三角函数值的增解问题

本文就二角函数值的求解问题中的两个增解问题进行分析与讨论．例1已知sinα-sinβ=-2/3①cosα-cosβ=2/3②且α,β∈(0,π/2),试求tan(α-β)的值,错解由①~2 ②~2并整理得cos(α-β)=5/9．又∵α,β∈(0,π/2),∴-π/2＜α-β＜π/2．∴sin(α-β)=±(1-(5/9)~2)~(1/2) =±(2(14)~(1/2))/9,∴tan(α-β)=±(2(14)~(1/2))/5．分析以上解题过程似乎推理严谨,无懈可击,但只要细致观察则可发现：条件sinα- sinβ=-2/3中隐含了“α＜β”。增解忽略了α＜β     

高中代数一的两道习题

高一代数中有这样一道习题:已知f(x)=1g1-x/1+x,求证f(a)+f(b)=f(a+b/1+ab)。这是一个错题,如在等式右边中取a=5,b=5,则a+b/1+ab=10/26。在函数的定义域(-1,1)中,而f(-5)、f(5)均不存在(无意义),即等式不能成立。因此,本题还须增加-1相似文献   

一道三角题解法的探究

<正>问题已知α、β均为锐角,且tanβ=cosα-sinα/cosα+sinα,则tan(α+β)-________.这是一道典型的已知三角等式求三角函数值问题,对于这类问题学生往往无从人手,无法突破.以此题探讨一下这类问题的解法,供参考.解法一(代人消元求解)tanβ=cosα-sinα/cosα+sinα=cosα/(cosα+sinα/cosα)=1-tanα/1+tanα,     

考点12 三角函数的化简与求值

1.(全国卷,1)已知α为第三象限的角,则α2所在的象限是().(A)第一或第二象限(B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限2.(北京卷,5)对任意的锐角α,β,下列不等关系中正确的是().(A)sin(α+β)>sinα+sinβ(B)sin(α+β)>cosα+cosβ(C)cos(α+β)相似文献   

对“一个有用的三角等式”的进一步讨论

84年第6期《中学数学》发表了“一个有用的三角等式”,此公式应用甚广,且形式可推广到任何三角函数,利用积化和差公式不难证得:4sinαsin(π/3-α)sin(π/3+α)=sin3α (1)4cosαcos(π/3-α)cos(π/3+α)=cos3α (2) 显然(1)与(2)互除即得关于正(余)切的等式: tgαtg(π/3-α)tg(π/3 +α)=tg3πα。 (3) 由(1)与(2)将得正(余)割公式 secαsec(π/3-α)sec(π/3+α)=4sec3α (4) 从(1)的证明过程,求β=?时,将有; 4sinαsin(β-α)sin(β-α)=3sinα, (5) 经验证知β=π/3、2π/3、4π/3时(5)也成立。     

一个恒等式的构造及证明

在一次考试中,我出了这样一道题:求证:(1-cosα+sina)/(1+cosα+sinα)=tga/2(用两种方法证明)。这个等式的构造是由半角公式tgα/2=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)并再由等比定理直接推得: tgα/2=(1-cosα+sinα)/(1+cosα+sinα) ①由①的构造过程我们可得到一种简单方法。证一:右边=(1-cosα)/sina=sinα/(1+cosα)==(1-cosα+sinα)/(1+cosα+sinα)由于大部分学生不会用等比定理,该方法虽然简单,但问鼎者仅两人。大部分学生采取了下面的证法。证二:左边=(1-(1-tg~2(α/2))/(1+tg~2(α/2))+2tg(α/2)/(1+tg~2(α/2)))/(1+(1-tg~2(α/2))/(1+tg~2(α/2)+2tg(α/2)/(1+tg~2(α/2))=(1+tg~2(α/2)-1+tg~2(α/2)+2tg(α/2))/(1+tg~2(α/2)+1-tg~2(α/2)+2tg(α/2))=tgα/2证三:左边=(2sin~2(α/2)+2sin~2(α/2)cos(α/2))/(2cos~2(α/2)+2sin(α/2)cos(α/2))     

两道三角题的推广和应用

在高级中学课本代数第一册之末,列有两道求证的三角题: 我们可以看到与中的各角成等差数列,如果我们用α表示首角,用β表示公差和用α+(n-1)β表示末角,那么就可以把这两个三角恒等式推广成下列的一般形式: (1)sina+sin(α+β)+sin(α+2β)++sin[α+(n-1)β] (2)cosα+cos(α+β)+cos(α+2β)+…+cos〔α+(n-1)β〕对(A)和(B)的证明,读者可以自证,在     

