用共边定理探讨三角形五心的一个相似性质

平面几何问题是高中联赛的一个重难点，而三角形又在平面几何中占据着最重要的作用，因此解决三角形的问题是解决平面几何问题的基础．三角形的五心（垂心、重心、内心、外心、旁心）是三角形问题的核心，三角形的很多性质都是在五心的基础上推导出来的．三角形的五心有很多很好的性质，本文运用共边定理探讨了三角形五心中的一个较为相似的性质，这对于理解和掌握三角形及一些平面问题的证明能够起到很好的帮助作用．     

三角形“四心”的统一定理及其推广

近年来,对三角形“四心”位置的考查呈上升趋势．已有很多有心人就三角形的“四心”问题做了大量归纳总结,给出了很多对我们解题有帮助的定理与结论．但是读罢总觉得意犹未尽,这些纷繁的定理与结论中究竟蕴含了怎样的本质？有没有一个和谐而优美的统一结论？笔者通过探究,写成此文,以求教于大家．     

三角形中的一个重要命题及其应用

在平面几何中，以三角形作为对象来研究的问题很多，下面介绍三角形中一个重要的命题，而且利用它可以处理三角形中许多复杂的数学问题．     

一道高三检测题的解法探究

近几年,由于教材中向量的加入,高考中经常用平面向量结合三角形知识在三角形的“四心”方面做文章．常考查三角形本身的性质、“四心”的定义及性质、平面向量的运算性质及几何意义的灵活运用,三角形的“心”贯穿高考的始终．尤其是“外心”,由于它是三边中垂线的交点,体现了“中”和“垂”两个特点,又是三角形外接圆的圆心,故涉及到三角形外心的试题格外精彩．下面以一道高考模拟测试题为例来领略它的精彩．     

三角形“四心”问题的向量解法探析

在平面向量的复习中。很多学生对向量与三角形的“四心”这类问题不知从何人手．究其原因在于学生对三角形的“四心”定义的理解不深刻·对向量条件转化不娴熟，下面就通常出现的几类问题例析如下．     

例说用余弦定理妙解平面几何问题

众所周知,余弦定理是解斜三角形的一个公式．它不仅能解斜三角形,也能解答很多平面几何“难题”．如平面几何中的不等量命题、定值命题、最值命题,多边形的面积命题等．由此可见,余弦定理在平面几何中的应用是相当广泛的．在此略举数例,供同学们参考．     

三角形的四心在解析几何中的应用

三角形的内心、外心、重心、垂心,在平面几何中有着广泛的应用．如果把三角形的四心与解析几何有关图形的性质有机地结合,可拓宽应用的范围,使很多解析几何问题,获得明快的解决．     

圆与三角形结合的又一结果

圆、三角形是几何的基本图形,也是我们认识许多其他图形的基础．三角形与圆的关系一般研究、讨论较多的是三角形与它的内切圆的关系与性质,三角形与它的外接圆的关系与性质,或三角形一条边与一个圆外切的关系与性质,而同时讨论三角形的三条边与三个外切圆的关系则较少涉及到,经过探讨,笔者推导一个三角形三边与它们的外切圆关系的结果并证明之．     

有趣的“整数三角形”

三角形是基本的平面图形之一,它有很多重要的性质．本文主要探讨一类特殊的三角形——“整数三角形”的相关性质,供同学们在学习中借鉴．     

三角形中常见的“四心”问题

在初中，有关重心、垂心、内心、外心等三角形问题很常见．为此，我们简称为“四心”问题．重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点，内心是三角形内切圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心．     

关于一类Heron三角形的判定与计数

边长和面积都是整数的三角形称为Ｈｅｒｏｎ（海伦）三角形，此前曾有文章讨论过它的一些有趣特性．为简便，本文用Ｈ△表示Ｈｅｒｏｎ三角形；边长为整数的直角三角形（即勾股三角形）用Ｂ△表示，显然Ｂ△是Ｈ△的一种特殊情形．如果一个Ｈ△是Ｂ△或其一条高线可将它分...     

