Warteschlangen mit gruppiertem Input

Zusammenfassung Es werden Warteschlangenmodelle betrachtet, bei denen die ankommenden Einheiten in Gruppen eintreffen. Zunächst werden die einfachsten Eigenschaften desGalliher-Prozesses behandelt, der eine Verallgemeinerung desPoisson-Prozesses darstellt: Gruppen mit zufällig schwankender Größe gehorchen einemPoisson-Prozeß; die Verteilung der Anzahl der während einer bestimmten Zeitspanne eintreffenden Einheiten wird gesucht.Sodann werden die wichtigsten Eigenschaften des einfachen Warteschlangenmodells (exponentialverteilte Servicezeit, unbegrenzte Warteschlange) mit gruppiertem Input abgeleitet und mit den Ergebnissen für ungruppierten Input verglichen.

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Summary Queueing-models are considered, for which units arrive in groups rather than individually. First elementary aspects of theGalliher-process, which constitutes a generalisation of thePoisson-process are dealt with: Groups with random size follow aPoisson-process; the distribution of the number of units arriving within a period is to be found.Furthermore the most important properties of the simple queueing-model (exponential distributed service times, infinite queue) with grouped input are derived and compared with the results for ungrouped input.

     

Die Übergangsfunktion des einfachen,von zwei Erneuerungsprozessen gesteuerten Bedienungskanals mit endlichem Warteraum

Zusammenfassung Die Untersuchungen des Verfassers gliedern sich in zwei Abschnitte. Zunächst wird als Grundlage der Verteilungen einer weitgehend umfassenden Klasse von Wartephänomenen die Übergangsfunktion eines homogenen Markoffprozesses aus den Verteilungen der Erneuerungsprozesse, die Ankunft und Bedienung der Kunden des Wartesystems regeln, konstruiert. Der erste Teil endet mit einem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für ein Integralgleichungssystem, dessen Lösung die Übergangsfunktion bestimmt und iterativ gewonnen werden kann.Im zweiten Teil werden aus diesen strukturellen Ergebnissen konkrete Aussagen über das Verhalten der Schlangenlänge für große Zeitwerte und große Warteräume hergeleitet, wenn jeweils einer der grundlegenden Erneuerungsprozesse einen Poissonprozeß darstellt.

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Summary The author's investigations are divided into two parts. At the beginning he constructs as base for the time dependent distributions of a rather comprehensive class of queueing phenomena the transition function of a certain Marcov process out of the distributions of two renewal processes governing the clients' arrivals and service-times in the queueing system. The first part closes with an existence and uniqueness theorem concerning a certain system of integral equations the solution of which, determining the transition function in question, may be found by iteration.In the second part the author develops concrete statements about the behaviour of the queue for large values of time and large waiting-room capacities out of the structural results of the first part if one of the basic renewal processes is of Poisson type.

     

Measurements of two-dimensional zero-lift interference of ventilated boundaries at speeds up to sonic

Zusammenfassung In dieser Arbeit werden einige experimentelle Resultate aus dem High-Speed Aerodynamics Laboratory, Bangalore, veröffentlicht. Untersucht wurde die Störung durch die halbdurchlässigen Seitenwände des Windkanals, wie sie bekanntlich zur Verminderung der Wandinterferenz im transsonischen Gebiet zur Anwendung gelangen. Als Testobjekt wurde ein halbes, symmetrisches Kreisbogenprofil verwendet. Der Einfluss von drei geschlitzten und zwei durchlöcherten Wänden mit zwischen 6 und 18% offener Fläche auf die Sperr-Mach-Zahl wurde im GebietM=0,7 bis 1,0 gemessen. Bei einer Mach-Zahl bis 1,0 haben sich die Störungseigenschaften in der Mitte des Profils bei den fünf untersuchten Grenzflächen trotz den Unterschieden in geometrischer Konstruktion als beinahe identisch erwiesen. Die expermentellen Befunde werden mit den Ergebnissen der heute verffügbaren Theorien verglichen; für die geschlitzten Wände wird zureichende Übereinstimmung bis zur kritischen Mach-Zahl für den Testgegenstand gefunden, während für die perforierten Grenzflächen die Wirkungen der Reibungskräfte zu beträchtlichen Unstimmigkeiten für alle subsonischen Machzahlen führen.     