对两角和差的余弦公式教学的一点改进

现行高中《代数》课本(甲种本)第一册第三章一开始就通过作辅助角-β,构造出两个全等的三角形ΔOP_1P_1与ΔOP_2P_4,然后利用等式|P_1P_3|=|P_2P_4(如图1),首先证明了两角和的余弦公式 cos(α β)=cosαcosβ-sinaαsianβ.(C_ )其次,用-β代替β,导出了两角差的余弦公式 cos(α-β)=cosαcosβ sinaαsinaβ (C_-)     

妙解一则

问题已知关于θ的方程3cosθ+sinθ+a=0在区间(0,2π)上有两个不相等的实数解α、β,求cos(α+β)的值.解由题意知,点A(cosα,sinα)、B(cosβ,sinβ)在直线3~(1/2)x+y+a=0上,同时又在圆x2+y2=1上.直线AB的斜率为k=-3~(1/2),因而     

巧设函数证题

很多数学问题,一旦与函数联系起来,研究解决问题的途径便大为广阔。辅设函数证题是证明某些数学命题的有效方法,也是重要技巧。但是,目前有不少学生对它还比较陌生,至少说对这一方法掌握不够。现举数例如下,以兹参考。例1 设a_1cosα_1+a_2cosα_2+…+a_ncosα_n=0, a_1cos(α_1+1)+a_2cos(α_2+1)+…+a_ncos(α_n+1)=0.试证对任何实数β,有 a_1cos(α_1+β)+a_2cos(α_2+β)+…+a_ncos(α_n+β)=0. 证明设函数 f(β)=a_1cos(α_1+β)+a_2cos(α_2+β)+…+a_ncos(α_n+β).     

三角函数与反三角函数

1 已知12sinα=5cosα,求α角的六个三角函数值。 2 α是锐角,在单位圆中,用三角函数线证明:(1)sinα cosα>1;(2)tgα ctgα≥2;(3)sinα<α0的解集。 5 求使等式(ctg~(2α)-cos~(2α)~(1/2)=sina-cscα成立的α的范围。 6 已知函数f(x)=3sin(kπ/7 π/4),其中k≠0,如果要使x经历任意两个整数之间时,函数都至少有一个最大值和最小值,求最小的正整数k之值。     

构造点巧解三角问题

<正>有些三角问题,若用常规方法来解比较繁琐,运算量大,但若通过构造点(a cosα,bsinα),利用数形结合就可巧妙解决.一、求值例1已知sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0.求cos~2α+cos~2β+cos~2γ的值.分析由条件可知,同一个角的正弦余弦同时出现,故可设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(cosγ,sinγ),则A、B、C是单位圆x~2+y~2=1上的三个点,它们到坐标原点的距离都等于1,所以坐标原点是△ABC的外心,再根据sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0     

有比最大值更大的值

已知:a,b,c,d∈R,p,q∈R~+,且a~2+b~2=p,c~2+d~2=q。求ac+bd的最大值。解一:设a=p~(1/2)sinα,b=p~(1/2)cosα,(0≤α≤2π);c=q~(1/2)sinβ,d=q~(1/2)cosβ,(0≤β≤2π) ∵ac+bd=(p·q)~(1/2)(sinαsinβ+cosαcosβ) =(pq)~(1/2)cos(α-β) 故当α=β时,ac+bd有最大值。且值为(pq)~(1/2)。据基本不等式x~2+y~2≥2xy却易有下解。解二:∵a~2+c~2≥2ac,b~2+d~2≥2bd ∴ ac+bd≤(a~2+b~2+c~2+d~2)/2=(p+d)/2(此是一与a,b,c,d均无关的常数)。故有最大值是(p+d)/2。从上述解一、二我们得知,因(p+d)/2≥(pq)~(1/2),即有比ac+bd的最大值(pq)~(1/2)更大的值(p+d)/2。     

