线性代数簡介(續Ⅰ)

§2.向量空間 1.細心的讀者不难发现,在§1里,关于向量运算的許多性质和大多数的命題的推导过程中,我們是有意地避免利用向量的特殊属性,而只是直接利用基本算律I-VIII或数积的性质1°-4°。我們所以这样作的目的是为了使讀者了解,关于向量运算的許多性质并不依赖于向量本身的特殊属性,而只是依赖于这些基本算     

线性代数簡介(II)

54.矩障 由。只”个数aii(i=1,2,…,“;z=l,2,所粗成的一个、行n列的表a12a22al移口2,…,n) (15)al勺a仍la仍2.”am耳阱做一个矩障.当”:=。时,也阱做一个n阶方障.为了筒单起晃,矩障(l幻常简写作(aii)。,.两个矩障被敲为是相等的,假如对应的行数与列数分别相等,且对应位置的元素相等.歌才=(aij).,与B==(bij)。。是两个‘行”列矩障.我们定义刁与B的和注十B为矩障(at’i十句i)。。.换一句韶税,两个,行n列的矩障A与B的和仍是一个“行n列的矩障,它的元素是才与B的相应位置元素的和.例如“一(一;}一:),‘一(;一::),“ B一( =·( 3十l一2十2 1…     

线性代数簡介(I)

线性代数是高等数学中最基本的科目之一。线性代数主要的研究对象是向量空間及向量空間的线性变換。綫性代数之所以重要,首先在于这些概念本身是进一步学习数学的各个分支以及力学、理論物理学等所不可缺少的数学知識;其次,在线性代数里所体現的几何观念与代数方法之間的联系,从具体概念抽象出来的公理化方法以及严密的逻輯推証,对于提高人們的数学能力,加强数学训练来說都是非常有用。     

射影几何簡介(續)

第二部分§9.齐次坐标一維齐次点坐标.当欧氏直线規定了方向、原点及单位线段以后,即建立起一种坐标系,它可使有穷远点与实数之間建立一一对应,从而确立了欧氏直线上点的坐标的概念。当它引进无穷远点建立射影直线后,无穷远点即沒有坐标而必須另行規定于下: 定义。笛氏坐标为x的点的一維齐次坐标(x_1,x_2)系任意适合x_1:x_2=x之二数x_1,x_2其中x2≠0,而     

数理逻輯的簡单介紹(續)

数理邏輯的主要內容数理邏輯的內容是非常丰富的,要在一篇短文內介紹其主要內容是非常困难的,遺漏不但无法避免,甚至于可能是掛一漏万的。下面的介紹是根据比較流行的說法再結合作者的理解而立諭的。数理邏輯的主要內容可以分作四大部分。第一部分可以叫做数理邏輯本論。又分两部分,純演算与应用演算。純演算部分主要是命題演算(在其中每一命題不加以分析,从而只討論“非”“或者”“并且”“如果…則…”等命題联結詞的性貭)以及謂詞演算(在其中把每一命題分析成主語及謂語两部分,主語又叫做个体,而     

关于常微分方程解的存在唯一性簡介(續)

§4.延展定理与解的整体存在性上节解的存在性的証明都是局部的,亦即定理只肯定了在初始时刻t_0的某一区間|t-t_0|≤h上解于点(t_0,x~0)附近存在。为了要搞清这一解的定义区間究竟可以扩大到何种程度,必須对它进行延展。若f∈C(G),設G为开集,則过C內一点的解一般不是唯一的,     

关于常微分方程解的存在唯一性簡介(再續)

§5.解的唯一性唯一性的研究集中在探求保証解唯一存在的各种具体条件和一般性的原則上。其次是研究唯一性定理的不同証法;也有少部分的工作討論破坏唯一性的充分条件;此外,还出現了初始条件給在无穷远处的唯一性問題。定理1 (Kamke普遍唯一性定理)。設ω(l,r)是定义在0     

中国数学教育簡史(續)