(s,S, U) Lagerpolitik im dynamischen endlichstufigen Problem

Zusammenfassung In Lagerhaltungsmodellen vomArrow-Harris-Marschak Typ wird der gesamte Bedarf über ein Lager ausgeliefert. Wir weichen von dieser Bedingung ab und unterscheiden zwischen Klein- und Großbedarfsmengen. Kleinbedarfsmengen gelangen ab Lager zur Auslieferung, während Großbedarf direkt ab Produktion geliefert wird. Die optimale Entscheidungsregel für dieses Modell ist eine (s, S, U) Politik, wobeiU den optimalen Parameter zur Trennung von Klein- und Großbedarf bezeichnet unds undS die optimalen Parameter für das Lagersystem des Kleinbedarfs darstellen.

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Summary In inventory models of theArrow-Harris-Marschak Type all the demand is delivered from stock. We deviate from this condition and make a difference between small-scale demand and large-scale demand. Small-scale demand is delivered from stock and large-scale demand is delivered directly from production. The optimal decision rule for this model is a (s, S, U) policy, whereU is the optimal parameter to separate large-scale and small-scale demand, ands andS are the optimal parameters of the inventory system for small-scale demand.

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Das zu behandelnde Problem der optimalen Trennung von Groß- und Kleinbedarf in einem dynamischen Modell der Lagerplanung wurde dem Verfasser von Herrn Dipl.-Math.Klaus Wenke bei der Badischen Anilin- und Soda-Fabrik in Ludwigshafen/Rh. gestellt, wo unter sehr allgemeinen Bedingungen eine Untersuchung mit Hilfe der Simulationstechnik auf einer elektronischen Rechenanlage IBM 704 durchgeführt wurde. Herr Professor Dr.H. P. Künzi von der Universität Zürich gab die Anregung zu einer analytischen Lösung des Problems, und dank einer Unterstützung durch den Schweizerischen Nationalfonds wurde die vorliegende Untersuchung ermöglicht, die unter verhältnismäßig milden Restriktionen einen Weg zur analytischen Bestimmung optimaler Lösungen zeigt.Herrn Professor Dr.David Blackwell von der University of Berkeley sowie den Herren Dr.Peter Kall und Dr.Dietmar Onigkeit von der Universität Zürich dankt der Verfasser sehr für wertvolle Hinweise.Fortsetzung folgt als Teil II. — Vorgel. v.:H. P. Künzi.     

The nature of heat transfer from an enclosed rotating disk

Zusammenfassung Es wird ein Verfahren zur Berechnung des Wärmeübergangs an einer eingeschlossenen rotierenden Scheibe angegeben, und zwar für laminare Bewegung eines inkompressiblen Mediums. Die Fälle konstanter Gehäusewandtemperatur und isolierter Gehäusewand werden untersucht. Im letzteren Falle werden die Ergebnisse stark beeinflusst durch den Radius, bei welchem das durchströmende Medium eingeführt wird. Die anderen massgebenden Parameter sind die mit der Spaltweite zwischen Scheibe und Gehäuse gebildete Reynoldszahl sowie die Prandtlschen und Eckertschen Kennzahlen.     

Zum Problem des optimalen Wertpapierbudgets

Zusammenfassung Es werden verschiedene Aspekte des Portfolio-Problems diskutiert. Zunächst werden die Ansätze vonMarkowitz undBaumol gegenübergestellt und deren Konsequenzen für den Entscheidenden abgeleitet. Dann wird der Fall diskutiert, daß die eigene Nachfrage die Preise der Anlagemöglichkeiten und damit die Ertragserwartungen des eingesetzten Kapitals beeinflußt. Dies vermag die Zielfunktion des Wertpapierauswahlproblems zu ändern. Drittens wird eine Lösung für den Fall gesucht, in dem dem Entscheidenden nur der Kauf einer ganzen Zahl von Anlagen jeder Anlagemöglichkeit erlaubt ist.

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Summary The well-known portfolio-problem is discussed here in several respects. First, theMarkowitz andBaumol solutions and their different consequences for the decision-maker are discussed. Second, it is shown that one's own demand may influence prices, and consequently earnings, which may alter the solution as given byMarkowitz. Third, we discuss the consequences of allowing to buy only an integer number of pieces of every asset.

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Vorgel. v.:H. Albach.     

