完全四边形的Miquel点及其应用

我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形.六个点可分成三对相对的顶点,它们的连线是三条对角线.如图1,直线ABC、BDE、CDF、AFE两两相交于A、B、C、D、E、F六点,即为完全四边形ABCDEF,连线AD、BF、CE为其三条对角线.     

完全四边形的一条性质及应用

我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形.如图1,设直线ABE、BCF、ECD、ADF两两相交于B、C、D、A、E、F六点,即为一个完全四边形.BD、AC、EF为其三条对角线.完全四边形有一系列有趣性质,这里仅介绍其中的一条:性质完全四边形的一条对角线所在直线与其他两条对角线相交,则被其他两条对角线调和分割.如图1,设直线AC与BD交于M,与EF交于N,则AMAN=M CN C或AM·N C=AN·M C.若BD∥EF,则AMAN=BDEF=M CN C即证.若BD\∥EF,可设两直线相交于点G.此时还有BMDM=BGDG,ENFN=…     

在“MM教育方式”指导下运用计算机辅助教学一得

首先让我们看一个问题：如图1，在四边形ABCD中，分别从四个顶点A、B、C、D向对角线作垂线AE、BF、CG、HH，垂足分别为E、F、G、H．求证：四边形ABCD一四边形EFGH．我们把这个问题相应的图形输入计算机，让D点运动，当D点进入△ABC之内时，凸四边形一ABCD变为四四边形ABCD，我们看到四边形EFGH也变为四四边形（图2）；当D点运动到与A关于BC的异侧时，凸四边形变为有自交点的四边闭析线（蝴蝶形），四边形EFGH也变化为蝴蝶形（图3）．试问：它们是否能保持分别同原图形相似呢？按初中几何课本所说：“形状相同的图形是…     

运用化归思想解排列组合题

例 1　正方体八个顶点的连线中 ,异面直线有多少对 ?分析　因为一个三棱锥各对棱所在直线均异面 ,有 3对异面直线 .受这一结果的启发 ,原问题可化归为 :正方体八个顶点中任取 4个点 ,可构成多少个三棱锥 ?于是因由正方体的顶点构成的三棱锥的个数为Ｃ4 8- 12 ,故所求异面直线的对数为 :3(Ｃ4 8-12 ) =174 (对 ) .例 2　圆内接八边形的任意三条对角线不在圆内共点 ,那么所有对角线在圆内共有多少个交点 ?分析　因为圆内接四边形的两条对角线的交点位于圆内 ,故问题化归为只需考虑以圆内接八边形的顶点为顶点可构成多少个圆内接四边形 .因从圆…     

一道高考试题的推广

2008年高考江苏卷第18题是一道有关二次函数与圆的解析几何题：在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x^2＋2x＋b（x∈R）与两坐标轴有三个交点。经过三个交点的圆记为C．     

探讨凸四边形全等的条件

能够完全重合的两个图形叫做全等形.我们已经知道两个三角形全等的条件为:①三条边对应相等,简记为SSS;②两角和它们的夹边对应相等,简记为ASA;③两个角和其中一角的对边对应相等,简记为AAS;④两边和两边的夹角对应相等,简记为SAS.进一步,我们自然会想,有没有判定两个凸四边形全等的条件呢?已知凸四边形ABCD和凸四边形A′B′C′D′,如图1,问在什么条件下两个四边形全等.     

蝶形初探

两个对顶的三角形，如图1（甲），就构成一个蝶形ABCD，也即有一个自交点的四边封闭折线．和，从而它七个项角的和等于一个ACF同一个四边形BDEG内角的总和，因此，是540°．在四边形中，两条对角线一连，就构成一对共生的蝶形，如图1（乙），在梯形、平行四边形研究中，派上了大用场．在三角形内任取一点E，如图1（丙），将顶点和这点连结延长，即把三角形划分为三个共生蝶形，它们不仅在三角形的各心，而且在高、角平分线、中线研究中发挥着独特作用．圆周角定理、相交弦定理，如图1（丁）的研究，也离不开蝶形．笔者试翻了近年各省市…     

2008年江苏卷理科第18题的解法与反思

题目在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f（x）=x^2＋2x＋6（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C．     

四边形的重心

四边形的重心郭幼操（浙江农技师专３１５１０１）众所周知，三角形的重心为三中线之交点，对四边形而言，一般数学力学教材仅对平行四边形的重心有定论，其重心即对角线的交点．一般四边形的重心又如何确定呢？重心在对角线交点上的四边形是否必定是平行四边形呢？这便是...     

一道平面几何题的证法研究

一道平面几何题的证法研究秦雪生（江苏常熟高专２１５５００）文［１］中的命题２是这样的：如果凸四边形一组对边的中点和两条对角线的交点共线，那么这个四边形是平行四边形或梯形．这是一道很有意义的平面几何证明题．文山主要用以说明编写逆命题是编拟几何题的一种十...     