三角形界心的一组性质

文［1」证明了sit设AD、AM、AP分别是bAfN的角平分线、中线和周界中线，则（1）IM／／AP，（2）J．G、I共线且JG＝ZGI．定同1三角形内心即为其中位三角形的界心．江阴设A尸为西川究周界中线，西人MN为中位三角形，J为bABC内心（如图），由引理知，U斤AP，延长LI交NM于L’，WIJ。。。。。＋。＝t。，。。。。bLMN的周界中线；连NI延长交LM于N，同理可证NN是bLMN的周界中线，即I是bLMN的界心．定理1可视为“三角形外心是中位三角形的垂心”的对偶定理．又由于“三角形垂心是它垂足三角形的内心”，于是有定理2设bADC…     

赏析高考的一个热点——焦点三角形面积

椭圆和双曲线上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形．它是一个引人注目的三角形,其面积是一个非常重要的几何量,与其相关的问题是各类考试的重点和热点,且题型角度常变,多姿多彩,可谓考试中的常青树,值得我们深入探究．本文从不同角度对高考焦点三角形问题及其解法作了全方位的探究,供读者参考．     

三角形比例线段和定理及其应用

三角形比例线段和定理及其应用郭清波（黑龙江省教育学院１５００８０）本文介绍一个平面几何定理—我们称之为“三角形比例线段和定理”，它在证明与计算某类几何问题时很奏效，掌握它能给我们带来一定方便之处．由于它的叙述很简捷，掌握它是很容易的．利用它又可较简单...     

例析与椭圆的焦点三角形相关的问题

在椭圆中,所谓“焦点三角形”就是指椭圆的两个焦点与椭圆上的任意一点组成的三角形．椭圆的焦点三角形中蕴涵着很多让人耳目一新的几何性质,它融正、余弦定理、平面几何和向量等知识于一体,让焦半径充分展示其魅力,给人新颖灵活之感,值得我们去探究与总结．在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中,以“焦点三角形”为载体的问题更是层出不穷,精彩纷呈．本文结合具体问题,对椭圆的焦点三角形的性质加以归纳与剖析．     

从平面到立体：意想不到的解答

数学本是一个大家族,其各分支皆有相同之处．很多时候,巧妙地利用这种亲缘关系,会带来意想不到的收获．如图1,在正方形ABCD中,BM=CN,AM、AN将对角线BD分成三条线段．求证：这三条线段一定能够成一个三角形,且这个三角形有一个内角为60°．若按常规的解法,必定要涉及到许多繁琐的     

三角形边的一个优美性质及其应用

请仿上述思路证明,相信你能行!我们知道,在直角三角形中勾股定理表述了三角形三边的等量关系．此性质又是一个关于三角形中三边的等量关系,下面看它在解题中的风采．     

再谈三角形的周界中线

再谈三角形的周界中线戎健君，刘渊（江苏丹阳市教研室２１２３００）（南京无线电工业学校）文［１］介绍了三角形的周界中线、界心及其性质，读后颇受启发，现在我们再来介绍周界中线，界心的另一些有趣性质．定理１三角形的界心、重心、内心三心共线，且界心到重心的距...     

关于三角形五心的类正弦定理

关于三角形五心的类正弦定理周才凯（湖南省炎陵县五中４１２５００）众所周知，正弦定理是揭示三角形边、角及外接圆半径之间数量关系的一个重要定理，求解三角形中的许多问题无不与之结缘．最近笔者在研究三角形五心（内心、外心、重心、垂心和傍心）的性质时发现了与五...     

焦点三角形面积的另类公式

在圆锥曲线中，焦点三角形是一个引人注目的三角形，它的面积是一个非常重要的几何量，值得我们深入探究．对于S=b^2tan α/2和S=b^2cot α/形式是大家都比较熟悉的，在它的启示下，笔者从焦点三角形内切圆、外接圆和旁切圆半径的角度作了探究，得到了两类不同形式，现论述如下，与读者共赏．