利用积分上限函数证明积分不等式

积分不等式的证明,是高等数学学习中的一个难点,也是工科研究生入学考试中常出现的一类试题．本文欲通过若干范例说明,借助积分上限函数,把积分不等式转化为函数不等式来证明,是一种行之有效的方法．倒三设f（x）在[a,b]上单调增且连续,证明：其中不等号用到f（x）在[a,u]上的单调递增性,由此,F（u）在[a,b]上单调递减,所以F（b）≤F（a）＝0,即例2设f（x）在[a,b]上正值连续,证明所以F（u）在[a,b]上单调递增．而F（a）=0,故有F（b）≥0,即例3证明Cauchy－Schwarz积分不等式其中人x）与g（x）是「a,hi上的连续函数…     

不等式背景下的函数求值问题

众所周知,不等式a≤c≤a中蕴涵着等量关系c=a,不等式g（x）≤f（x＋k）-f（x）≤g（x）（x∈R）中蕴涵着等量关系f（x＋k）-f（x）-g（x）．若函数g（x）已知,再给出f（x0）的值以及n（n∈R且n≥2）,就可以求出f（x0＋nk）=f（x0）＋∑i=0^n-1g（x0＋ik）这一函数值．     

斜率公式与两个不等式

关于绝对值不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|的另证.当b=0时,不等式显然成立.当b≠0时,它等价于-|b|≤|a b|-|a|≤|b|-1≤|a |b|b|-|a|≤1-1≤||(aa b|b)--|aa||≤1|(aa b|b)--|aa|≤1.图1 y=|x|于是作y=|x|的图象如图1.易见MN所在直线的斜率k满足|k|≤1,故不等式得证.2不等式1 x≤1 21x(x>0)的“斜率”表示.此不等式等价于1 x-1(1 x)-1≤21.它表示过P(1 x,1 x),Q(1,1)两点的斜率不小于y=1 x在Q(1,1)点的切线的斜率.3如何比较23与32大小.令f(x)=lgxx则f(x)=lgxx--00,它可视为y=lgx图象上的动点(x,lgx)与原点连线的斜率,作出y=lgx的图象易…     

三类最小值问题的统一解法及一般结果

本文旨在通过实例，归纳总结出形如y=x＋和y=x的最小值问题的统一解法及一般结果对能直接利用基本不等式a＋b≥2,a＋b＋c≥3求解的情形，本文将略去．第一类的最小值问题情形1例1求的最小值，这里x（O，π）．以上两个木等号中的等式同时成立，当且仅例2求函数y的值域．解函数的定义域为一1≤X≤1，于是令t=（1－x2）＋，于是只需求出t的值域，即可得到y的值域．以上两个不等号中的等式同时成立，当且仅。。M。。。。。。4．例3（一般情形）求y一x十上的最小值，其中，0＜X＜b，户是一个正常数，且产）矿．上述两个不等号中的等式同时成立…     

略谈积分不等式

我们熟知定积分的一个性质,如下：在区间[a,b]上,b〉a.若恒有f（x）≤g（x）,那么,有结论：∫^b af（x）dx≤∫^b ag（x）dx 看起来平凡无奇,但将这个性质做一些灵活运用的话,是能够较好解一些不等式问题的,我姑且将这类不等式的证明叫做积分不等式.现在,通过几个例子来说明积分不等式的用法.     

双向分式不等式的一种简单解法

设实数a〈b,我们有以下命题： 命题 不等式 a〈f（x）/g（x）〈b ① 等价于不等式 [f（x）-ag（x）][f（x）-bg（x）]〈0 ②     

一个积分不等式

由连续单调函数的几何意义直观地得出一个不等式,即若设函数f（x）在[0,b]上连续且单调递减,则有b∫0^af（x）dx≥a∫0^bf（x）dx（0≤a≤b）.通过构造辅助函数给出其数学证明,并对其加以推广．     

对一道初赛题的解法探究

本文将对2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛第13题的解法及本质探究,与读者交流.试题设实数a,b满足0≤a≤1/2≤b≤1,证明：2（b-a）≤cosπa-cosπb.1.解答方法证法1要证2（b-a）≤cosπa-cosπb,只要证2b＋cosπb≤2a＋cosπa.即设f（x）=2x＋cosπx,下证f（b）≤f（a）;     

证明某些不等式的一种方法

对于有些含有定积分的不等式的证明，常常可以把一常数变为参数而构造辅助函数，再利用函数的增减性等有效方法，给出了这样一类不等式的证明方法。下面我们通过几个简单例子来阐明这种方法。树三设f（）在［a，b】上具有二阶连续导数，且产（x）＞O，试证：分析只证明右边不等式，把不等式中常数b变为参数X，作出辅助函数则显然F（a）一0。若能证明函数F（x）是单调增的（广义增即可），就可得要证明的不等式。证明作辅助函数F＜夸＜x，（因为a＜x＜b）；由题设产（x）＞0，所以广（x）非减，从而知产（x》O，因此F（b）＞F（a）一0，…     