用常见的面积关系解竞赛题

本文将一些常见图形中的面积关系进行归纳，将其用来解有关的数学竞赛题．先介绍有关的基本定理：1．三角形的三条中线将该三角形分成面积相等的六个三角形，其中三条中线的交点是该三角形的重心（如图1）．2．平行四边形两条对角线将该平行四边形分成面积相等的四个三角形（如图2）．3．平行四边形的边上任一点和对边两端点的连线将该平行四边形分成面积相等的两部分．Rll图3中的S。一sl＋sZ一会见。·I。·4．平行四边形内任一点与四个顶点的连线将其分成四个三角形，则对顶的两三角形面积之和相等．即图4中SI＋SZ-S3＋S4．5．任意四…     

完全四线形的牛顿线定理的推广

完全四线形的牛顿线定理的推广刘毅（齐齐哈尔教育学院１６１００５）四条直线两两相交于六点所形成的图形叫做完全四线形．一个完全四线形有四条边和六个顶点，不共边的两个顶点称为对顶点，其连线称为对顶线．下面定理是由著名的英国数学家牛顿发现的．定理完全四线形的...     

从两道题的演化看“MM方式”指导下的计算机辅助教学

编者按这是两篇非常优雅的教学短文，是“MM教育方式”两位参加实验不到一年的青年教师所写．“MM教育方式”与计算机联姻，即这种新的教育方式与现代教学手段的“铮铮联合”，必将产生可喜的教学效果，这里只不过是一个小小的例证．初中几何教材第二册有这样一个例题，求证：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．书上所给图形如图1．而教材给的四边形的定义是：在平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形．据此定义，我们以计算机演示出可连续变化的系列图形（图2至图6）．此时是否仍…     

外切于圆的凸四边形的两条性质及推论

外切于圆的凸四边形有如下的两个结论,我们以定理的形式介绍. 定理1 外切于圆的凸四边形中,若一双对边的延长线相交,则另一双对边中的一条边的一端点处的内角平分线与另一端点的切点弦直线相交,所得两交点的连线平行于这一条边.     

三维空间的分划问题

华罗庚教授在文[1]中提出如下分划问题：空间有n个平面，其中没有两个平面平行，没有三个平面相交于同一条直线，也没有四个平面过同一个点．求证：它们分．我们发现，正三棱柱的三个侧面所在平面完全满足上述条件，按上述公式计算应有V3=1个交点，E3=6段交线，S3=12片面，把空间完成F3=8分．可是实际上，这三个平面却没有交点，只有三条交线，9片面，把空间分成7块（如图）．因此这个分划问题有误．很自然地，我们会想到：问题1要得到华教授所述结论，n个平面应满足怎样的条件？问题2若依华教授所列条件，正确的点、线、面、块数该是多少…     

四边形中的趣味竞赛题(上)

<正>在平面上由首尾相连的四条线段组成的封闭图形,叫做四边形.四边形可以分为凸四边形,凹四边形和交叉四边形.四边形具有四个顶点和四条边,我们一般研究凸四边形,也就是将每条边延长为直线后,其余各边都在这条边所在直线的一侧,四边形中没有公共顶点的两条边叫做对边,没有公共边的两个角叫做对角,对角顶点的连接线段叫做四边形的对角线.没有特别声明,今后     

第二周几何能力训练一

说明　此组题主要训练对三角形一章的知识、方法的灵活应用能力．　　一、选择题（每小题３分，共２４分）１．定理：三角形的两边之和大于第三边的知识依据是（　）．（Ａ）两边差小于第三边（Ｂ）两点之间，线段最短（Ｃ）两点间的距离的定义（Ｄ）两点确定一条直线２．证明等腰三角形的性质定理的辅助线不能是（　）．（Ａ）顶角的平分线　（Ｂ）底边上的中线（Ｃ）腰上的中线　　（Ｄ）底边上的高３．到三角形的三边距离相等的点是三角形的（　）．（Ａ）三条高的交点（Ｂ）三条中线的交点（Ｃ）三条角平分线的交点（Ｄ）三边的中垂线的…     

63 两相交(切)圆中生成的平行弦

（本专栏特邀过伯祥老师主持，稿件请寄：310064浙江舟山师专）1生成为基础T：opl与opz相交（相切）于A、B（A），如图1，有两条直线PS、HN同它们相交（挂出小黑板）大家动手画一两个类似的图形，看一下这样的构图，有什么具有特殊关系的线段没有？S......．T：再看另一种图形，如图2．这时，PS、ICPJ分别过两圆交点A、B（或过切点A）．这时的情况又如何呢？大家多画几个图形，现察--猜测--验证一下！S；：这时，可能有PH／／SN．T：其他同学从图形上观察到的，也是这样的么？S：是的．〔评析：从反面说明，"过交（切）点"是生成…     

退化圆锥曲线在曲线系方程中的应用

退化圆锥曲线在曲线系方程中的应用吕中伟（江苏常熟冶搪中学２１５５５４）解析几何（必修）课本Ｐ１１０有这样一个命题（以下称其为【曲线系定理１）：‘如果两条曲线的方程是人（ｘ；ｙ）一０和ｆＺ（ｘ，ｙ）一０，它们的交点是个ｘｏ，ｙ。）；证明：方程Ａ（。，ｙ...     

一个几何定理的妙证

<正>定理^[1]过完全四边形ABCDEF的顶点A的直线交BF于M,交CE于N,交BD于G,交CD于H,则1/AM+1/AN=1/AG+1/AH.(编者注文中的"完全四边形"ABCDEF是由平面上无三线共点的四条直线AB,BD,DF,FA(称为边)以及每每两条直线的交点A,B,C,D,E,F(称为顶点)组