关于用代入法求条件极值的一点注记

用一些例子说明在用代入法求多元函数的条件极值时要注意的问题。     

空间几何角度下看代入法求条件极值

通过具体实例,借助matlab作图,阐述了代入法求条件极值的几何含义和理论依据,指出了这种解法容易遗漏极值点的原因,并根据代入法的使用限制归纳了三种常见的代入形式,为学习者正确使用代入法提供参考.     

代入法求解条件极值的一点补遗

以二元函数为例,阐明把约束条件代入目标函数、从而将多元函数的条件极值转化为无条件极值这种常见求解方法的理论依据;并分析该方法本身的缺陷,得出采用方法容易遗漏极值点的结论;并利用隐函数存在定理得出一个附加要求．确定了该方法的适用范围．     

关于条件极值的两点思考

认为现行高等数学教材关于多元函数条件极值的处理存在值得商榷之处.实例分析多元函数条件极值的拉格朗日乘数法和代人法.指出它们都必须受条件函数梯度非零的限制.利用已知目标函数和条件函数的一阶、二阶偏导数可以判定拉格朗日乘数法所得出的可能极值点处是取极大值还是极小值.由此可得判定条件极值的一个充分条件.     

条件极值的充分条件

利用教材[1]的定理[12．6．3]之推论，给出了多元函数条件极值的充分条件。     

不等式证明的条件极值法

将不等式证明问题转化为求多元函数条件极值问题,并应用拉格朗日乘数法证明了Young不等式和Hlder不等式.     

关于条件极值的一个充分性条件

对于求多元函数的条件极值问题，有下面熟知的拉格朗日乘数法为了求函数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在附加条件φ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０下的极值，令Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋λφ（ｘ，ｙ，ｚ）则方程组Ｆｘ（ｘ，ｙ，ｚ）≡ｆｘ（ｘ，ｙ，ｚ）＋λφｘ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０...     

代入法探究两个函数图像对称的条件

本文介绍用代入法探究两个函数图像关于坐标轴和原点对称的条件,拓展出解决此类问题的一般的方法,可以方便快捷地解决相关问题．     

多元函数条件极值的必要条件

推导证明了一般n元函数及常用的二元、三元函数在等式约束条件下用行列式表示的极值的必要条件,并从几何上对二元、三元函数在等式约束条件下取极值的必要条件予以了直观解释.利用这些必要条件求解条件极值,因除去了Lagrange乘数法带来的Lagrange乘子对解方程组的困扰,而使得最终方程组的求解变得明快简洁.     

条件极值的充分条件

本文将对求二元函数的条件极值的充分进行讨论.     

求条件极值的一种新方法

利用线性代数的理论方法一对多元函数求条件极值的拉格朗日乘数法加以改进。建立了求条件极值的一种新方法．     

关于多元函数条件极值问题解法的注记

结合实例指出教材中多元函数条件极值求法的不严谨性,即求解多元函数条件极值的漏解现象。通过理论分析得到漏解的三个原因,并提出拉格朗日乘数法完整的解题步骤。该步骤也适用于求解多元函数条件极值的代入法。     

多元函数条件极值的充分性讨论

在Lagrange乘数法的基础上,通过引入纠正函数,对文[1],[2]中遗留的条件极值充分性的问题作进一步研究,使条件极值的判定方法更加丰富.     

一道例题的补正

同济大学编《高等数学》(第四版 )上册第 1 0 3— 1 0 4页有一道例 8“求曲线 y=x32 的通过点 (5,1 1 )的切线方程。”书中的解过程为 :“解 :设节点为 (x0 ,y0 ) ,则切线的斜率为y′| x=x0 =32 x | x=x0 =32 x0于是所求切线方程可设为y -y0 =32 x0 (x -x0 ) (1 )切点 (x0 ,y0 )在曲线 y=x32 上 ,故有y0 =x032 (2 )切线 (1 )通过点 (5,1 1 ) ,故有1 1 -y0 =32 x0 (5-x0 ) (3)　　求解方程 (2 )及 (3)组成的方程组的解为 x0 =4,y0 =8,代入 (1 )式并化简 ,即得所求切线方程为3x -y -4 =0 .”　　该题是过曲线外一点求切线问题。显然 ,过曲线 y…     

例析整体代入法

评注 如果求数列{an）的通项,再来化简结果,难度和运算量将会大大增加,这里通过累加法,其实质是一种整体代换的处理方法,类似于数列求和公式的推导,能够做到“避实就虚”．     

代入法探究两个函数图像对称的条件

本文介绍用代入法探究两个函数图像关于坐标轴和原点对称的条件,拓展出解决此类问题的一般的方法,可以方便快捷地解决相关问题.     

用“代入法”解方程Z^n=Z^—为何出现增根？

复数方程Zn=(-Z)(n≥2,n∈N)的正确解法一般有两种,即取模法和共轭相乘法.但是,用代入法解此类方程时,为何有时出现增根(如n=3),有时又没有增根呢(如n=2)?产生增根的原因究竟何在?对此,文[1]作了总结和说明.笔者认为,文[1]给出的一般结论有误,也没有指出产生增根的根本原因.     

例析整体代入法

整体代入法是初中数学中常见的方法.如已知x+1/x=a,求x/3+1/x~3的值(a为常数),通过分解因式,然后整体代入,就可以轻松得到结果.整体代入法要根据已知,通过观察构造累加等方法,灵活进行转化,从而达到简化运算的目的.它也是高中数学常用的一种方法请看下面几个例子.例1数列{an}中     

多元函数条件极值的几种求解方法

研究多元函数的条件极值问题．针对稳定点的各种不同情形．结合具体实例．给出判断条件极值中稳定点是否取得极值的几种方法．