例析设而不求思想在函数求值中的应用

我们知道,对于可导函数求极值问题。首先求导,让导数为0,求出可疑极值点．但有些函数的导函数为超越函数,其零点（可疑极值点）很难求出,     

极值点与拐点关系的研究

本文主要研究极值点与拐点的关系．对于可导函数,极值点ｘ_０与拐点（ｘ_０,ｆ（ｘ_０））不能并存。     

如何处理f′（x）=0不可解的问题

利用导数求解函数的极值、最值是导数的一种重要应用.一般地,若x0满足f′（x0）=0且在x0的两侧f（x）的导数异号,则x0是f（x的极值点,f（x0）是极值,并且如果f′（x）在x0两侧满足＂左正右负＂,     

非可微参数规划极值函数方向导数的表示

参数规划的极值函数一般是非可微的且没有显示表示。为了讨论极值函数的变化性质，研究其方向导数有重要作用。本文对两类非可微函数（凸函数和拟可微函数）构成的参数规划问题的极值函数，给出了其普通方向导数的等式表示。     

设而不求极值点的作用

<正>一般情况下极值点是使导函数等于零的数,是单调区间的分界点.当导函数为单调函数或者导数变为若干因式乘除后,不确定符号的因式为单调函数时,极值点设而不求会发挥其强大作用.本文意在通过三道导数题说明极值点设而不求的三种作用.作用一求出极值点的近似值,整合极值点满足的等式,简化最值的形式,得到最值的     

高等数学中几个概念之间的关系

对高等数学中导数的单侧极限与单侧导数、可导与连续、函数单调性与函数极值之间的关系进行探讨,对相关命题的正误进行辨析,以利于学生对概念的理解和相关知识的掌握.     

例析设而不求解答奇数问题

<正>我们知道,超越方程中学阶段学生难以求出具体的实根,但在导数问题中,经常会遇到两类问题.第一类,解题过程中需用到函数的零点,当我们把函数的零点转化为方程的根的时候,面对超越方程,难以求出其实根.第二类,在可导函数极值问题中,首先求导,令导数为零,求出可疑极值点.但有些函数的导函数为超越函数,其零点(可疑极值点)难以求出.     

费玛引理的一种推广

如所周知，微积分中有一条经典的费玛引理：可微函数在极值点的导数为零．这是可微函数取得极值的必要条件．下面命题可以看作费玛引理的一种推广．命题是定义在R上的可微且有下界的实值函数，则对任意，存在X使证今因为f（x）有下界，故有，于是对任一取定的函数值，存在X＞使当时，又因在闭区间上连续，故在，上取得最小值．而因此有从而可知x是在R上的最小值点，即有由三角不等式得上述命题表明，即使f（X）在R上的下界未必达到，但有推论在上述命题的条件下，存在数列（Xn）使证只需在命题中取可．对多元函数，也有相应的结论成立．…     

含边界在内的一般极值的必要条件与拉格朗日乘数法

讨论包括定义域边界点在内的极值,称为一般极值.对可导的一元和多元函数给出了一般极值点的必要条件,这些必要条件与经典极值的必要条件是相容的.还利用一般极值的必要条件导出了条件极值的拉格朗日乘数法.     

多元函数极值充分条件证明的一元方法

从多元函数极值的定义出发,用一元函数的方法给出了二元和三元函数极值判定的充分条件的证明,其中只涉及了偏导数的求法.相对于多元函数极值充分条件证明的多元泰勒公式方法,本文所用的方法更为直接而且简明.     