圆锥曲线中直周角性质的研究

笔者对这一问题作了点深入研究 ,得出一些优美的性质 .1　问题的研究定理　椭圆 x2a2 y2b2 =1上有一定点P(x0 ,y0 )与异于点 P的两个动点 Q、R,若∠ QPR =90°,则动直线 QR恒经过定点 ,且该定点的坐标为(a2 - b2a2 b2 .x0 ,- a2 - b2a2 b2 .y0 ) .为了证明上述定理 ,先给出如下引理 :引理　若 x1 、x2 是方程 f(x) =0的两个实数根 ,其中 f(x) =ax2 bx c(a≠ 0 ) ,则　　 (x0 - x1 ) (x0 - x2 ) =f (x0 )a .引理证明略 ,下面证明原定理 .证明　设 Q(x1 ,y1 )、R(x2 ,y2 ) ,由PQ⊥ PR得　 (x0 - x1 ) (x0 - x2 ) (y0 - y1 )…     

三角函数的凸性及其应用

1凸函数和Jensen不等式 我们首先引入凸函数的概念. 设f(x)是定义在(a,b)内的函数,如果对(a,b)内的任意两点x1,x2,都有那么称f(x)在(a,b)内是凸函数(简称f(x)为凸的).如果当x1≠x2时,(1)中不等号都成立,那么称f(x)在(a,b)内是严格凸函数(简称f(x)为严格凸的).     

对一道习题的思考

从相关习题出发，借助夹逼定理可证明：lim n→∞（b1a^n1＋b2a^n2＋…＋bma6n m）1/n=max{a1,a2,…,am}；设函数φ（x）,f（x）在[a,b]上都是正连续函数，则有lim n→∞{∫^b aφ（x）[f（x）]^n dx}^1/n=max a≤x≤b{f（x）}     

一类绝对值问题的解题途径

本文例析含有式子|x+a|+|x+b|一类问题的解题途径. 途径一对|x+a|+|x+b|分类讨论,去绝对值可理解为分段函数. 途径二从几何意义来看|x+a|+|x+ b|可理解为数轴上动点P(x)到定点A(-a), B(-b)的距离之和.     

直线方程中一组有趣的最值问题

动直线l过定点P（a,b）（a,b〉0）,1分别交x轴正半轴、y轴正半轴于A、B两点,l的斜率为k．有下列性质成立：     

对一道数学题的分析与反思

题目已知二次函数f（x）对任意x∈R都有f（1-x）=f（1＋z）成立．设向量a=（sin x,2）,b=（2sinx,2^-1）,c=（cos2x,1）,d=（1,2）．当x∈[0,π]时,求不等式f（a·b）〉f（a·d）的解集．     

利用微积分学第一基本定理证明柯西─施瓦兹不等式

设f（x）连续则，这是一个十分重要的人式，今用它来证明柯西-施瓦兹不等式．设函数f（x）、g（x）都在[a，b]上连续，证明柯西一施瓦兹不等式证将b变为参数x，引进辅助函数显然F（a）=0，因此只要证明F（x）单调减少，从而只要证明F（X）≤0便可．这个证明，思路清晰颇富启发性，辅助函数的引进也十分自然，与此不等式的常见的其他证法比较，各有优点，故献给读者，以供参考．利用微积分学第一基本定理证明柯西─施瓦兹不等式@刘继合$淄博学院!山东淄博255013     

关于凸函数的Hadamard不等式

1893年 Hadamard证明了闭区间[a,b]上连续的凸函数f(x),成立着如下不等式 f((a+b)/2)≤1/(b-a)∫_a~b f(x)dx≤(f(a)+f(b)/2)。本文得到了两个定理,作为上述结果的推广。     

关于拉格朗日中值定理的几点注记

由拉格朗日中值定理很容易得到定理1定理1若函数f（x）在（a，b）内可徽，则对（a，b）内的任意两点x1〈x2，在（x1，x2）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使等式成立。那么，若函数x（x）在（a，b）内可微，对于区间（a，b）的内任一点ξ，可否从（a，b）内找到两点X1及x2，满足等式一般不可以。考察函数f（x）=X3，（－1＜X＜1）．对于ξ=0就找不到所需的x1、X2，使（1）成立。事实上，时，但是，当的条件加强时，有定理2定理2若函数f（x）在（a，的内二次可微且产（＄）一0，a＜誊＜b，则在区间内可找到两个值由、X。满足f（。）一人X；…     

对一道高考题的再思考

一．题目 （2007年高考数学全国卷Ⅱ压轴题）已知f（x）=x^3-x．（1）求曲线y=f（x）在点M（t,f（t））处的切线方程。（2）设a〉0,如果过（a,b）可作曲线y=f（x）的三条切线,证明：-a〈b〈f（a）。     

二次型约束下最值的求解策略

在数学中我们将形如∑1≤i,j≤naijxixj（其中aij∈R,1≤i,j≤n）的式子称为二次型,其中f（x1,x2）=a11x21＋2a12x1x2＋a22x22是最简单的.纵观近年来的数学竞赛,其中不乏有以二次型为约束条件的最值的试题.