巧用构造法证不等式

在证明不等式时，根据欲证不等式的具体结构特征，通过观察、联想，构造出函数、数列、复数、方程、命题、图形等某个数学模型，并将所证的不等式问题转化为研究该数学模型的特征，达到促进转化、简化证明的目的，这种方法叫构造法．     

构造法证明不等式一例

不等式的证明是中学数学的难点,有些不等式的证明问题从正面直接求证,常常感到困难,不妨转换角度,从不等式的结构出发,巧妙构造与之相关的数学模型,使问题转化,可以得到简捷清晰的解法.     

函数与方程思想在三角问题中的应用

函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想,是从问题的数量关系入手,将问题中的条件转化为数学模型:方程、不等式或方程与不等式的混合组,然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.函数与方程犹如亲兄弟,彼此身上存在对方的影子,两者互相转化接轨,形成了函数与方程思想.本文将用函数与方程思想来解决三角函数的证明求值问题.     

不等式的性质与证明

1本单元重点、难点、热点分析 重点：实数大小的比较,不等式的基本性质,重要不等式,不等式的证明方法．不等式的性质是证明不等式、化归不等式问题、解决不等式实际问题的重要依据．     

不等式证明问题的思考方法

不等式的证明是中学数学中的一个难点．如何寻求不等式的证明思路是中学生常感到困惑的问题,本文通过对一道不等式证明问题的多角度思考来说明不等式证明中一些常用的思想方法．     

二元不等式问题的导数处理

2011年安徽高考理科数学试卷第19题是一个二元不等式的证明问题,很多学生不能适应．其实,作为研究函数的重要工具——导数,学生都是相当熟悉的,用导数解决一元不等式问题是一种常见的题型,而用导数处理二元不等式的问题没有引起人们的重视．该题若用导数证明就省去繁琐的恒等变形,显得亲切自然．一般来说导数研究二元不等式问题常见如下三种类型．     

基于区间分析的不等式自动证明

提出了一种基于区间分析的不等式自动证明方法,这一方法可以处理类型较为一般的不等式, 只需对应的函数具有所需的高阶连续可微性质, 而传统的不等式自动证明方法一般仅处理代数类型, 或可最终转化为代数类型的不等式.实际例子显示, 该方法可以解决一些其他方法无法解决的问题.     

应用Popoviciu不等式证明两族孪生对称不等式

<正>Popoviciu不等式如(1)所示,揭示了凸函数在一组数据点的函数值之间的关系.巧用该不等式,可以很好地解决某些不等式难题.本短文将应用该不等式,证明一个采用常规基本不等式无法证明的不等式(2).Popoviciu不等式及其证明可以参考文献[1],证明主要利用了凸函数性质和Karamata不等式.不等式(2)的一个特例,     

数列中的加强不等式

<正>数列与不等式都是高中数学的主干知识,将两者结合在一起的问题称之为数列不等式问题,有些数列不等式问题直接证明比较困难,可以先证明比原命题更强的命题,即是证明加强不等式,这是证明数列不等式问题的一个有效的方法.下面举例说明如何构造加强不等式.1.根据题目的结构形式构造加强不等式     

通过“构造”求解不等式

我们的高中数学选修教材引进柯西不等式,并通过构造一元二次方程给出一个经典的证明,作为高中生,我们也要学会通过“构造”方程、不等式或函数等辅助手段来解决问题．当然此处所说“构造”是依据数学问题的条件和结论的特征,以问题中的数学关系为“框架”,数学元素为“元件”,构造出新的数学对象或数学模型,从而使问题转化并得到解决的方法．     

一个不等式的另证

《中学生数学》2011年4月（上）封三“读者来信”专栏登载的“指正一个不等式证明的错误”一文,指出了美国数学奥林匹克一个不等式问题的两度证法上的错误,但没有给出其正确的证明,令人遗憾．之后查阅了该不等式的原证法,也较为冗繁,不够简约．     

正态分布与分层教学

利用概率论和不等式技巧完善了分层教学数字特征的一般证明,建立了教学效率的数学模型用应用实例,证明了分层教学法的优越性.     

算术－几何平均不等式的初等证法

算术－几何平均不等式的初等证法江海涛（马鞍山高级职业学校２４３００１）在中学数学课本中，任意ｎ个正实数的算术—几何平均不等式，是通过不完全归纳推理给出的，没有进行严格的证明．而学有余力的同学，经常向老师提出此不等式的证明问题．该不等式证法虽多，但常见...     

准静力学双面接触支承问题及其粘弹性材料的非局部摩擦

建立了描述变形体和基础间接触问题的数学模型.接触是双面的,并采用非局部摩擦定理建模,支承列入计算.粘结场(bonding field)的变化用一个一阶的常微分方程来表示,材料特性用一个非线性粘弹性本构关系建模.导出了该力学问题的变分公式,当摩擦因数充分小时,证明了其弱解的存在性和唯一性.依赖于时间的变分不等式、微分方程和Banach不动点理论,是该证明依据的基础.     

由特征巧设函数证明不等式的六种视角

有些不等式问题,若从正面去直接证明,往往会感到非常棘手,但若从不等式本身的具体结构特征出发,巧妙地构造出一个具有所需性质的函数模型,从而站在函数的角度研究该函数的性质,常常会达到促进转化、简化证明的目的.本文试谈构造函数证明不等式的几种视角,供参考.     

妙用构造法证明不等式

在不等式的证明中,有些不等式,如果从正面直接求证有时会很麻烦,甚至一筹莫展,但是如果转换思维角度,从不等式的结构和特点人手,巧妙构造与之相关的数学模型,将问题转化,常可得到简捷、清晰的解法,让人有耳目一新的感觉．另外,构造法是一种富有创造性的解题方法,它很好地体现了数学中发现、类比、化归的思想,也渗透着猜想、试验、探索...     

数列不等式证明方法归类分析

数列不等式是含有数列的通项an或前n项和Sn的不等式.在近年来的全国各地高考数学试题中,数列不等式证明问题多次出现,已经成为全国高考数学命题所特别关注的焦点.数列不等式处于数列与不等式知识的交汇点,通常呈现递推形式.数列不等式的证明问题,所涉及的知识点较多,是综合性较强、灵活性较高、难度较大的数学证明问题.     

三元均值不等式的几何解释

针对选修4-5《不等式选讲》这一专题,《标准》指出:本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景,以加深学生对这些不等式的本质的理解,提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力.均值不等式是该专题中介绍的几个     

从一个积分不等式证明到一般性结论的推广

采用积分的区间可加性和保序性对一个积分不等式进行了证明,该证明虽然比经典证明复杂,但是从其证明过程中可探索出更加一般的积分不等式.     

加强命题证明数列不等式问题的探讨

由于数列不等式与正整数有关,所以,“数学归纳法”成为数列不等式证明的首选方法．但是,一些数列不等式题直接用“数学归纳法”却行不通,而需要先对其进行放缩以证明它的“加强不等式”,它是证明数列不等式问题的一种有效方法．这时解决问题的关键是构造“加强不等式”,构造“加强不等式”是件不容易做好的事情．为此,本文对加强命题证明数列不等式问题从哪里“强”、如何“强”、“强”到什么程度作一些探讨．