利用导数探究超越方程根的个数问题

利用导数可判断函数的单调性、求可导函数的最值与极值、还可判断函数的图像交点及超越方程的根的个数问题等.下面就如何利用导数探究超越方程的根的个数问题举例说明:例题已知:函数f(x)=-x2+8x与g(x)=6lnx+m,问:是否存在实数m,使得方程     

求参数方程所确定函数的极值点、拐点应注意的问题

给出三个例题说明求参数方程所确定函数的导数、极值点、拐点时应注意的几个问题     

关于分段函数及含绝对值函数的求导问题

本文讨论分段函数的求导问题，建立了求导时方法选取的一般程式。对于含绝对值的函数，给出了一个求导定理。一、分段函数的导数分段函数的求导，关键在于求分段点处的导数，常用方法有：①不连续则不可导；②导数或左右导数的定义；③导数单侧极限定理*：设f（x）在（a，b）内连续，x0∈（a，b），在（a，x0）及（x0，b）内可导且limf（x）、limf（x）都存在，则导数单侧极限定理用左右导数定义及微分中值定理可证，此处从略。下面仅作几点说明：1“定理中若厂十（X。）一片一（X。），则几X）在X。处可导，若不相等，则人X）在X。处不…     

关于如何使用好复合函数求导公式的探讨

复合函数的求导问题,历来是函数求导数中的一个难点.关于复合函数的求导法则,国内、国外的数学分析教材和高等数学版本都是这样叙述的:设y=f[（?）(x)]是由函数y=f(u)及u=（?）(x)复合而成的函数,若函数u=（?）(x)在点x处是可导的,y=f(u)在对应点y=（?）(x)处也可导,则复合函数y=f[（?）(x)]在点x处可导,且其导数为     

多元函数取局部极值的一个充分条件及其几何意义

在现有的高等数学教材中 ,如文献 [1 ],多元函数取局部极值这一部分仅介绍二元函数在驻点处的情况 ,而有的驻点也无法判断是否为极值点。文献 [2 ]给出了多元函数取局部极值的一个充分条件 ,但也仅考虑驻点的情况 ,有的驻点也无法判断是否为极值点。本文提出的方法 ,对驻点和偏导数不存在的点均能判断是否为极值点 ,且对多元函数本身要求不高。对于二元函数 ,此方法有其明显的几何意义。定理　设 f( x1,x2 ,… ,xn)在 P0 ( x01,x02 ,… ,x0n)的邻域 U( P0 ,δ)内连续 ,且在去心邻域 U( P0 ,δ)内有一阶连续的偏导数。若在 P0 ( x01,x02…     

关于函数分段点处导数的一点注记

函数在分段点的导数是微积分教学中的一个难点.剖析了学生在解涉及分段点的导数这类题目时常常会犯的一个错误,给出了函数在分段点处可导的一个充分条件,利用这一条件判断函数在分段点处的可导性比用定义判断要方便得多.     

利用导数探究函数图象的交点问题

利用导数可判断函数的单调性、求可导函数的最值与极值、还可判断函数的图象交点及超越方程的根的个数问题等．下面就如何利用导数探究函数图象的交点问题举例说明．     

导数的极限与单侧导数

求函数在某些特殊点，比如分段函数的分界点、区间端点处的导数，通常应按导数的定义求出函数在这些点处的单侧导数。但也有人取函数的导数在这些点处的单侧极限作为单侧导数，这样做常常出错。例如：在x＜0时，但f（x）在x=0处的左导数不存在，因为f（x）在x=0处左间断。在x＞0时，不存在，但按导教的定义可求得f（x）在x=0处的右导数有时这种方法也能凑效，关键是函数必须满足一些条件。我们有下面的求单侧导数的所谓“导数极限法”。导技极限法设函数人X）在X。处连续，在X。的左（右）邻域（X。一点八）［或（X。，X。十的」内可导，…     

函数y=f（x）在点X=X0处可导的一个充分条件

文章分析了分段函数在分段点处导数值的常见计算错误，给出了函数y=f（x）在点x=x0处可导的一个充分条件，使得计算分段函数的导数值变得准确，简便．     

容易出错的导数问题

<正>利用求导数的方法研究与函数的极值有关的问题,我们都清楚的一个事实是:使导函数的函数值等于零的自变量x的值未必是极值点的横坐标,前者是后者的必要不充分条件.但是具体到解题过程中,往往因为忽略这个事实而导致问题的求解出现错误.由于错误的隐蔽性较强、不易发现,所以解题时要有一