一道2012年北京大学保送生试题的推广及简证

2012年北京大学保送生测试数学部分的第3题为:题目已知f(x)为一元二次函数,且a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))为正项等比数列.求证:f(a)=a.这是一道构思精巧的试题,涉及到一元二次函数、等比数列甚至复合函数、不动点等概念,很耐人寻味.文[1]利用一元二次函数的性质,给出试题的一种证法.本文将试题推广为下面的定理,并给出一个简证.     

高考数学中二次函数题类型浅析

二次函数是中学数学常见而又极其重要的函数类型,历来是高考数学题中常常涉及的知识点.并考查一元二次方程、一元二次不等式等重要知识点.近年来又以更新的题目类型展现在我们面前,使我们更应注意到关注二次函数题类型的研究.……     

初中数学二次函数解题方法与技巧

<正>基于中考数学试题的研究可以发现,二次函数的知识点在初中数学试卷中所占比例较大,内容较多,题目较复杂,考题难度较大．特别是二次函数问题经常会在中考压轴题中出现．下面对有关二次函数的常见题型及解题方法进行总结．1解析式问题——找、代、解在求解二次函数解析式的问题中,教师可以引导学生遵循“找、代、解”的解题思路,解决与二次函数有关的实际问题．     

挖掘隐含“不变” 突破解题难点

大千世界，千变万化．作为研究现实世界的空间形式和数量关系的数学也是如此．然而在这纷繁复杂的变化中却常常存在着某些“不变（性，量）”，数学解题过程中有时一旦挖掘到了这些隐含的“不变（性，量）”，也就突破了解题的难点．１　运用“含参二次函数的不变性（量）”突破解题难点“含参二次函数的不变性（量）”是指含参二次函数的对称轴“不变”，二次函数过定点“不变”等．例１　设二次函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ＋ａ（ａ＞０），满足ｆ（ｍ）＜０，试判断ｆ（ｍ＋１）的符号．分析　本题粗看似难以下手，但若仔细分析却有（ｉ）二次…     

例谈含参二次函数问题的思路方法

二次函数是高中阶段的重点内容,也是高中数学的难点,二次函数与一元二次不等式、一元二次方程有着密切的联系,解此类题中含有丰富的数学思想和方法,同学们难以掌握,特别在解决含有参数的二次函数问题时,更感到无所适从,下面我就有关二次函数问题介绍几种解题方法．     

教学设计：一元二次不等式的解法——基于“阅读·引导·提炼·探究”模式下的探究式教学

一元二次不等式的解法是高中数学不等式教学的重点内容之一．通过一元二次不等式的学习,可以加深学生对二次函数的认识,进一步明确一元二次不等式与相应函数、方程的联系．通过本节课的学习,可以加深学生对数形结合、类比、化归等数学思想的认识．     

怎样解二次函数的应用题

二次函数的应用题是各个省市中考的重点内容之一,也是初、高中数学衔接点,二次函数的应用很广,既有求什么时候面积最大?也有求什么时候用料最省?那么我们怎样来把握呢?若以是否必须建立“平面直角坐标系”来划分,我认为二次函数的应用题的题目     

“顺藤摸瓜”解决复合函数多个零点求参数取值范围问题

有一类题目是给出复合函数的零点个数,求其中参数的取值范围,本文对这类题目的三种常见题型:与函数自身复合、与二次函数复合、与其它函数复合,通过“顺藤摸瓜”程序化求解,总结解题策略和步骤.     

二元二次函数最值的一个定理——从一元线性回归系数的求法谈起

二元二次函数最值的一个定理——从一元线性回归系数的求法谈起石卫国（陕西安康教育学院７２５０００）一元线性回归分析是经济预测中常用的一种方法．对于一元线性回归系数的求法，几乎所有的教材及资料都借助高等数学的知识来求解．即对二元函数Ｑ（ａ，ｂ）＝∑ｎｉ＝...     

二次不等式恒成立问题的巧法纠误和通法分析

针对题目“已知x∈[-1,1]时,f（x）=x^2-ax＋a/2〉0恒成立,求实数a的取值范围”．文[1]指出了对原来的二次函数数形结合,对对称轴和给定的区间的位置关系进行分类讨论的方法．     

例谈一元二次函数的取值问题

一元二次函数是初中教材中的重点内容,但难度要求不高,到高中进行了深化,在学习中我们发现不光它的内容应用广泛而且它渗透了一些很重要的数学思想方法(如数形结合、分类讨论等),而其中最能体现一元二次函数上述特点的是:解决一元二次函数在区间上的取值问题.此知识的考查在高考中很常见.一元二次函数在区间上的取值问题可以通过对称轴和区间是否含有参数细分成四种类型,下面笔者通过一些例题来加以说明.     