(三) 帝国主义分子在我国近代数学教育界的阴谋活动,与我国人民的反帝斗争 (1) 传教士在我国数学教育界的阴谋活动。传教士是殖民主义的先遣队。早在清乾隆、嘉庆时代西洋传教士的魔爪已深入到我国数学教育界。乾隆五十年(1785)传教士汤士选(A.de Gouvea)、嘉庆十三年(1808)传教士福文高(D.J.Ferreire)、道光三年(1823)传教士季拱辰(J.Riberio)(三人皆葡萄牙籍)都先后攫夺了国子监算学馆的领导工作。由于当时算学馆是为少数清代贵族子弟服务的,故影响面还不十分大。鸦片战争后情况便大不同了。帝国主义国家侵略我国,要把我国变成它们的殖民地及半殖民地,在文化教育各个方面的侵略,都不放松。“其目的,在于造就服从它们的知识干部和愚弄广大中国人民。”(《毛泽东选集》第二卷第624页)。便于它们的统治。其中尤其是美帝国主义更为阴险毒辣。同治元年(1862)北京成立同文馆。同治五年(1866)在同文馆内成立算学     

因式分解(續)

(四)复数域和实数域中的因子分解根据定理2,复数域和实数域上的多項式永远可以唯一地分解成不可約多項式的乘积.可是定理2並沒有告訴我們复数域和实数域上不可約多項式的形狀是怎样的,同时它也沒有告訴我們一个有效的方法如何經有限次有理运算(即加、减、乘、除四种运算之統称)將复数域     

函数方程簡介

所謂函数方程对研究各种函数具有重大的意义。在討論中学数学課本里的初等函数吋,人們研究偶性、奇性、周期性,等等。这些性貭可分別解释为函数滿足下面几个函数方程: f(-x)=f(x) (偶性); f(-x)=-f(x) (奇性); f(x+a)=f(x) (周期性)。在較深入地研究“函数”部分的过程中,很自然地提出了把函数定义成某一函数方程的解的問題。显然,上列各函数方程并不确定一个具体的函数,因为它們表示着极广泛的函数类。     

射影几何簡介

本文共分两部分。第一部分是在初等几何基础上引进无穷远元素,建立射影平面和射影空間,而介紹綜合射影几何;第二部分則是在解析几何基础上引进齐次坐标,从而建立射影平面和射影空間,而介紹解析射影几何。第一部分§1.中心射影及无穷远元素直线向直綫上的中心射影。     

計算数学簡介

任何一门学科的发生和发展都是与生产实践分不开的,計算数学当然也不例外,在我们的实践中,有许多从科学技术和国民經济生产建设中提出来的、具有量的性貭的问题。为了研究它們而又可能找到它們的某些規律用数学公式、方程或不等式等形式描述出来时,我們就常用数值方法来研究它们且做出对实践有用的计算。在解决这些問題中所用的数值方法以及在一定程度近似方法的发展,成了数学发展中的一个分支,这就是通常所称的計算数学。計算数学在实践中的应用极为广泛而且很     

排隊论簡介

1.在我們日常經济生活中,經常会出現这样的事情:有一个“服务站”,有許多“顾客”到来須要受到服务,被服务完毕之后即行离去。假若“顾客”到达时,“服务站”是空閑的,則该“顾客”立刻受到接待;但若到达时服务站正在为别的“顾客”服务,則該“顾客”或者离去,或者停下来等待。比如对車站售票来說,“服务站”是售票窗口,而“顾客”是买票者;对工厂机器維护来說,“服务站”是检修队,“顾客”是发生障碍的机器;对电話通訊来說,“服务站”是电話綫路,而“顾客”則是由打电話的人所发生的呼喚。前面两个例子就是“顾客”可以等待的情况(或称“等待系統”);后一个例子就是“顾客”需要离去的情况(或称“消失系統”)。在所說的这些事件中,常会发生这样情形:或者是服务站机构     

幾何學(續)

Ⅵ.幾何學的解釋同一項幾何理論可以有各種不同的應用,各種不同的解釋(現實化、模型、有時候也叫做說明),理論的任何應用不外乎道理論的某些推論在相應的現象區域中的“現實化”。各種不同現實化的可能性是一切數學理論的共同特性,這樣,算術的關係便在最不相同的各類物件上達到現實化;而同一個方程常常描寫完全不同的現象,數學撇開了內容,只研究現象的形狀,而由形狀的觀點看來許多性質各異的現象常常是相類似的,數學應用的繁多,特別是幾何學應用的繁多,正是從它的抽象的性質獲得保障的,我們認為某種物體系統(現象區域)提供了一項理論的現實化,只要在這物體區域中的關系都可以用這理論的語言來描述,因而這理論的每一句斷語表明了所考慮區域中的某一件事實,特別是假使理論是建立在某種公理系統的基礎上的話,那麼這理論的解釋就是某種物體及其間     

