三角代换法则及其教学价值

一、问题提出的背景在三角形中有一个关于三角函数的代换法则:“对于△ABC的A、B、C的任意三角函数的恒等式,若将A、B、C换成对应的A/2、B/2、C/2,同时将该角三角函数换成它的余函数,则得到的新的等式仍是恒等式”     

“三角等式证明”的一堂习题课

三角等式证明,不仅涉及的知识面广,而且有一定的灵活性和较高的技巧性,学生往往感到困难。如何帮助学生开拓思路,提高分析问题和解决问题的能力,大家都在摸索、尝试。三角题中条件和结论问的差异主要表现在三角函数式上,也就是三角函数式的名称和三角函数的角这两个方面的差异。在备课时如能紧扣主题,归类分析、抓牢一点,启发诱导,让学生在解题时心中有条路子,眼前有个方向,那么,教与学就能收到成效。在“三角等式证明”一堂习题课中,我紧紧抓住上述两大差异,启发学生思考,帮助他们定向,探索三角等式证明的规律,收到了较好的效果。现介绍如下。例一已知 tg~2a=1+2tg~2β·求证cos~2β=1+cos~2a. 考察条件与结论间的差异。(1)角的差异是:2a     

余弦定理的三角式

设A、B、C为△ABC的三内角,依正弦定理有a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入余弦定理公式可得: sin~2A=sin~2B+sin~2C-2sinBsinCcosA。特称为余弦定理三角式。对一些三角函数化简,求值、证明等问题可考虑用此三角式求解,举例如下: 例1 求sin~210°+cos~240°+sin10°cos40°之值。解 sin~210°+COS~240°+sin10°cos40° =sin~210°+sin~250°-2sin10°sin50°COS120° =sin~2 120° =3/4 例2 求sin20°cos70°+sin10°sin50°之值。解 sin20°cos70°+sin10°sin50° =sin~220°+sin10°sin(110°-60°) =sin~220°+sin10°sin110°cos60°-sin10°。     

《一题——一类——一法》

“已知cos~4α/cos~2β sin~4α/sin~2β=1,求证cos~4β/cos~2α sin~4β/sin~2α=1”这一题,近年来已被不少参考资料或习题集的编者选编入册。亦有将其选入数学竞赛卷的。所见各书或标准答案均较繁冗,似均因未考虑“换元降幂”。若能“跳出”三角函数式恒等变形的圈     

用三角函数定义解题

同角三角恒等式的证明及三角式的化简,人们往往习惯于利用同角的八个关系式解决,须知,利用三角函数的定义式,将这类三角问题转化为代数问题,不仅使人感到思路简捷、自然,而且有利于加深对三角函效概念的理解,增强运用定义解题的意识,培养灵活解题的能力。例1 求证(1-sin~2A)(sec~2A-1)=sin~2A(csc~2A-ctg~2A) 证明由三角函数定义,设sinA=y/r,secA=r/x,cscA=r/y,ctgA=x/y,且有x~2 y~2=r~2 则左边=(1-y~2/r~2)(r~2/x~2-1)=x~2/r~2·y~2/x~2=y~2/r~2 右边=y~2/r~2(r~2/y~2-x~2/y~2)=y~2/r~2 ∴左边=右边故原等式成立。例2 化简seca(1 tg~2a)~(1/2) tga(csc~2a-1)~(1/2)(其中     

对一和角范围问题的置疑、猜想和证明

问题的提出某市的复习试题给出了一道三个角和的取值范围问题: 已知一长方体的一条对角线与交于同一顶点的三条面对角线的夹角分别是α、β、γ、求α+β+γ的取值范围。给出的答案是;π/2<α+β+γ<3π/4。这个问题在其它书上也有出现。如: 上海教育出版社出版的《中学数学竞赛习题》的492题与该试题的条件是一致的:“设A、B、C都是锐角,并且满足sin~2A+sin~2B+sin~2C=1,求证:π/2相似文献   

