导出若当法型的一个簡单方法

对于一个綫性变換,如何来取一个适当的坐标系,使得它的不变量明显地出現在所表示的矩陣中,这就是若当(Jordan)法型所解决的問題。这样一个显然重要的問題,在文献中很少有从头到尾很一般的表述。本文的目的是在給出一个尽可能簡捷而明了的方法来导出一个綫性变換的若当法型。本文只要求讀者具备賴性变換理論中最簡单的知識。     

线性代数簡介(續II)

§6.特征向量及特征根既然n维空間的同一个线性变換在不同的基底下可以有不同的矩陣与它对应,因此在研究线性变換时,我們自然希望适当地选择一組基底,使得所給的綫性变换的矩陣具有尽可能簡单的形式。     

初等变换的“記录矩陣法”

設A是一个n阶非异方陣,我們可用下法来求A的逆方陣A~(-1),即在A的右方列一个n阶单位方陣E,得到一个n×2n矩陣,对这个矩陣作初等行变換使前n列变为E則后n阶此时即組成A~(-1)。这个方法在許多綫性代数教科书中均可找到。我們不妨称这个方法为“記录矩陣法”。这个方法甚为簡捷。本文中我們来研究这个方法在向量問題及綫性方程組中的一些应用。可以看出,在这些問題之应用中本法仍不失为一个簡捷的計算法。     

非线性微分方程组差分方法中的一些問題的討論

<正> 当我們对已給的非綫性微分方程組使用差分方法时,要遇到这样一些問題,即所作的非緝性差分方程組的解的存在性、一意性和收斂性等.本文指出,这些問題可以归結为一个綫性差分方程組的“一致性”和“稳定性”問題. 本文是作者前一文[10]的发展.     

线性方程组的解法

在各种解方程的問題中,应用范围最广、解法最簡单的要算是一次方程組了。一次方程組通常称为綫性方程組。在許多实际問題中都有着大量的应用。例如,在大地測量問題中要解綫性方程組;計算水坝的应力分布的問題要解偏微分方程,而解这样的偏微分方程时往往要归結为解綫性方程組。随着我国社会主义建设的飞跃发展,在生产实际中提出了大量的问題需要通过解线性方程組来进行计算。在这一篇文章里,首先介紹一下一般的綫性方程组的解法,这种解法就是中学代数中的消元法,但比起中学代数的讲法更为簡单清楚,并且具有一般性。可以作为教师讲課的参考。然后再介紹綫性方程組的两种数值解法。本文不要求任何較高深的数学知識,一般具有中学水平的同志都能掌握。     

綫性代数方程组迭代收斂充分条件的改进

(一)引言用迭代法解线性代数方程組x_1=a_1,_1x_1+a_1,_2x_2+…+a_1,_Nx_N+f_1,x_2=a_2,_1x_1+a_2,_2x_2+…+a_2,_Nx_N+f_2,(1)………………………………………………………………,x_N=a_N,_1x_1+a_N,_2x_2+…+a_N,_Nx_N+f_N,迭代收斂的充分条件是当μ=1或v=1时,上述充分条件不滿足,为此需要寻求更强的迭代收斂判別法則。在[2]中,給出了μ=1时的迭代收斂充分条件。本文将給出更为一般的迭代收斂充分条件,并且用类似的方法,給出了v=1时的迭代收斂充分条件。 (二)μ=1时的迭代收斂性为了定理叙述的需要,我們引进一些定义。若方程組(1)中,某些方程的系数滿足sum from i=t to N |a_(i,j)|<1,則称这些方程为第一級方程,这些方程左端的未知量称为第一級未知量。除第一級以外的方程中,右端包含有第一級未知量的方程称为第二級方程,而第二級方程左端的未知量称为第二級未知量。依此类推,若其一个方程不属于任何一級方程,則称此方程为独立     

关于用矩陣法求多个多項式的最大公因式的問題

我校在“代数方程論”一課中,学了浙江大学池体涛先生的二維表格运算法,也可以說是簡易的矩陣法。就实际做法来說,[3]的求法与通常欧几里得(Euclid)輾轉相除比較起来,互有短长,而且有时在簡单的情况下,欧氏除法也并不很繁。文章[3]虽列举了一个多項式求最大公因式的例子,     

綫性齐次微分方程內e~(kx)型解的探求

在高等数学中,綫性微分方程的解的結构理論是比較完善的,只是对于一般变系数的齐次綫性微分方程沒有一个探求特解的有效方法。本文給出一个找出e~(kx)型解的一般方法。定理.設u_1,u_2,…,u_m,为一組綫性无关的函数組,則方程有e~(kx)型解的充要条件是k为方程組     

一类非线性微分方程的近似方法的討論

<正> 在应用上往往会碰到非綫性微分方程,求解它的最一般的方法乃是差分方法.应用这一方法預先必須解决的問題是:所作的非綫性差分方程的解的存在性、唯一性和收斂性,以及如何求解等.本文指出,这些問題通常可以归結为一个綫性差分方程的“适定性”問題,而后者已有一些解决的办法,亦郎非綫性的問題可以化为綫性的問題而得到解决.     

