一道课本例题的妙用

人教版《全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（下）》P109例5为：如图1,→OA、→OB不共线,→AP=t→AB（t∈R）,用→OA、→OB表示→OP。     

多线性分数次积分算子一般框架下的交换子的有界性——献给陆善镇教授75华诞

对任意给定的正整数m,Z^＋×{1,...,m}的任意一个有限子集S,定义一般化的多线性分数次积分算子的交换子Iα,→b,S（f）（x）=∫（Rn）^m ∏（i,j）∈S（bi（x）-bi（yj））/（｜x-y1｜＋…＋｜x-ym｜）^mn-α∏（j=1→m）fj（yj）d→y,其中d→y=dy1…dym.此框架下的交换子包含了以往研究的各类分数次积分算子的交换子,并蕴含了多线性背景下新的交换子形式.在上述非常一般框架下,本文给出带多重A→p,q权的多线性分数次积分算子的交换子Iα,→b,S（→f）的加权强型（L^p1（ω1）×···×L^pm（ωm）,L^q（ν→ωq））估计和加权弱型端点估计.本文还得到更一般核条件下的上述结果.     

活用三角形外心向量性质解向量问题

对于三角形的外心,有如下优美的向量性质：性质如图1,O为△ABC的外接圆的圆心,则→AO·→AC,1/2→AC,→CO·→CB=1/2→CB2,→BO·→BA→=1/2→BA2证明过点O作OD⊥AC于点D,则D为线段AC的中点.于是→AO·→AC =｜→AO｜·｜→AC｜cos∠OAC= （｜→AO｜·cos∠OAC）·｜→AC｜     

公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释

在直角坐标系内单位圆上设A (cosα ,sinα) ,B (cosβ ,sinβ)(其中α ,β∈R) ,则OA———→ =(cosα ,sinα) ,OB———→ =(cosβ ,sinβ) .又　 |OA———→| =|OB———→| =1,OA———→·OB———→ =cosαcosβ +sinαsinβ ,cos(α -β) =cos∠BOA =cos〈OA———→ ,OB———→〉 .而OA———→·OB———→ =|OA———→|·|OB———→|cos〈OA———→ ,OB———→〉=cos〈OA———→,OB———→〉=cos(α-β) ,∴　cos(α -β) =cosαcosβ +sinαsinβ .公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释$山…     

解决平面向量问题的两种基本策略——对2014年高考江苏卷第12题的思考

平面向量是高中数学的必修内容，也是江苏省高考考纲中规定的八个C级要求的考点之一，所以，让学生熟练掌握平面向量的知识和解题技能的必要性是不言而喻的．例1（2014年高考江苏卷12题）如图1，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3市，→PD,→AP,→BP=2,则AB，AD的值是____。     

对教材中一道例题的变式推广

新课标教材高中数学B版·数学4第103页有一道例2:已知A、B是直线l上任意两点,O是l外一点,求证:对直线l上任一点P,存在实数t,使→OP关于基底{→OA,→OB}的分解式为→OP=(1-t)→OA+t→OB(*),并且满足(*)的点一定在l上.……     

一道椭圆与直线高考压轴老题新探

题目:已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,→OA+→OB与a=(3,-1)共线.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点,且→OM=λ→OA+μ→OB(λμ∈R),证明λ2+μ2为定值.(2005年高考数学试题全国卷文科第22题,理科第21题)笔者最近将该老题的第二问新做,产生了一些新的思路,供读者品鉴.     

两个三角形重心相同的充要条件

定理:在△ABC中,A1、B1、C1分别是直线BC、CQ、AB上的点,且有→AC1=→λC1B,→BA1=μ→A2C,→CB1=t→B1A,则△A1 B1 C1与△ABC有相同重心的充要条件是λ=μ=t,其中λ、μ、t均是不为-1的实数.……     

一道经典向量问题的探究与推广

问题 已知G是正△ABC的重心,过G的直线分别与边AB、AC交于E、F,记→AB=a,→AC=b,并令→AE=λa,→AF=μb(如图1),求证:1/λ+1/μ为定值.     

多角度深层次挖掘已知条件

笔者在某高三一轮复习参考书上看到这样一道习题： 题目 如图1所示,P为△AOB所在平面上一点,向量^→OA=^→a,^→OB=^→b,且P在线段AB的垂直平分线上,向量^→OP=→c.若｜^→a｜=3,｜^→b｜=2,则^→c·（^→a-^→b）的值为（ ）.     