Problems of network flow

Zussammenfassung Eine umfangreiche Klasse von Strömungsproblemen in Leitungsnetzen wird formuliert, und zwar unter Verwendung extensiver Veränderlicher (Zu-oder Abflüsse in den Knotenpunkten) und intensiver Veränderlicher (Preise in den Knotenpunkten und Preisdifferentiale für die Leitungszweige). Die Stromstärke in einem bestimmten Leitungszweig wird als nichtabnehmende Funktion des zugehörige Preisdifferentials vorausgesetzt. Eindeutigkeits-und Extremaleigenschaften der Lösung werden festgestellt. Die angegebenen Beispiele betonen die praktische Bedeutung gemischter Randbedingungen, die in gewissen Knotenpunkten Zu-oder Abflüsse und in den restlichen Preise vorgeben.     

Kinetic approach to the collisional positive column

Zusammenfassung Es sollen ein Einblick in die Geschwindigkeitsverteilungsfunktion für Ionen in der Nähe der Grenze zwischen Plasma und Hülse in der positiven Stoßsäule erhalten und die Ergebnisse Friedmans mans für das gleiche Gebiet, bei denen makroskopische nicht-linearen Gleichungen angenommen waren, bestätigt werden. Eine Form der BGK-Gleichung wird annäherungsweise gelöst, wobei die unbekannte Temperatur durch die lineare Diffusiontheorie von Schottky ermittelt wurde.Die in der Verteilungsfunktion der Ionen enthaltene unbekannte Temperatur kann näherungsweise durch die Summe von Elektronen- und Ionen-Temperatur ermittelt werden. Wir erhalten die ambipolare Geschwindigkeitsverteilung an der Grenze zwischen Plasma und Hülse, die genau mit den Ergebnissen der Friedman-Analyse für die Hülsen-Stabilität übereinstimmt, bei der die Eintrittsgeschwindigkeit der ambipolaren Schallgeschwindigkeit gleichgesetzt war. Mit der Bedingung, dass alle die Wände berührenden Ionen durch die Wände absorbiert werden, erhalten wir die Beziehung zwischen der Stossfrequenz der Ionen und der Ionisations-Stossfrequenz, die das gleiche Ergebnis wie bei Friedman zeigt.     

Unsteady energy transfer in a layer of gray gas by thermal radiation

Zusammenfassung Das Aufheizen oder Abkühlen einer ruhenden Schicht eines strahlenden Gases wird analysiert. Streuung der Strahlung wird dabei vernachlässigt, und der Wärmetransport durch Leitung und Konvektion wird als vernachlässigbar klein im Vergleich zum Strahlungsaustausch betrachtet. Ein Schema wird entwickelt für die numerische Lösung der nichtlinearen Integral-Differentialgleichung der Energie. Von einer beliebig angenommenen Anfangsverteilung der Temperatur ausgehend werden Temperaturen und Strahlungs-Wärmestromdichten als Funktion der Zeit ermittelt. Weiterhin werden für konstante und sich ändernde Stoffgrössen die Einflüsse der optischen Dicke, der Anfangstemperaturverteilung und der einfallenden Strahlung auf die Temperaturverteilung und den Wärmetransport dargestellt.     

Heat-transfer near the stagnation point of a body of revolution in the presence of a magnetic field

Zusammenfassung Die affine Lösung vonNeuringer undMcIlroy [1] für die ebene, laminare Staupunktströmung einer elektrisch leitenden Flüssigkeit in einem magnetichen Feld wird auf den rotationssymmetrischen Fall erweitert. Die gemäss dem Jouleschen Gesetz umgesetzte Wärme sowie die Wärmezufuhr durch Reibung werden dabei ohne Vernachlässigung berücksichtigt.Die Randbedingungen werden neu formuliert, und Lösungen werden erhalten in der Gestalt von gewöhnlichen Differentialgleichungen, die numerisch integriert werden.Die Grössenordnung der auftretenden Parameter wird abgeschätzt in Fällen, welche physikalisches Interesse haben. In den meisten Fällen ist es möglich, eine Grenzschicht-Annäherung einzuführen. Die Resultate hängen dann im wesentlichen nur von einem einzigen Parameter ab. Die Geschwindigkeitsverteilung, das magnetische Feld und der Wärmeübergang an der Körperoberfläche werden berechnet.     

