巧用圆的方程 妙解椭圆问题

在处理一类椭圆C：x^2＋y^2/a^2＋b^2=1（a〉0,b〉0,a≠b）与直线l：y=kx＋h的有关问题时,若能根据题意令x/a=x′,y/b=y′,即可把椭圆C、直线l分别变成圆C′：x′^2＋y′^2=1、直线l′：by′=kax′＋h,从而把椭圆与直线的位置关系问题转化为圆与直线的位置关系问题．如果需要还可以利用公式x/a=x′、y/b=y′将所得结果再转化回来．此法新颖、别致、简捷、实用,下面举例说明．     

巧用圆的性质解题

圆具有很多优美的性质,在许多题目中都能看到它的影子．在解题时,如果能够根据题目条件,灵活运用圆的性质,往往可以找到比较简洁的解法．     

巧用三角换元法妙解无理不等式

众所周知 ,解无理不等式的常规方法是通过平方 ,把无理不等式转化为有理不等式求解 .笔者发现 ,许多无理不等式 ,若能根据题设条件巧妙地采取三角换元 ,也能实现化无理为有理、化难为易、化繁为简的目的 .下面以几道名题为例予以说明 .例 1　 (第四届ＩＭＯ试题 )解不等式3 -ｘ -ｘ 1>12 .解　∵ ( 3 -ｘ) 2 (ｘ 1) 2 =4,∴可令 3 -ｘ =4ｓｉｎ2 θ ,ｘ 1=4ｃｏｓ2 θ ,θ∈[0 ,π2 ] .则原不等式化为2ｓｉｎθ -2ｃｏｓθ >12 ,即2ｓｉｎθ >2ｃｏｓθ 12 .由θ∈ [0 ,π2 ]可知 ,2ｃｏｓθ 12 >0 ,两边平方并整理 ,得3 2ｃｏｓ2 θ …     

巧用三角换元解题

在高中的数学问题当中,有一类数学问题如果用常规法解将会很繁琐,并且也很容易出现错误.如果采用三角函数角度考虑问题,解题过程明显清晰,结果事半功倍.     

巧用向量的数量积解三角问题

向量的数量积是向量的一个重要知识点.有些数学问题似乎与向量的数量积毫无瓜葛,但如能根据题设的结构特征构造出对应的向量,巧妙地利用向量的数量积求解,则方法新颖别致,过程简捷、明了.本文结合实例介绍向量的数量积在三角问题中的应用,供同学们参考.     

巧用向量的数量积解三角问题

向量的数量积是向量的一个重要知识点.有些数学问题似乎与向量的数量积毫无瓜葛,但如能根据题设的结构特征构造出对应的向量,巧妙地利用向量的数量积求解,则方法新颖别致,过程简捷、明了.本文结合实例介绍向量的数量积在三角问题中的应用,供同学们学习参考.     

巧用三角形内心的一个性质解题

我们把三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心,容易证明,三角形的内心与顶点的连线平分三角形的内角,巧用这个性质能妙解许多问题.下面举例说明:     

巧用数形思想 妙解数学问题

数学思想方法是数学的精髓,是学生解决数学问题的手段,对它的掌握情况也体现了学生数学能力优劣,从而反映学生学习数学的能力.为此,我们教师平时要引导学生梳理、总结数学思想方法,特别是对数形结合思想的掌握尤为重要,要让学生充分认识其本质特征,善于灵活运用数形结合思想,巧妙地解决问题.下面,笔者结合多年解题教学经验,谈几点巧用数形思想、妙解数学问题的一些认识,以供读者参考.     

巧用构造法解三角问题

解某些三角问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考．但有些问题按照这样的思维方式来寻求解题的途径比较困难，甚至无从下手．在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度思考，以找到一条绕过障碍的新的途径．     

巧用向量解解析几何问题

平面向量融数形于一体,具有代数、几何的双重身份,既是中学数学知识的一个交汇点,又是联系多种知识的媒介．巧用平面向量,能妙解许多看似与平面向量无关的解析几何问题,下面举例说明．     

构造对偶式妙解数学题

在解某些数学问题时,若能根据题意构造合理恰当的对偶式,则可化繁为简、化难为易,简捷明快地将题目解出,下面举例说明．     

整体法在解三角问题中的应用

对某些三角题,若能结合题意,采用“整体思维”的方法进行求解,往往能起到出奇制胜的效果．本文通过实例,介绍几种用整体思想在解三角题中的应用,供大家参考．     

运用图像性质妙解数列问题

数列是一种特殊的函数,借助函数的图像解决数列问题,可使问题变得形象、直观,易于求解．现举例说明如下：     

巧用相似证明双曲线性质

数学问题的解决方法非常多,数形结合往往会得到意想不到的结果．文[1]中作者提出了关于双曲线的一条有趣的性质,并用代数的方法证明,稍显繁琐．现将定理摘录如下：     

巧用单调性妙解竞赛题

函数的单调性是函数的重要性质,掌握了一个函数的单调性就意味着我们从总体上把握了函数的变化趋势,函数的单调性是画函数图象求函数极值、最值的重要依据．有些数学问题特别是数学竞赛题,若能自觉运用函数思想构造函数,     

巧用抛物线的一个性质解决一类高考题

定理 从抛物线外一点P引抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若F是抛物线的焦点，则有∠PFA-∠PFB．     

巧用互为反函数的内在联系妙解二则

一、妙求反函数的解析式 题目已知函数f（x）=logb（x＋√s^2-4）的反函数为f^1（x）,（其中b〉0,b≠1）,试求函数f^-1（x）？并指出它的定义域．     

多变三角

庄库巧妙利用图形性质，打破习惯思维，解决了羊圈问题。这次，我们也来试试身手。来解决一些三角图形问题。     

巧用转化思想 妙解数学问题

数学思想是数学知识的升华,是解决数学问题的灵魂,它渗透于整个数学的学习过程.数学思想方法理解掌握的好,对于提高我们的教学效果,促进学生解题能力的提升都有着不可小觑的作用.转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想,在研究问题时,我们通常是将未知问题转化为已知问题,将复杂的问题转化为简单问题,将抽象的问题转化为具体问题,将实际问题转化为数学问题.下面就转化思想在教学中的应用作具体阐述.     

巧用平移法妙解二次函数问题

平移是图形变换的重要内容之一,图形的平移有一个重要的性质:平移不改变图形的形状与大小,只改变图形的位置.利用平移的这一性质解决有关二次函数问题时,可以另辟蹊径,使问题简洁获解.以下介绍如何利用平移的性质解决相关的二次函数问题.