赏析三道2013年全国卷三角试题

纵观2013年高考试题,三角部分的考查保持了内容稳定、难度稳定、题量稳定、题型稳定的特点,考查的重点仍然是解三角形、三角函数的图象与性质、三角函数的求值以及三角恒等变换．     

构造方程求解一类三角问题

有些三角问题，根据题设条件，利用三角公式挖掘数量关系，构造代数方程来处理，使问题获解．往往是解决这类问题的一个有效方法． 例1 求函数y=sinxcosx＋sins＋cosx的最大值．     

谈三角问题中隐含条件的挖掘

隐含条件是指题目中隐而不显、含而未露的固有条件，它通常巧妙地隐藏在题设的背后．常因未能挖掘题设中的隐含条件，使求解陷入困境，或是得出错误的结论．解题时需能揭开其表层面纱，深入挖掘所隐含的信息。并予以充分利用，方可得出正确结果．下面结合实例谈谈三角问题中的隐含条件的挖掘．     

一道三角问题的四种解法

近日,笔者在课外练习时发现一道三角问题,该题题设简单,构思巧妙,思路开阔,引起了笔者极大的兴趣．现给出四种解法。供同学们参考．     

解三角题的突破口

三角是高中数学的重点内容，也是高考的必考内容，而解三角题的公式、方法与技巧很多．但对具体的问题，不少同学就不知所措，不知从何处人手，为此本文介绍如何寻找切人点，而快速解题．     

复数三角形式的“五官”

复数的表示形式主要有三种：代数形式、三角形式、几何形式,而在解复数问题时三角形式是最常用的一种．初学复数三角形式的同学往往顾此失彼,不能整体把握．为此下面将介绍一种简捷判断方法．一个复数的表示形式是否是三角形式,就看其“五官”是否端正,即在z=r(cosθ isinθ)中要求：“模非负、余正弦、 相连、角统一、i跟sin”,具体地说.     

巧拆角 妙求值

解三角题时，通过分析解之间的关系，并适当地把某个解拆开，即用其它角的和或差表示这人角，常常是突破解题瓶颈的重要手段。下面举例说明．     

两个三角恒等式及其应用

笔者在查阅2010年安徽理科试卷16题时发现了一个简洁的三角恒等式,并追踪发现历年考题中都有它的身影．本文就证明它并指出它在高考题中的应用．     

一道三角求值题的巧解及变式

给出一道三角求值题的两个简解以及三个变式.     

巧用变量代换求解不等式竞赛题

变量代换是一种重要的解题方法,在不等式的证明与求函数最值的竞赛题中,通过分母代换、整体代换、倒数代换、三角代换、增量代换等,可使复杂问题简单化、隐晦特征明朗化,从而找到解题的突破口,下举数例．     

对偶定理在三角教与学中的应用

数理逻辑中的对偶定理在计算中已经有广泛的应用，笔用对偶定理作为指导思想在三角证明题的构造，在条件等式的证明和三角化简求值中都有广泛的应用。可见对定理可以开拓研究领域，还可以使研究的三角题扩大一倍，更可以创造更多的三角题。     

n级三角矩阵环上的模范畴和同调特征

本文给出了n级三角矩阵环Гn的定义．证明了n级三角矩阵代数Гn上的有限生成模范畴mod Гn与范畴Гn(?)等价,得到了诸如Гn的Jacobson根,Гn(?)的不可分解投射对象的形式及Гn的整体维数等性质．     

非均匀的二次三角双曲加权样条曲线

提出一种基于三角和双曲多项式加权的二次混合样条曲线,这种曲线具有二次非均匀B样条曲线相似性质.这里的权系数也是形状参数,称之为权参数,取值范围从区间[0,1]扩大到区间[-2.6482,3.9412].权参数的不同取值可以整体或局部地调整曲线的形状,并且权参数能像开关那样,使得曲线的各段能非常方便地在三角样条、双曲样条之间自由转换.不需要用重节点方法或解方程组,而只要令某个或某些权参数取-2.6482,曲线就能接插值于控制点或控制边.此外,还能精确表示椭圆(圆)和双曲线.     

条件角与结论角的相互转换

利用两角和（差）的三角公式化简（求值、证明）时，应认真观察，分析已知条件中的角与所化简（求值、证明）结论中的角之间的关系，再决定如何通过拆、配等方法用条件角表示结论角或用结论角表示条件角，避免盲目处理相关角的三角函数式，以免造成不必要的麻烦，要整体把握认真考虑角的整体运用、灵活运用．条件角与结论角的相互转换是数学中整体思想方法的应用之一．     

由三个填空题嗅到的“三角”味道

苏轼的“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”早已贯穿在数学的一题多解中，以不同的视角审视，会有不同的解法，有时看似与某知识无关的题目在有心人的洞察下却可发生巧妙的“化学”反应．三角作为一种工具，就能在其中发挥某种解决问题的催化剂作用．     

用“1”的代换解三角题

在解某些三角问题时,若能根据题目的结构特征,灵活巧妙地利用“1”的代换,将问题进行转化,常可使问题得到简解,甚至是优解．本文拟例说明,以供参考。     

发挥三角代换法在解题中的“桥梁”作用

“解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒”（美国数学家G·波利亚）．解题过程就是不断地将未知转化为已知的过程．而“三角代换法”则是实现这种转化的重要手段之一．它的策略思想是：根据题目的结构特征,引进三角代换,利用三角知识解题的一种方法．用这种方法解某些数学题,往往能化繁为简,变难为易,得到简捷合理的解题途径．下面举例说明,供读者参考．     

探究一道“北约”自主招生试题

每年自主招生考试中都会出现新颖别致、源于教材又高于教材的试题．2011年“北约”自主招生第4题是一道精彩的三角问题,给我们留下深刻的印象,笔者对此进行探究发散,在这里和大家一起来分享．     

也谈方阵的平方根

文[1]讨论了二阶方阵的平方根和三角方阵的三角平方根问题,但其结论有误．这里指出其错误并给出正确的定理．定义1设A是一个n阶方阵,若存在n阶方阵B,使B2=A,则称方阵B为方阵A的平方根．若有Bm=A,则称B为A的m次方根．文[1]给出如下定理：上（下）三角方阵存在上（下）三角方阵的平方根．对上述定理,文[1]没有给出一般证明,仅以三阶上三角方阵为例来证．但可惜的是,即使这样一个特殊情况的证明仍有漏洞,结论并不成立．例如不存在上三角方阵的平方根．事实上,对任意上三角方阵可以验证,均不存在上三角平方根．我们有如下定理：…     

三角不等式

用不等号连接的古有三角函数的式子简称为兰角不等式．在我国高中数学竞赛中．关于兰角不等式的问题有三类，一是三角不等式的证明．二是解三角不等式．兰是应用三角三不等式求最值．处理这三类问题，既要用到不等式的有关性质，又耍熟练运用三角公式进行恒等变形，有时还要利用三角函数的图象和性质．