Die optimale Tarifstruktur öffentlicher Versorgungsunternehmen

Zusammenfassung In der Literatur der Unternehmensforschung nehmen Fragen der Preisbildung und der Preispolitik industrieller Unternehmen einen breiten Raum ein. Die Untersuchungen bauen im allgemeinen auf drei Voraussetzungen auf: Erstens wird eine mehr oder weniger elastische Nachfragefunktion nach den von den Unternehmen hergestellten Produkten vorausgesetzt. Zweitens wird angenommen, daß die Unternehmen die Nachfrage nach eigenem Ermessen befriedigen können. Drittens wird vorausgesetzt, daß die Unternehmen nach maximalen Gewinnen streben. Bei Versorgungsunternhmen sind diese drei Voraussetzungen im allgemeinen nicht gegeben. Die Nachfrage nach den von den Versorgungsunternehmen angebotenen Leistungen ist in weiten Bereichen unelastisch. Die Monopolstellung, die die Versorgungsunternehmen in den meisten Fällen haben, ist mit der Verpflichtung verbunden, den im Versorgungsgebiet auftretenden Bedarf in vollem Umfange zu befriedigen. Die Versorgungsunternehmen können endlich ihre Preise nicht nach dem Prinzip der Gewinnmaximierung setzen. Sie werden im allgemeinen nach dem Prinzip der Kostendeckung geleitet. Für die Preispolitik in Versorgungsunternehmen ergeben sich aus dieser Situation Probleme, die sich von denen der industriellen Unternehmen grundsätzlich unterscheiden. Während das Streben nach einem möglichst hohen Gewinn die Knappheitspreise der Faktoren und die optimalen Absatzpreise und Absatzmengen eindeutig determiniert, ist das Streben nach Kostendeckung mit einem breiten Bereich möglicher Preissysteme vereinbar. Nur wenn weitere Bedingungen eingeführt werden, denen das Preissystem von Versorgungs-unternehmen genügen soll, läßt sich ein eindeutiges Preissystem ermitteln. Einige Grundprobleme der Preispolitik von Versorgungsunternehmen werden hier herausgearbeitet. Dabei wird die These vertreten, daß die Preispolitik sich weitgehend von der Nachfragefunktion löst. Die langfristige durchschnittliche Nachfrage wird als gegeben angenommen. Mit Hilfe einer sogenannten Lenkungsfunktion, die man auch als bonitäre Grenzkostenfunktion der Kapazitätsauslastung bei Kostendeckung bezeichnen könnte, sollen die saisonalen Ausschläge um die normale Nachfrage im Rahmen des Kostendeckungsprinzips beeinflußt werden. Die Lenkungsfunktion stellt also auch keine kurzfristige Nachfragekurve dar. Es wird gezeigt, daß bei Versorgungsunternehmen der aus der Theorie der linearen Programmierung bekannte Fall der Degeneration nicht die Ausnahme, sondern die Regel bildet. Im einzelnen werden die Preispolitik der Einheitstarife und die Preispolitik der gespaltenen Tarife mit Differenzierung nach Abnehmergruppen und nach zeitlichen Gesichtspunkten unterschieden.

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Summary In the literature on Operations Research pricing problems of industrial firms are treated rather frequently. The papers are usually based on three assumptions: Firstly a more or less elastic demand function is assumed to be given. Secondly the firms are free to satisfy all the demand or not. Thirdly profit maximization is the usual assumption of the firms' goal. These three assumptions do in general not hold in the case of utility companies. Demand for the products offered by the utility companies is very frequently inelastic. The monopolistic position that utility companies have in most cases is combined with the obligation to satisfy the total demand of the area supplied. Finally utility companies cannot set their prices in order to maximize profits. On the contrary utility companies are in general run on the basis of cost coverage. Thus pricing problems of utility companies are very different of those of industrial firms. On the basis of profit maximization shadow prices for the factors of production as well as the optimal combination of price and quality for the products sold can be determined. By contrast cost coverage leaves a wide range of possible pricing systems. It is not until further criteria are introduced into the pricing process that a unique price can be derived. Some fundamental problems of pricing policy in utility companies are treated in this paper. The paper maintains the thesis that pricing on the basis of cost coverage is fairly independent of the demand function. The long-run average demand is assumed to be given. A guide function which could also be labelled a monetary marginal cost function of capacity utilization with cost coverage is introduced as a means of influencing seasonal fluctuation around the normal demand. This guide function does not constitute a shortrun demand function. It is shown that degeneration, well-known from the theory of linear programming, is not an exception in optimal pricing of utility companies but constitutes the rule. Optimal prices using the guide function are derived and various specific problems of split tariffs and differentiated prices are discussed.