关子簡单的二元二次方程組的同解性

教师在讲授簡单的二元二次方程組的解法时,一般地說,学生是难以透彻理解的。特別是由两个二元二次方程組成的方程組,有些学生是知其然而不知其所以然,有些学生是根本清理不出解題过程的綫索。总的原因,可以說是沒有深透的搞清方程組的解以及求解过程的道理。为此,有必要将方程組的解題过程中,有关同解变形的道理浅显而又明了的教給学生,不能有所含糊,更不能只教給学生一些解答方法。这里,个人想就有关問題談談看法。 (一)方程組的解所謂方程組的解,就是滿足方程組中每个方程的未知数的一組数值。求出方程組的一切解的过程,叫做解方程組。这一点,在不少教师思想中,似乎是显明易懂的,因而輕輕带过,强調解的概念不够突出。事实上,学生并非如教师想象的那样易于理解,有必要作較     

对数学課程設置問題的意見

我們对这个問題的意見如下: 小学在小学五年中将算术課程全部学完(刪去现行教材中的一些无实际作用的四則难題,增添与生产实际、生活实际相联系的計算題),其中包括簡单的几何图形和簡易的面积,体积的計算,統計图表以及有关代数学中的負数,簡易方程等材料(給将来在中学一年級学习代数創造条件)。初中代数讲到二元二次联立方程組。平面几何要大量刪去陈旧落后,煩琐无用的內容,增添与生产建设有关的內容和三角函数,簡易測量及簡易繪图知识,并全部讲完。高中代数課,要增加概率論和綫性規划的初步知識。在立体几何和制图課中,要大量精簡立体几何的論証部分,增添球面几何和非欧几何简介;在制图中,要讲些平行投影法,中心投影法和它們的基本性质等知識。三角課,要增添球面三角内容。增设平面解析几何和微积分大意。至于計算上所使用的图、表、简     

应用矩陣运算推导球面三角基本公式

在常見的讲述球面三角学的书籍里,一般都用投影法或平面三角方法导出余弦定理、正弦定理等球面三角基本公式。华罗庚先生在他所著“高等数学引論”第一卷第一分册中,則应用了矢量分析方法。这里,給出另一种較为簡洁的方法,即应用矩陣运算来推导球面三角基本公式。在未导出这些公式之前,先簡单介紹一下“旋轉矩陣”的概念和基水性貭。考虑空間直角坐标系的旋轉变換。設原坐标系(O;x,y,z)繞x軸沿正方向(逆时針)旋轉角α后变換为新坐标系(ο;ξ,η,ζ)(如图1),則由解析几何学便知,新旧坐标系之間有如下关系:     

我对运用課堂提問啟發学生積極思維的初步認識

一、为什麼要重視課堂提問? 解放以後,由於学習苏联的先進教育理論和教学經驗,我初步批判了过去注入式或「唱戲式」的教学方法,特别在中共北京市委「關於提高北京市中小学教育質量的决定」公佈以後,我進一步認識到一个教師必須包教包会,要把所有的学生都培养成为合乎規格的人材。首先,我們教給学生的知識,必須叫他們得到鞏固,但是鞏固的知識,不是單靠作業和複習所能作到的,因为学生在作業中常發生死套公式或按照例題仿做的情形,在複習時,也常有死記硬背的現象,这样就僅僅是形式的,記住这些知識。而不是真实的和自觉的掌握它,那就更談不到知識的实踐作用了。一个教師不是簡單的傳授給学生死的知識,而是要通过他們的思考,对知識加以理解和記憶,並能     

数学问题解答

第9期问题编者按.这一期的問題里有打上星号*者,是編輯部极欢迎讀者給本刊投寄題解的題目。其题解研討将于年終发表。 493.证明在調和級数 1/1+1/2+1/3+…+1/n+…中划掉所有在分母中含有数字9的那些項(例如1/9,1/199,…,1/1093等)之后,所組成的部分新級数是收斂到一个不超过80的数(湯正誼提)。 494.设直綫PO与平面M相交于O,过O在平面M內引直綫OA,OB,OC,若PO与OA、OB、OC成等角,那末PO垂直于平面M(张美新)。 495.如果p和q是“孿生”素数(即相距为2的一     

