往往加上判别式“Δ=b~2-4ac>0”的条件,这也许是为了解答“保险”起见,其实不要“Δ>0”,结果也很“安全”。现举例说明如下:     

两角和正切公式与韦达定理

在两角和正切公式中有tanα+tanβ与tanαtanβ,而韦达定理中有两根和x1+x2与两根积x1x2.由此可知两角和正切公式与韦达定理有内在联系,二者的结合点是tanα、tanβ是某一元二次方程的两根,在解题中,若能够注意到这点,能迅速找到切入点,对提高解题能力大有好处,现举例说明.例1已知方程x2+6x+7=0的两根为tanα、tanβ.,求证:sin(α+β)=cos(α+β).分析要证sin(α+β)=cos(α+β),可