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Vortrag, gehalten auf der 3. Jahrestagung der DGU in Hamburg am 18. September 1964. Der Vortrag gibt die allgemeinen Grundgedanken eines dem Bundeswirtschaftsministerium erstatteten Gutachtens wieder.     

Ein Zwei-Schritt-Differenzenverfahren zur Berechnung strömungsabhängiger Ausbreitungsvorgänge

Zusammenfassung Die in der Transporttheorie auftretenden Differentialoperatoren erfüllen häufig eine Monotoniebedingung im Sinne von Minty. Dies hat zur Folge, daß die gesuchten Lösungen der Anfangswertaufgaben für große Zeiten unabhängig von den jeweils gewählten Anfangszuständen werden. In dieser Arbeit wird gezeigt, daß für ein spezielles Zwei-Schritt-Differenzenverfahren auch die Näherungslösungen für große Zeiten unabhängig von den vorgegebenen Anfangsfeldern werden. Das Verfahren wird angewandt auf ein mathematisches Modell für die Ausbreitung von Stoffkonzentrationen in einem Tidefluß und die numerischen Ergebnisse wer den diskutiert.

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Summary The differential-operators in transport-theory are often monotone in the sense of Minty. A consequence of this property is, that the solutions of the initial-value problems become independent of the initial values for great times. The main theorem of this paper shows, that the numerical solutions of a special three-level-difference-method for the initial-value problems have the same property. The method is applied to a mathematical model for diffusion-and transport-phenomena in a tidal-stream and the numerical results are discussed.

     

Plastic behavior of copper under impulsive heating

Zusammenfassung Es wird eine Methode zur Bestimmung der dynamischen Fließspannung in Abhängigkeit von der Temperatur beschrieben. Stossartig erzeugte Elektronenstrahlen werden benutzt, welche simultan Wärme und Stossenergie produzieren. Dabei wird kein hydrodynamisches Modell für das Material benützt. Die Methode wird auf die Bestimmung der Abhängigkeit von Fließspannung und Temperatur für Kupfer angewandt.     

The influence of turbulence on the transfer of heat to cylinders near the stagnation point

Zusammenfassung Es wird das problem des Einflusses der Turbulenz auf den Wärmeübergang an einem quer angeströmten Zylinder untersucht. Die Untersuchung beschränkt sich auf den Teil des Umfangs, über den sich die laminare Grenzschicht erstreckt. Einige ältere Messungen an der Vorderseite eines Zylinders werden miteinander verglichen, und es zeigt sich, dass ein wichtiger Parameter, nämlich die Intensität der Vorturbulenz bei den Untersuchungen nicht berücksichtigt worden ist. Die bekannten Messungen von Schmidt und Wenner werden kritisch untersucht und der genannte Effekt wird an ihnen aufgezeigt.Weiter werden eigene Messungen der lokalen Nusseltschen Zahl beschrieben. Die Messungen waren durchgeführt worden an der Vorderseite eines einzelnen Zylinders im Querstrom, und zwar in drei sich nicht überdeckenden Gebieten der Intensität der Vorturbulenz. Die Versuchsanordnung wird beschrieben und mögliche Einflüsse der Veränderung der Druckverteilung am Zylinder werden diskutiert. Obwohl dieser letztere Effekt nicht völlig eliminiert worden war, zeigen die Versuche doch klar, dass steigende Turbulenz ein starkes Anwachsen der lokalen Nusselt-Zahl bedingt. Dieses Anwachsen ist bei kleiner Turbulenz besonders stark. Ein Vergleich mit der theoretischen Lösung Froesslings, die für Turbulenz 0 gilt, zeigt, dass die Turbulenz den Wärmeübergang in der Staulinie bis zu 80% erhöhen kann, bei einer Turbulenzvariation von 0–3%.Diese Ergebnisse, die qualitativ interpretiert werden, stützen die Hypothese einer früheren Veröffentlichung, die annimmt, dass der Effekt durch Änderungen der laminaren Grenzschicht, die hervorgerufen werden durch Schwankungen von zunehmender Amplitude, wie sie bei zunehmenden Vorturbulenzen auftreten, bedingt ist.     