約当定理的初等証明

1.和通常一样,在这里所謂封閉的約当曲綫是指圓周的拓扑映象,所謂簡单弧是指綫段的拓扑映象。 約当定理。一平面封閉的約当曲綫将平面分成两个区域,而它自己就是这两个区域的公共边界。下面将敍述此定理的一个初等証明,这个証明是建立在从約当曲綫的定义所推出的几个性貭之上的。同时也将敍述一个与它有关的定理的証明: 在平面上的一段簡单弧不能把平面分开。 1.1 記号。以下我們都这样假定,如果給定了一簡单弧,那末也就給定了一个从綫段到它上面的,而且是完全确定的拓扑映象。因此在弧上也就确定了点的順序关系如下:設X与Y为簡单弧上的二点,X′与Y′是綫段上与之相对应的二点,要是X′相似文献   

关于求逆矩陣方法的一个注記

在[1]中給出一求逆矩陣的計算方案,在[2]中依此方案編了标准程序,的确这个方案对計算和編程序都很省很方便。本文的目的在于把它改进一下,給出一种更为方便些的計算方案,并从另外的角度出发,即用消去法的思想給予較簡单和直观的証明,且証明本身还說明了法求逆矩陣与用消去法求逆矩陣之間的关系。計算逆矩陣方案的出发点是这样的,假定A=(a_(ij))是非蛻化n阶方陣,按下面递推公式建立一系列方陣:     

關於行列式理論的公理構成

行列式起源於解綫性方程組的問題,為了將解2未知量或3未知量綫性方程組的克來母规則推廣到n未知量的情形,我們從2階及3階行列式去找它們的內在规律,然後依照這種規律去定義n階行列式,並證明這樣定義的n階行列式確能使克來母規則成立。這在一般高等代數書上都有介紹,這裏不多說(可參看柯召譯庫洛什著高等代數教程第二章,此書以下簡稱庫高。) 由n階行列式的定義可以推出它們的很多性質,在庫高§23中曾指出利用這些性質中的若干條也可以反過來决定行列式。即若一方陣函數適合該若干條性質,則此函数必為方陣的行列式,這告訴我們對行列式可以有比較抽象的講     

培养学生独立思考能力的几点做法和体会

本学期,我和学生們认真地学习了华罗庚先生的一篇題为“学·思·鍥而不舍”的文章(見“中国青年”杂志61年第21期),获益非线,对女中这样的一句話深有体会:“同学們在校学习期間,学会讀书与学得必要的专門知識是同等重要的”。的确,学生在校学习,获得必要的基础知識是重要的,但学会讀书的方法,以便在将来走出校门之后进行自学,和更好地在工作中发揮創造性,也是重要的。而会讀书的主要表征之一,就是善于独立思考。因此,每一个做教师的,都应当很重视培养学生的独立思考的习慣。几年来的教学实践,使我越来越深刻地体会到这一工作的重要意义。下面就是我的一些做法和体会。一、 課堂是向学生传授知識的主要陣地。我们除了教給学生教科书中的知識以外,还要教給学生讀书想問題的方法。     

多边形的面积

一、引言本文是前一篇文章:綫段的长度(发表于数学通报九月号)的續篇,我們假定讀者已读过那一篇文章。在本文中我們将事先选定一个长度,換言之,对于每一个綫段,我們总假定它的长度已經测量好了。此外,为了叙述上的簡便,我們不严格区分“綫段”和“綫段的长度”这两概念。例如:对于“三角形的高”这概念,有时表示一綫段,有时則代表这綫段的长度。平面上的一个多边形,如果它的边所組成的封閉折綫正好构成一个約当曲綫,則称为簡单多边形。本文中所討論的多边形,假定都是簡单多边形,以后不另作声明。多边形的面积是多边形的正实值函数,它具有合同不变性和可加性,即这函数应滿足下列两条件:ⅰ)合同的多边形具有相同的面积;ⅱ)如果一个多边形是由两个(或若干个)多边形組成的,則它的面积等于組成它的各边形的面积之和。在一般中学教科书中,总是把下面这条件添加到多边形面积的定义中去:ⅲ)以单位綫段为一边的正方     

复数域上矩陣可用相似变換化为对角形的一个充要条件

在一般綫性代数教程中(例如[1]),关于复数域上矩陣可用相似变換化为对角形的充要条件有下面两个定理: 定理1.矩陣A可用相似变換化为对角形的充要条件是A有n个綫性无关的特征向量([1]第91頁)~1)。定理2.矩陣A可用相似变換化为对角形的充要条件是A(的特征矩陣)的初級因子都是一次的([1]笫121頁)。利用定理1来判別的实际途径,要求首先算出特征多項式|λE-A|的根,而这一般是不容易办到的;利用定理2来判別的途径一般是先用初等变換化特征矩陣λE-A为对角形,然后判別对角綫上諸元素是否皆无重因式。本文的目的是从定理2出发,导出一个比較直接的、更易实际判別的充要条件。