问题一瞥

1) 解方程: x~3-(a+2)x+(a+1)~(1/2)=0 2) 解方程: x~4-6ax~2+8a((ax)~(1/2))-3a~2=0 3) 确定下式的最小值: a~2+b~2+c~2/S其中a,b,c是三角形的边,S是三角形的面积。 4) 证明: tgα·tg2α+tg2α·tg3α+…+tg(n-1)α·tgnα=tgnα/tgα-n。 5) 证明不等式: tgα(ctgβ+ctgγ)+tgβ(ctgα+ctgγ)+tgγ(ctgα+ctgβ)≥6。其中α,β,γ是锐角三角形的角。 6) 证明: C_n~1 1~2-C_n~2 2~2+C_n~3 3~2-…+(-1)~n C_n~(n-1) (n-1)~2+(-1)~(n+1) n~2=0     

做三角变换要善于“三看”

三角函数求值问题,是高考数学试题中的常见问题,如何找准三角变换的突破口呢?笔者认为：在复习中就要善于“三看”即一看“角的差异”,二看“三角函数名称的异同”,三看“式子结构的特点”。但在解决问题过程中,这“三看”不是孤立的,而是相互联系,相辅相成,相互促进。为此,举例分析,供借鉴。例1 若α,β均为锐角,且cosα=1/7,cos(α β)=-11/14,则cosβ=____。分析首先从“角”来看,β=(α β)-α,因此只需利用同角的三角函数关系式求出sinα与sin(α β)的值即可。解由题设可得     

一个三角条件组的研讨

一九九○年高考(理工类)第(22)题是“已知sina sinβ=1/4,cosa cosβ=1/3,求tg(a β)”,此题即是要求由三角条件组 (*)sina sinβ=a,(ab≠0) (1) cosa cosβ=b (2)求出tg(α β)的值来,此题有多种解法,其中较为简捷的一种是     

配凑二项平方和,巧解三角问题

配方法是广大同学非常熟悉的数学思想方法,但解题时,很多同学都不习惯于配凑二项的平方和,使配方法的作用大打折扣.下面结合一些三角问题,举例说明配凑二项平方和在解题中的应用.1　求值已知sinθ+cosθ=2 ,求log12 sinθ·log12 cosθ之值.解　由sinθ+cosθ=2 ,有2sinθ+2cosθ=2 ,即sinθ- 222 +cosθ- 222 =0 ,∴sinθ=22 ,cosθ=22 .故　log12 sinθ·log12 cosθ=14 .例2　已知α,β为锐角,且cosα+cosβ-cos(α+β) =32 ,求α,β之值.解　由已知,得4cos2 α+β2 - 4cosα+β2 cosα- β2 +1=0 ,即　2cosα+β2 -cosα- β22 +sin2 α…     

三角“条件求值”问题的一些解法

1　代入法例 1　已知 tgα .ctgβ =5,求 sin(α β) .csc(α -β)值 .解　∵　　　 tgα .ctgβ =5,∴　 sin(α β) csc(α -β) =sin(α β)sin(α -β)=sinαcosβ cosαsinβsinαcosβ - cosαsinβ=tgαctgβ 1tgαctgβ - 1=5 15- 1=32 .2　配凑法例 2　已知 π2     

用解析法解三角题

在三角中,某些问题如我们能充分注意到它们的几何背景,并藉助于解析几何的有关知识,往往可以得到较为简洁的解法。本文列举数例,以资说明。例1 已知 cosa-cosβ=1/2,sina-sinβ=-1/3,求cos(a+β)。解:设x_1=cosa,y_1=sina;x_2=cosβ,y_2=sinβ。则可知点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)在单位圆x~2+y~2=1上。(图一) 又由(y_2-ly_1)/(x_2+x_1)=(sinβ-sina)/(cosβ-cosa)=(1/3)/(-1/2)=-2/3玄j 故直线AB的斜率为-2/3。设直线AB的方程为y=-2/3x+b,将此代入x~2+y~2=1并整理得13x~2-12bx+9(b~3-1)     

一个条件,多种结论

若α、β、γ满足: sinα sinβ sinγ=0 (1) cocα cosβ cosγ=0 (2)则有 sinα=-(sinβ sinγ)(3) cosα=-(cosβ cosγ) (4) (3)的平方加上(4)的平方得: cos(β-γ)=-1/2 (5) 这是我们要证的第一个结论由(5)还可得:β-γ=2/3π 2kπ其中k∈Z。同理可证:γ-α=2/3π 2kπ,α-β=2/3π 2kπ、因此,在(1)、(2)条件下,有结论:α、β、γ依次相差2/3π 2kπ,(k∈Z)——这是要证的第二个结论。