聚焦三角函数中的多组解问题

在已知三角函数值求值或求角中,经常会解出多组解·这是学生的一个难点,要么根本无取舍意识,要么有取舍意识但不知怎么取舍·本文结合典型例题,对三角函数中出现多组解的原因、取舍的方法作一个归纳总结·1出现多组解的原因原因一:已知某个角的三角函数值,在利用同角三角函数的基本关系中的平方关系,即sin2α+cos2α=1,求其它三角函数值时会出现两组解·原因二:由于三角函数是一个周期函数,在解三角方程中,会出现多组解·原因三:在判断三角形的形状,对条件恒等变形时,会出现多个因式的乘积为零,也会出现多组解·2解决的方法(1)充分利用题中明确给出的角的范围,根据三角函数值的符号法则“一全正,二正弦正,三双切正,四余弦正”进行正负取舍·(2)挖掘角隐含的范围·让学生明确,已知一个三角函数值,它还有一个功能,挖掘角的范围·(3)解三角方程一定要利用三角函数的图象,先在一个周期内找解,再加上周期,再依据角的范围定角·3典型例题例1(2006年湖北)若△ABC的内角A满足sin2A=32,则sinA+cosA=·A·315B·-315C·35D·-35解设sinA+cosA=m,平方得1+sin2A=m2,∴m2=35,m=±31...     

一类三角不等式的通用证法

关于三角形内角的三角函数的不等式 ,例如sinAsinBsinC ≤3 38,sin A2 sin B2 sin C2 ≤ 18,cosA+cosB+cosC≤ 23,cos2A+cos2B+cos2C≥ - 23等 ,要证明它们通常需要比较丰富的技巧 .在这类不等式中 ,等号成立的条件均为A=B=C =60°.60°角是一个特殊角 ,它在不等式的证明中起什么作用呢 ?通过研究我们发现 ,倘若给不等式左侧配上相应的 60°角的三角函数后 ,角成双成对 ,反倒便于应用积化和差、和差化积公式 ,从而使这类不等式的证明成为简洁的、程序性的操作了 .1　直接添加 60°角的三角函数例 1　在△ABC中 ,求证cosA+cosB+cosC…     

三角教学中培养学生恆等变形能力的一些做法

学生在三角学习中,对于三角恆等变形常感无从入手,或者容易犯邏輯上的毛病。为了培养学生三角的恆等变形能力,我們采用了下面一些做法: 一.培养学生掌握一些証明等式的一般性的方法。例如: 1.三角恆等式若只含同角三角函数,則可以从变化函数入手。即尽量把等式中所含的三角函数都化为正弦和余弦,或全化为某一函数。当然应当向学生說明这种方式不一定是最簡单的。 2.若三角恆等式中含有不同角的三角函数,則宜从角的簡化入手,尽量化复角为单角或減少不同角,以便能使用某一公式去进行恆等变形。如求証:     

角变换的两种方向

在利用两角和与差的三角函数公式进行化简、求值与证明的题型中,常要根据函数名与角度的差异进行角度变换,若将已知三角函数值或相关等式中的角称为条件角,而将待求的目标函数中的角称为目标角,则这两种角何时用哪个角表示另一个角在不同的题型中是     

立几中的一个三角公式

若CD为Rt△ABC的斜边AB上的高,显然有sin~2A+sin~2B=sin~2∠CDA。若γf△ABC所在的平面β与AB所在平面α垂直,则角A、B分别是直角边CA,CB与α所成的角,而∠CDA与二面角β-AB-α的平面角相等,于是有:两直角边与α所成角的正弦的平方和等于α与β所成角的正弦的平方。有意思的是,α与β不垂直时,上述结论仍立。即有命题: 若Rt△ABC所在的平面β与斜边AB所在的平面α成角θ,则两直角边与α所成角的正     

角变换的两种方向

在利用两角和与差的三角函数公式进行化简、求值与证明的题型中,常要根据函数名与角度的差异进行角度变换,若将已知三角函数值或相关等式中的角称为条件角,而将待求的目标函数中的角称为目标角,则这两种角何时用哪个角表示另一个角,在不同的题型中是有所区别的,本文对此分析如下．     

一道最值题 三种思考法

<正>题目已知在三角形中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c;满足C=π/6,且b=4 3sinB.则三角形ABC面积的最大值为___.思考一根据已知条件,联想到正弦定理,通过恒等变换,把三角形面积表示成某个角的三角函数的形式,即转化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式,然后求最值.     