Torsional waves in an infinite elastic solid containing a penny-shaped crack

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das axialsymmetrische Problem der Torsionswellen in einem unendlichen, isotropen und homogenen elastischen Körper mit einem kreisförmigen Schlitz betrachtet. Es werden zwei Fredholmsche Integralgleichungen zweiter Art für das gestreute Feld aufgestellt, welche sich bei kleinen Frequenzen zur iterativen Behandlung eignen. Die erste davon ist insofern vorteilhafter, als sie die Verschiebungs- und die Schubspannungsverteilung auf der Schlitzoberfläche direkt liefert und bei iterativer Behandlung viel weniger Arbeit kostet als die zweite. Es werden Ausdrücke für das Verschiebungs- und das Spannungsfeld an der Schlitzoberfläche in Form von Potenzreihen des Frequenzfaktors erhalten. Ebenso wird ein Ausdruck für den Spannungsintensitätsfaktor als Potenzreihe von gewonnen.     

Some new results in flow shop scheduling

The problems of finding a schedule with minimal maximum lateness, respectively with minimal mean flow time for 2-machine flow shops with no wait in process, and related problems, including versions with unit processing times and a single resource constraint, are shown to be NP-hard in the strong sense. An algorithm is presented which finds a minimum makespan schedule with no wait in process for the 2-machine unit processing time flow shop under a single resource constraint inO (n logn) time. The obtained results continue to hold for the corresponding preemptive respectively nonpreemptive cases.

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Zusammenfassung Ablaufplanungsprobleme für Werkstücke, die ohne zeitliche Unterbrechnung nacheinander auf einer Reihe von Maschinen zu bearbeiten sind, werden untersucht. U.a. wird nachgewiesen, daß im Gegensatz zur Minimierung der Planlänge die Minimierung anderer elementarer Kriterien, nämlich der größten auftretenden Verspätung bzw. der durchschnittlichen Fertigstellungszeit der Werkstücke bereits bei zwei Maschinen im strengen Sinne NP-schwierig ist. Es zeigt sich ferner ein enger Zusammenhang zu entsprechenden Problemstellungen, bei denen die Bearbeitung der Werkstücke auf den Maschinen eine beschränkt verfügbare Ressource in Anspruch nimmt, und alle Bearbeitungsdauern gleich sind. Hierzu wird ein Verfahren mit AufwandO (n logn) angegeben, das für zwei Maschinen Ablaufpläne minimaler Länge liefert. Wie ebenfalls gezeigt wird, gelten die dargestellten Ergebnisse auch für die Fälle, daß zeitliche Unterbrechnung zwischen den Maschinen bzw. auf und zwischen den Maschinen zugelassen wird.

     

Laminar-film condensation on a flat plate in the absence of a body force

Zusammenfassung Die laminare Strömung von gesättigtem Dampf über eine gekühlte ebene Fläche wird untersucht für den Fall der Kondensation eines Films an der Oberfläche. Es wird angenommen, dass keine Gravitationskraft vorliegt und dass die Bewegung des Kondensats lediglich durch die Reibung am strömenden Dampf hervorgerufen wird. Ergebnisse für die Scherkraft und die Wärmeübertragung an der Oberfläche werden mitgeteilt. Die wesentlichen Rechenergebnisse konnten in zwei Diagrammen zusammengefasst werden: Figur 2 gibt die zu erwartenden Schubspannungen wieder, Figur 3 den Wärmeübergang.     

Heat transfer to magnetohydrodynamic flow in a flat duct

Zusammenfassung Die Untersuchung befasst sich mit der Wärmeübertragung von den Wänden eines flachwandigen Kanals auf eine elektrisch leitende Flüssigkeit bei erzwungener Laminarströmung und in Gegenwart eines quergerichteten Magnetfeldes. Betrachtet wird der Fall konstanter Wandtemperatur mit variierender innerer Wärmeentwicklung durch viskose und elektrische Energiedissipation. Die massgebende Differentialgleichung wird durch eine Differenzengleichung ersetzt und mit der elektronischen Rechenmaschine gelöst. Als Resultat wird die Nusseltzahl angegeben, für die Prandtlzahl 1, die Hartmannzahlen 0, 4, 10 und die Graetzzahlen von 10 bis 10 000, wobei die Kennzahlen für Zähigkeit und elektrische Feldstärke als Parameter auftreten.     