二次函数压轴题的解题策略

二次函数问题是近几年来高考的压轴题 ,之所以获得命题者的青睐 ,这是因为一方面二次函数的基本内容与近现代数学的发展有密切联系 ,是学习高等数学极为重要的知识点 ;另一方面围绕二次函数能全面考查对函数性态的分析 ,以二次函数为载体把数 (计算、证明 )与形 (图象 )融合起来 ,把方程、不等式、绝对值等知识融合起来 ,围绕着二次问题 ,勾通了一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程问题的内在联系 ,很好的体现了数学学科的内在联系和知识综合运用 ,体现了在知识网络交汇点上设计试题的指导思想 .在知识上 ,高中在初中只研究二次函数…     

对“拋物线”教学的一点建议

学生在初中《代数》第四册中曾学过二次函数,知道其图象是抛物线,因而对《解析几何》中的“抛物线”(以下简称“抛物线”)的再次出现,难以引起重视,为此笔者建议在“抛物线”教学中,应对“二次函数”和“抛物线”从以下五个方面进行比较,使学生能进一步认识二者区别和联系。 1、研究对象:二次函数的研究对象是函数y=ax~2 bx c(a≠0);“抛物线”的研究对象是一条几何曲线——抛物线。 2、研究目的:二次函数的研究目的是函数y=ax~2 bx c(a≠0)的代数性质,如增减性,最大(小)值等,并通过研究图象与x轴的交点及开口方向,得出相应的一元二次不等式的解集;“抛物线”的研究目的是这条曲线     

要看透题目的本质结构

文 [1]、[2 ]谈到了下面一道不等式题的“分析”与“简捷证明” ,但对题目本质结构的揭示还不够深刻 .我们想从新的角度作出新的分析 ,并立即加以推广 .题目　已知二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ ,当 -1≤ｘ≤ 1时 ,有 -1≤ｆ(ｘ) ≤ 1.求证 :当 -2≤ｘ≤ 2时 ,有 -7≤ ｆ(ｘ     

一元二次不等式逆向求解策略

<正>利用二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式之间的关系,三步即可求出一元二次不等式的解集,即第一步:求出一元二次不等式对应的一元二次方程的根;第二步:作出一元二次不等式对应的二次函数的图像;第三步:根据图像写出不等式的解集,对于一元二次不等式的逆向问题(即已知解集求参数)问题,"三步法"同样快捷有效.     

集合与简易逻辑

1.本单元重、难点分析本单元的重点:1)有关集合的基本概念(包括常用数集、子集、补集、交集和并集等)与表示方法;理解数学中出现的集合语言,并会利用集合语言表述数学问题;会运用集合的观点研究、处理数学问题.2)含绝对值不等式的解法;一元二次不等式的解法,关键是理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,会利用二次函数图象求解一元二次不等式.3)理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,并会借助真值表判断复合命题的真假;理解四种命题(原命题、否命题、逆命题、逆否命题)之间的关系;关于充要条件的判断.本单元的难点:1)有关集…     

求二次函数值域应注意自变量的变化范围

有很多函数的值域问题或最大最小值问题可转为二次函数来讨论,而二次函数的值域问题一般有两类:一类是在全体实数范围内的值域,一类是在某一闭区间上的值域.对于后者,有的题目中闭区间没有明确告之,而是隐含在题目的条件内.如果不能充分挖掘题目的隐含条件,往往会影响结果的正确性.     

变量分离法解决含参二次函数问题的本质

<正>高三数学试卷中,填空题最后一题大多是属于含参二次函数问题,此类题目属于比较难的题目,有时仔细看答案或者听老师解答,也还是会有"为什么这样做"的疑惑,有此疑惑大概是因为没看透难题本质.本文首先从含有一个参数的二次函数入手,捋清变量分离法套路,进而解决含有两个参数的二次函数.     

2008年江苏卷理科第18题的解法与反思

题目在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f（x）=x^2＋2x＋6（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C．     

妙用“△”法,破解一道中考压轴解析几何题

在中学阶段,判别式“△”是用来判断一元二次力程根的存在情况的必备工具,“△”法是解决相关一元二次方程与二次函数问题的重要方法.此文,笔者妙用此法,破解一道中考压轴解析几何题. 题目: (2011年芜湖市中考压轴题.第24题)在平面直角坐标系中,(◇)ABOC如图1放置,点A,C的坐标分别为(0,3),(-1,0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°,得到(◇)A 'B'OC’. (1)若抛物线过点C,A,A’,求此抛物线的解析式. (2)求(◇)ABOC和(◇)A'B'OC’重叠部分△OC'D的周长.