反三角函數(續)

第七課 課題:以反函數形式給定的弧底各三角函數的求法 檢查完了家庭作業以後,叫一个学生到黑板上求sin(arcsin x)和cos(arcsin x)。因为-(π/2)≤arcsin x≤π/2,而正弦在这个區間內是正數或0,所以在根号前应取十号;因而,与數x的符号無關,我們有: 叫另一个学生求弧arcsin x的正切和餘切:在这裏根号前取+号。事实上,若x<0,則也有tan(arcsinx)<0,而若x>0,則也有tan(arcsin x)>0;所以     

集合与一一对应(續)

§4. 对应与一一对应由上面討論可見,一一对应是一个很重要的概念,它在數学中有許多的用处。下面我們就詳細討論一下这个概念: 我們先从一个更廣义的概念“对应”談起,它在數学中佔有更重要的地位。很多人都学过“函數”这个概念,見过一些函數的例子,例如:f(x)=x~2+1,g(x)=sin x等等。我們回想一下函數的定义,在实數範圍內,它是这样說的: 如果有一个法則Ф,根据这个法則我們对每一个实數x,都能得出一个确定的实數y与它相应,我們就把这个法則叫做(定义在实數集上的)一个(取实數值的)函數,与x相应的y記作Ф(x),称为x在函數f下的值。例如f(x)=x~2+1这个函數是表示如下的法則f:“(給出实數x後)算出:x的平方,再加1(得到与x相应的f(x))。”在g(x)=sin x時,我們的法則g叙述起     

复数的教学(續)

Vn.复数的乘方1.1的方粱及其圆示法.1)1的各方翼:乙,i一~一1,舒~沪.(一1)2一乙,.︸(乙2)2i4i,i已 .印二:二i臼二二二13~一乞,18一14·+1,一1,14二+1.沪护月创2)由此导出:i4n+‘~i,14,,+2:二一1,14护‘+3~一i,14,‘二+1·恤一。1,1)“~韶八一‘天了一,l,“十嵘了一2(bi)匕一十 +嗯砂一“伪动“十··一左+人i 一了~arl一嵘砂一2犷一:嗽了一1护一 B~吐a叹一‘b一嵘了一“护十吹了一“护… 只要用二项式定理展开法剧将(u一卜b汀‘展开,再热i的方尊适当变换为i,一1,一凡十1;最后再牌实数部分集项和虚数部分集项.即得其IL次方幕.5.再得出三角函…     

度量空間(續)

巴拿赫-达尔斯基定理从初等几何学中我們知道,若以某种方式分一多面体为几个多面体,并且重新排列这些部分多面体以組成一新多面体,則后者无論如何也不能放入原多面体的內部。在这个定理里关鍵在于,我們分原多面体为几个部分,它們也是多面体。似乎以为,若我們分一立方体为某一有限数目的集合,則在空间中不     

圆錐曲线(續)

§4.直圆錐面的平截线现在我們研究在第二种定义下直圓錐面平截綫的各种形状。 設有以O为頂,OA为軸,a(0相似文献   

发散級数求和簡介

发散级數求和,现在还很难说是一个独立的数学分支,在数学中它主要是作为一个工具出现的。我们知道,级数的主要作用是表示函数,虽然它的每一项可以是极其簡單的函数(通常是初等函数),但所表示的函数却能够具有很复杂的性质,因而成为研究函数的一个不可缺少的工具。函数与表达它的级数的一种联系是通常意义的收敛,但这在级数发散(或还不知道它是否收敛)时就完全失去了作用。发散级数求和理论正是为了补充通常级数理论的这一点不足而建立起来的。本文的目的是在数学分析的基础上,向读者简单介绍这方面的一些基本概念、知议和一些最初等的有趣的应用。发散级数求和所涉及的方法,在古典分析中是比较典型的,因此一些主要定理的证明我们还是引出来。这里只要求读者具有一般分析的基础。