一道赛题 我的认知

2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛第17题（以下称赛题）：已知x〉0,y〉0,z〉0,且xyz=1,求证： 1〈1/1＋x＋1/1＋y＋1/1＋z〈2（1） 文[1]提供了一个利用真分数的分子、分母各加上同一个正数,则分数的值增大来证明了①式的右边;文[2]以为此法技巧性太强,转而用消元思想、目标意识,通过比较法提供了两个通俗的证法．解读二文,各有千秋．同时以为证明不等式没有定式,能用通俗的方法来证自然最好,但不论是高考还是竞赛能用这样的方法证明的试题毕竟是微乎其微．     

一道赛题的另一种证明

2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛第17题： 若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz=1,求证： 1〈1/（1＋x）＋1/（1＋y）＋1/（1＋z）〈2. 原证 （命题组给出的证明）任取a〉0.令b=ax,c=by,由xyz=1,得x=b/a,y=c/b,z=a/c,     

赛题的简证、巧证及推广

（2008年全国高中联赛山东赛区预赛第17题）若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz＝1,求证：1〈1/1＋x ＋ 1/1＋y ＋ 1/1＋z〈2     

一道赛题的又一简证

2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛第（17）． 题目若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz=1,求证．1〈1/1＋x ＋ 1/1＋y ＋ 1/1＋z 〈2．     

某些循环不等式的直接证法

合肥工业大学苏化明先生在文[1]中应用一类三角形不等式来证明某些循环不等式，其实这些循环不等式就是由三角形不等式生成的（参考文献[2]）．本文意在借助均值不等式给出这些循环不等式的直接证法．例1设x、y、z＞0，求证：9（X y）（y＋z）（z＋x）≥8（x＋y＋z）（xy十yz＋zx）①证明左=18xyz十9x2y干9xy2＋9y2z 9yxz2十9x2x＋9xx2，右=8x2y 8x2z 8xyz 8xy2 8y2z 8xyz＋8yz2＋8xz2 8xyz，原不等式等价于x’y＋xv‘＋y’z十批十z‘x－zx’＞6ng．这用六元均值不等式易证．故原不等式成立．例2设Z、＊、Z＞0，求证：则原不等式等价于（…     

“顺便”出了个错儿

问题若x〉0,y〉0,z〉0,xyz=1,记A=1/1＋x＋1/1＋y＋1/1＋z,求证：1〈A〈2．     

一个数学问题的源与流

文[1]提出并解答了问题： 设0〈x,y,z〈π/4,且sin^2x＋sin^2y＋sin^2z＋2sin.xsin.ysinz=1，求证：x＋y＋z=π/2. 经探索，我们发现：该问题的一个内在根源为如下应用广泛的恒等式：     

巧构函数简证一道女子奥赛题

题目设实数x,Y,z大于或等于1,求证：（x^2～2x＋2）（y^2-2y＋2）（z^2-2z＋2）≤（xyz）^2-2xyz＋2． 这是2009年在厦门举行的中国女子数学奥林匹克竞赛的第五题．文[1]作者丁兴春老师用以退求进的思想方法对此题作了精彩证明,笔者读后受益匪浅．     

西班牙数学竞赛一题推广的另证

第31届西班牙数学奥林匹克第2题为 命题1如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1,则x＋y=0．文[1]给出下面推广： 命题2如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）或x,y∈（-∞,＋m]且（x＋√x^2-m^2）（y＋√y^2-m^2）=m^2,那么x=Y． 文[1]采用换元法证明了命题2,仔细研读后笔者给出命题2的另一种简洁证法。     

一个不等式的简单初等证明

文[1]给出了如下不等式：已知x,y,z∈R^＋,且z＋y＋z=1,则（1/x-x）（1/y-y）（1/z-z）≥（8/3）^3 ① 原文用高等方法证明了不等式①,但过程较为复杂,下面笔者给出该不等式的一个简单的初等证明．     

粗看证法简单 实则过程有误

文[1]给出了一道变式题的另证，笔者认为：这一证法看似简单，实则过程有误．文中自加了一个条件（文[1]的（2）式），这个式子是以“-x代x，-y代y”代入（1）式中而得，那么得到的方程表示的曲线是已知方程的曲线关于原点对称的曲线．文[1]中联立（1）、（2）两式求得的x=y，实际上是以上两个关于原点对称的曲线的交线，那为什么恰好证得x=y呢？这是因为题目的答案本来就是x=y，相当于已知曲线x=y，它关于原点对称的曲线还是x=y，     

不等式的证明与推广

上竞赛课时,老师出了这样一道题:设x、y、z∈R~ ,且x y z=1,求证:(x 1/x)(y 1/y)(z 1/z)≥(1000)/(27).我想到这样的一种证法:     

一个不等式的几何证法及推广引申

已知a〉1/3，b〉1/3，ab=2/9，求证a＋b〈1，文[1]、[2]、[3]分别用不同的方法证明此不等式，文[3]对它进行了推广，文[4]对文[3]的推广进行了改进并提出了一个“孪生”不等式．本文首先给出此不等式的一个几何证法，然后利用这一证法对此不等式进行推广引申．     

对一道例题解法的商榷

笔者发现在文[1]中有这么一个例题： 题目：对于任意的实数x，y，不等式x^4＋2x^2y^2＋y^4＋2x^2＋3ay^2＋b〉0总成立，试确定a，b应满足的条件．     

一道经典老题的另一图解法

题目设x，Y，z∈（0，1），求证：z（1-y）＋y（1-z）＋z（1-z）〈1． 此题是第十五届全俄数学竞赛题，很多资料中都介绍了此题的一种构图解法（即构造边长为1的正三角形，再利用面积关系来证明的途径）．本文将介绍一种构造棱长为1的正方体，然后再利用体积关系来证明的方法．     

一个不等式的初等证法及变式

在文[1]中提出一个非常有趣的不等式： 已知x，y，z∈R^＋且x＋y＋z=1，     

探究一类条件不等式的源与流

文[1]对不等式“若xi〉0，i=1，2，3且∑i=1^3 xi=1，则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10”给出了一个较为简单的证明．其证明思路是：先证明对任意0〈x〈1有1/1＋x^2≤27/50（2-x），即（x-1/3）^2（x-4/3）≤0成立（这是显然的，且x=1/3时等号成立）.     

一个不等式的初等证明

本刊文 [1]利用微分法证明如下不等式 :已知x ,y ,z∈R+,且x +y +z =1,则　　 (1x -x) (1y - y) (1z-z)≥ (83) 3 (1)该文刊出后 ,收到福州二十四中学杨学枝 ,武汉市第六中学刘大岱 ,江西广丰中学朱水龙 ,长沙电力学院数学与计算机系梅宏 ,湖北监利新沟中学杨美璋 ,重庆市武隆县中学李来敏、杨小林等人的初等证明 ,限于篇幅 ,下面选登一种初等证法     

由一道不等式题引发的探究

文[1]给出如下一道不等式题：问题1已知正数z、y、z满足xy＋yz＋zx=1,求证：     

一个不等式的初等证明

文[1]证明了这样一个不等式：若xi〉0,i=1,2,3，且3↑∑↑i=1xi=1，则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10。本文现给出一个较为简单的证明．