证明反三角函数等式的若干方法

反三角函数式的证明,除了涉及许多三角函数的公式外,还要考虑角的范围。学生在证这类题目时,常感到棘手,缺乏证题的策略和方法。而高中课本没有专门介绍这类问题的证法,本文将介绍如下证明反三角函数等式的方法。一、同值同区间法这种方法分两个步骤,首先证明等式两边角的某一同名三角函数值相等,然后再证明等式两边的角在该三角函数的同一单调区间内,这是证明反三角函数恒等式最基本的方法。     

如何求三角函数的最值

如何求三角函数的最值?根据所给的三 角函数的特点,有下面四种常见的求法． 方法一 将所给的三角函数转化为一般 三角函数y=Asin(wx+θ)+B或y=Acos (wx+θ)+B的形式后再求其最值． 例1 求y=sin2x+4sinxcosx+5cos2x 的最小值．     

谈谈平几题的三角证法

三角函数是个比值,这个比值随着角的变化而变化。平面几何主要研究线段和角的有关问题,如果选定一个角为参数,就可以用三角函数式表示有关线段的相互关系,于是就能通过三角函数式的变换,解决平面几何问题。用三解法证平面几何题,思路比较清晰,不需要引过多的辅助线,关键是选好参数角,然后把有关的线段和角,表示为含有参数角的三角函数式,进而从三角函数式的变换解决欲证的命题,在三角教学中能练习解决平凡问题还可丰富平几知识。在不增加学生负担的情况下以补平几教学之不足。例1 求证等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和为定值。已知△ABC中,∠B=∠C,p为底边BC上任意一点(图1)。PE⊥ABPF⊥AC。求证 PE+PF为定值。分析△ABC给定后,其边长,角等都是定值,由于题目中有直角三角形,可以选底角为基本元素(参     

运用“变”的思想方法解三角题

所谓“变”即将题设条件或结论进行适当的变换,使条件与结论便于沟通,有利于问题的解决． 1．变角 在三角运算中,可根据角与角之间的和、差、倍、半、互补、互余等关系运用角的变换沟通条件与结论中角的差异,使问题迎刃而解,常用的变角方法有：①将结论式中的角向条件式中的角转化;②将条件式中的角向结论式中的角转化;③将题目中的一些角用另外一些角表示;④找特殊角帮忙．     

边长为等差数列的三角形的一个常用结论

关于边长为等差数列的三角形 ,文 [1 ]给出了一系列性质 (共 1 8个 ) ,这些性质形式多样 ,结构优美 ,精彩纷呈 ,但增加了记忆负担 ,且都可以由其中的一个性质 cos A - C2 =2 cos A +C2 导出 ,各性质的逆命题也都成立 .为此 ,本文仅给出一个核心、完善、常用的结论 ,并介绍它在求值、化简和证明中的广泛应用 .结论　在△ ABC中 ,若 a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,则 a、b、c成等差数列的充要条件是cos A - C2 =2 cos A +C2 (或 cos A - C2 =2 sin B2 ) .证明　由 B =π - (A +C) ,得B2 =π2 - A +C2 ,∴　 sin B2 =cos A +C2 ,cos B2 =sin A +C2 ,∴　 a +c=2 b　 　 sin A +sin C=2 sin B 　 2 sin A +C2 cos A - C2 =2 . 2 sin B2 cos B2 　　　　 cos A - C2 =2 sin B2 　　　 cos A - C2 =2 cos A +C2 .故原命题成立 .下面就其在化简、求值及证明...     

正余弦定理的衍变

正余弦定理是反映三角形中边与角之间关系的两个重要定理,如果将它们整合、变形后再应用,就会感到另一种新奇与愉悦,同时也给众多题目找到了“同一根源”.1　变式及其推广如果将正弦定理中a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C代入余弦定理中可得:1 ) sin2 C+sin2 B-2 sin Csin Bcos A=sin2 A;2 ) sin2 A+sin2 C-2 sin Asin Ccos B=sin2 B;3 ) sin2 A+sin2 B-2 sin Asin Bcos C=sin2 C.以上诸式表明,三角形中两个角的正弦的平方和减去第三个角的正弦的平方,等于前两个角的正弦与第三个角的余弦的积的两倍,即有变式1　在△ABC中,sin2…     

含有变量的反三角函数恒等式的证明

证明反三角函数恒等式,主要证明两个方面:(1)证明等式两端所代表的角在某一个三角函数的同一单调区间内;(2)证明等式两端关于这个三角函数的值相等。当反三角函数恒等式中含有变量x,y等,那么首先必须确定在变量的允许值范围内,等式两端所代表的角是否在某一三角函数的同一单调区间内.关于这一点,在不少中学数学复习资料中,往往被忽视,为此,本文想举例说明,含有变量的反三角恒等式的证明方法,以供参考.