二倍角正弦、宗弦、正切公式的几何解释

注：①由计算△MCB面积得：1/2×1×1×sin（π-2α）=1/2×（cosα＋cosα）×sinα→sin2α=2sinα·cosα．     

三角形重心的向量形式及应用

定理 1　点O是三角形ABC的重心的充要条件是OA→ +OB→ +OC→ =0 .证　必要性 :若O是三角形ABC的重心 ,则OA→ =23(12 CB→ +BA→ ) =13 CB→ +23 BA→ ,OB→ =23(12 AC→ +CB→) =13 AC→ +23 CB→ ,OC→ =23(12 BA→ +AC→ ) =13 BA→ +23 AC→ ,故OA→ +OB→ +OC→ =CB→ +BA→ +AC→ =0充分性 :若OA→ +OB→ +OC→ =0 ,由向量加法原理 ,知过O且与OA→ +OB→ 平行的直线必平分线段AB ,而OA→ +OB→ 与OC→ 是共线的 ,故直线OC平分线段AB .同理 ,可以证明直线OA ,OB分别平分BC ,AC .从而知点O是三角…     

两角和与差的三角函数

问题91 对空间任一点O和不共线的三点A、B、C、^→OP=x^→OA y^→OB x^→OC（x y z）=1是四点P，A，B，C共面的什么条件？     

双曲线与椭圆类比致错一例及修改

文献[1]将2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛的一道解析几何试题推广为如下结论：命题1直角坐标系xOy中,设A,B,M是椭圆C：x2/a2＋y2/b2=1上的三点.若→OM=α→OA＋β→OB且α2＋β2=1,则线段AB的中点在椭圆C′：2x2/a2＋2y2/b2=1上.紧接着,文献[1]又将关于椭圆的如上结论类比到双曲线中,得到如下命题及证明：命题2直角坐标系xOy中,     

多线性分数次积分算子一般框架下的交换子的有界性

对任意给定的正整数m,Z+×{1,...,m}的任意一个有限子集S,定义一般化的多线性分数次积分算子的交换子Iα,→b,S(f)(x)=integral from n=(Rn)m to ∞[∏(i,j)∈S(bi(x)-bi(yj)(|x-y1|+···+|x-ym|)mn-α]multiply from j=1 to m[fj(yj)d→y ],其中d→y=dy1···dym.此框架下的交换子包含了以往研究的各类分数次积分算子的交换子,并蕴含了多线性背景下新的交换子形式.在上述非常一般框架下,本文给出带多重A→p,q权的多线性分数次积分算子的交换子Iα,→b,S(→f)的加权强型(Lp1(ω1)×···×Lpm(ωm),Lq(ν→ωq))估计和加权弱型端点估计.本文还得到更一般核条件下的上述结果.     

一道高考试题的证明

2005年全国卷Ⅰ理(15)题:△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,→OH=m(→OA+→OB+→OC),则实数m=＿.……     

Boundedness of Marcinkiewicz integral related to multilinear commutators with variable kernels on Hardy spaces

Let→b=(b1,b2,…,bm),bi∈∧βi(Rn),1≤I≤m,βi＞0,m∑I=1βi=β,0＜β＜1,μΩ→b(f)(x)=(∫∞0|F→b,t(f)(x)|2dt/t3)1/2,F→b,t(f)(x)=∫|x-y|≤t Ω(x,x-y)/|x-y|n-1 mΠi=1[bi(x)-bi(y)dy.We consider the boundedness of μΩ,→b on Hardy type space Hp→b(Rn).     

一个三角形重心向量性质的空间拓广

利用平面向量的知识,三角形有以下性质: 命题1如图1,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且→AM=x→AB,→AN=y→AC,则1/x+1/y=3.     

三角形“内心”的向量表示

文 [1 ]、[2 ]给出的三角形内心的向量表示可进一步改进为更简洁的形式 :设O为△ABC所在平面上一点 ,角A ,B ,C所对的边长分别为a ,b ,c ,则O为△ABC内心的充要条件是aOA→ +bOB→ +cOC→ =0 .证　充分性若aOA→ +bOB→ +cOC→ =0 .∵OB→ =OA→ +AB→ ,OC→ =OA→ +AC→ ,∴ (a +b +c)OA→ +bAB→ +cAC→ =0 ,∴AO→ =1a +b +c(bAB→ +cAC→)=bca +b +c( AB→|AB→|+ AC→|AC→ |) .∵ AB→|AB→ |与 AC→|AC→|分别为AB→ 和AC→ 方向上的单位向量 ,设AP→ =AB→|AB→ |+ AC→|AC→|,则AP→ 平分∠BAC .…     

一道高考试题的证明

2005年全国卷Ⅰ理(15)题:△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,→OH=m(→OA+→OB+→OC),则实数m=＿.……