一数学竞赛题变式推广的简证

命题 如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）,或x,y∈（-∞,m],且（x＋√x^2＋m^2）（y＋√y^2＋m^2）=m^2,那么x=y．     

一道赛题变式的简解

第31届西班牙数学奥林匹克第2题为：如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1，那么x＋y=0． 在《数学通讯》网站论坛上，一位网友提出了该题的如下变式，并发贴向各位求教：     

用三角代换简证一道西班牙竞赛题及其变式

例1（第31届西班牙数学奥林匹克试题）已知（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1,求证：x＋y=0。 笔者也曾关注过这道西班牙竞赛题，并查阅了关于此题的一些解法，最近又看到贵刊也谈及此题，更激起了笔者的兴趣，经过研究，笔者发现用三角代换可证明此竞赛题及其变式，现给出解法与大家一起探讨。     

一道西班牙竞赛题的奇异变式

在《数学通讯》网站论坛网友交流分坛上，网友searchbeyond发贴求教一个问题： 题1 已知（√x^2＋1＋y）（√y^2＋1-x）=1试判断x与y的大小关系．     

推广中的不足

设x,y是实数,且满足x^2＋xy＋y^2=3,则x^2-xy＋y^2=3的最大值和最小值分别为____． 这是2006年安徽省高中数学竞赛初赛的一道题目．文[1]中发现题中的x^2,xy,y^2可看作以y/x为公比的等比数列,从而得到上述竞赛山题的变式及推广．     

一道竞赛培训题的正解

第十九届“希望杯”高一培训题第29题为： 已知实数x，y适合：2x^2＋4xy＋2y^2＋3x^2y^2=9，又设z=√2（x＋y）＋3√3xy，则z的取值范围是（ ）     

对一道例题解法的商榷

笔者发现在文[1]中有这么一个例题： 题目：对于任意的实数x，y，不等式x^4＋2x^2y^2＋y^4＋2x^2＋3ay^2＋b〉0总成立，试确定a，b应满足的条件．     

深刻源于质朴

对如下一道2008年德国数学奥林匹克试题： 求最小的常数c，使得对所有的实数x，y，有1＋（x＋y）^2≤c（1＋x^2）（1＋y^2）． 高孝君同学在文[1]中谈及了下述两种解法．     

一道西班牙数学竞赛题的探究

<正>第31届西班牙数学奥林匹克第2题为命题1如果(x+（x²+1）^1/2)(y+（y²+1）^1/2) =1,那么x+y=0.文[1]、[2]给出了命题1的三种证法,文[2]还给出了命题1的类似命题2如果x,y∈[1,+∞),或x,y∈(—∞,—1],且(x+（x²—1）^1/2)(y+（y²—1）^1/2)=1,那么x=y.     

方程x0x＋y0y=r^2表示的轨迹

已知圆O：x^2＋y^2=r^2,点P（x0,y0）． 1．当点P在圆t时,我们知道x0x＋y0y=r^2。为过点P（x0,y0）的圆O的切线方程．     

一道最值题的四种新解

题目设x,y,z∈R^＋且√x^2＋y^2＋z=1,求xy＋2xz的最大值．     

相似椭圆的一组性质

文[1]，文[2]介绍和研究了相似曲线的概念和判定方法,由文[2]得椭圆x^2/α^2＋y^2/b^2=λ^2（0〈λ〈1）与椭圆x^2/α^2＋y^2/b^2=1相似（相似比为λ），本文将给出有关椭圆x^2/α^2＋y^2/b^2=λ^2（0〈λ〈1）与x^2/α^2＋y^2/b^2=1的一组性质。     

一道希望杯培训题的错因探究

题目呈现 已知实数x，y适合2x^2＋4xy＋2y^2＋3x^2y^2=9，又设z=√2（z＋y）＋3√3zy，则z的取值范围是（ ）     

凹面镜“圆”理

下面是老师在课堂上让我们讨论的一道题目： 已知 O：x^2＋y^2=r^2,P（x0,y0）,判断直线l：x0x＋y0y=r^2与圆 O：x^2＋y^1=r^2,的位置关系．     

2008年上海市高考数学（理）第11题赏析

上海市2008年高考数学（理）第11题为：题目方程x^2＋√2x-1=0的解可视为函数y=x＋√2的图像与函数y=1/x的图像交点的横坐标，若方程x^4＋ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk（k≤4）所对应的点（xi,4/xi）（i=1,2,…,k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是______.     

一个性质的另证与补充

文[1]研究并得出了椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）与圆x^2＋y^2=a^2的一个相关性质,并通过类比引申,得出了双曲线x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）与圆x^2＋y^2=a^2的一个相关性质．     

巧构函数简证一道女子奥赛题

题目设实数x,Y,z大于或等于1,求证：（x^2～2x＋2）（y^2-2y＋2）（z^2-2z＋2）≤（xyz）^2-2xyz＋2． 这是2009年在厦门举行的中国女子数学奥林匹克竞赛的第五题．文[1]作者丁兴春老师用以退求进的思想方法对此题作了精彩证明,笔者读后受益匪浅．     

一类平面方程的几何意义

根据点P（x0,y0,z0）与椭球面x^2/a^2＋y^2/b^2＋z^2/c^2=1的三种位置关系,给出平面方程x0x/a^2＋y0y/b^2＋y0y/b^2＋z0z/c^2=1的三种几何意义．     

三视角求解一道参数取值范围高考题

2010年高考湖北卷理科第（9）题为：若直线y=x＋b与曲线y=3-√4x-x^2有公共点,则实数b的取值范围是 （ ） （A）[-1,1＋2√2]． （B）[-1-2√2,1＋2√2]． （C）[1-2√2,3]． （D）[1-√2,3]．     

三类最小值问题的又一种统一解法

文[1]给出了三类函数最小值的统一解法及一般结果，所给一般结果整齐统一，三类函数分别为y=x＋p/x；y=x^2＋p/x；y=x＋p/x^2（x＞0，P＞0）文[1]所给统一解法均为四个步骤：①先拆项并人工配凑一个待定系数；②由二元或三元均值不等式缩小一次函数式；