Structure of axisymmetric force-free magnetic fields in a dissipative plasma

Zusammenfassung Es wird untersucht, in welcher Weise die Struktur axisymmetrischer kraftfreier Magnetfelder in einem Plasma mit den Eigenschaften dieses Mediums zusammenhängt. Aus der Bedingung für das Verschwinden der Lorentz-Kraft und einer Energiegleichung für den Transport der Jouleschen Wärme wird ein System nicht-linearer Differentialgleichungen abgeleitet, wobei die aus der kinetischen Theorie folgende Feld- und Temperaturabhängigkeit der Transportkoeffizienten berücksichtigt wird. Es zeigt sich, dass ausser einer charakteristischen Länge nur ein einziger dimensionsloser Parameter auftritt, und dass dieser im wesentlichen durch das Quadrat des Verhältnisses von magnetischer zu kinetischer Energiedichte an der Achse bestimmt ist. Das Verhalten der Lösungen für beliebiges wird diskutiert, und für kleine werden Näherungslösungen entwickelt. Beispielrechnungen für =0, 0.1, 3 zeigen den Verlauf der verschiedenen physikalischen Variablen als Funktionen des Radius.     

The finite deformation of a pressurized circular tube for a class of compressible materials

This investigation is concerned with the problem of a hollow circular cylinder subjected to uniform internal and external pressure within the equilibrium theory of finite elasticity. The tube is composed of homogeneous, isotropic,compressible materials of special type, namely harmonic materials. Explicit closed-form solutions for the deformation and stress fields are obtained. The true stress distribution, expressed as a function of the undeformed coordinates, is shown to be essentially independent of material properties. The two cases of internal pressure only, and external pressure only, are examined in detail. In the former case, there is a critical value of the applied pressure at which the maximum hoop stress in the tube, occurring at the inner surface, becomes unbounded. Results appropriate for thin shells are also obtained. For the case of external pressure only, a critical value of the applied pressure exists for which closing of the cavity is predicted. For nearly solid cylinders, or equivalently, for a cavity in an unbounded medium, explicit results are provided for the corresponding stress concentration factor.Furthermore the stability of the preceding equilibrium states is investigated by employing a standard linearized perturbation scheme. It is found that an internally pressurized tube is always stable in the range of interest whereas an externally pressurized tube buckles prior to cavity closure.

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Zusammenfassung Die Untersuchung befaßt sich im Rahmen der Gleichgewichtstheorie fmiter Elastizität mit dem Problem eines Hohlzylinders, der einem gleichförmigen inneren und äußeren Druck ausgesetzt ist. Das Rohr besteht aus homogenen, isotropen,kompressiblen Materialien eines speziellen Typs, nämlich harmonischen Materialien. Explizite Lösungen in geschlossener Form werden für Verformung und Spannungsfelder erhalten. Es wird gezeigt, daß die Verteilung der wahren Spannung in Abhängigkeit von den unverformten Koordinaten im wesentlichen unabhängig von den Materialeigenschaften ist. Die beiden Fälle, nur innerer Druck und nur äußerer Druck, werden detailliert behandelt. Im ersten Fall gibt es einen kritischen Druck, bei dem die maximale Tangentialspannung im Rohr, und zwar an der inneren Oberfläche, über alle Grenzen wächst. Es werden außerdem Ergebnisse erhalten, die für dünne Schalen zutreffen. Im Fall eines ausschließlich äußeren Drucks existiert ein kritischer Druckwert, bei dem ein Schließen des Hohlraums vorhergesagt wird. Für annähernd massive Zylinder, oder damit gleichbedeutend, für einen Hohlraum in einem unendlichen Medium, werden explizite Ergebnisse für den entsprechenden Spannungskonzentrationsfaktor vorgelegt.Darüberhinaus wird die Stabilität vorausgehender Gleichgewichtszustände durch Anwendung eines üblichen linearisierten Störungsschemas untersucht. Es wird gefunden, daß das Rohr unter Innendruck im interessierenden Bereich immer stabil ist, während ein Rohr unter Außendruck einknickt, bevor sich der Hohlraum schließt.