引无数英雄竟折腰的3x+1猜想

当代 ,有一个风靡世界有趣的“3ｘ +1问题” ,人人都会演算 ,但要证明它却像对付坚硬的磐石 ,它似乎能轻而易举地挫去你智慧的锋芒 .1　 3ｘ+1问题由来大约在 2 0世纪 3 0年代 ,世界许多国家流传着这样一道题目 :“任取一个自然数ｘ ,如果它是偶数 ,则除以 2 ;如果是奇数 ,则将它乘以 3加 1 ,这样反复运算 ,最后结果必然是 1 .例如　取ｘ为 6,6→ 6÷ 2 =3 → 3× 3 +1= 1 0 → 1 0÷ 2 =5→ 5 × 3 +1 =1 6→ 1 6÷ 2 =8→ 8÷ 2 =4→ 4÷ 2 =2 → 2÷ 2 =1 .有趣的是 ,不管你取什么自然数 ,依照上面规则 ,最后总是“百川归大海” ,都会得…     

这样降低难度合适吗? --兼谈学习定势

人教社编写的义务教育初中实验课本《代数》(第一册 )有这样的题目例 1　把下列各式化成最简二次根式( 1 ) 45a2 b(P2 0 5 例 4) ;( 2 )x2 yx(P2 0 5 例5 ) .解　 ( 1 ) 45a2 b =32 × 5a2 b =3a 5b .( 2 )x2 yx =x2 yx =x2 yxxx =x xy .笔者起初认为这种解法是错误的 ,后来发现在后面的内容提要中有这样一段话“为了减少学习中的困难 ,我们规定本章中如果没有特别说明 ,根号内所有的字母都表示正数 .” .无独有偶 ,《全日制普通高级中学 (实验修订本·必修·数学》数列部分有这样一个典型例题 (P1 31 例 3)例 2　求和 :(x+ 1y) + (x+ 1y2…     

不等式问题错解八例

本文列出八道不等式问题的错误解答 ,他们集中反映了中学生学习不等式时常犯的错误 ,你能知道错在哪里吗 ?正确解法又是什么 ?今后如何避免类似错误的发生 ?请先独立思考 ,然后再看错解分析与正确解答 .1)已知x ,y∈R+ ,且x +y =9,求 1x+9y的最小值 .错解 :∵ 1x +9y ≥ 2 1x·9y =6xy≥6x +y2=12x +y=129=43 ,∴ 1x+9y min=43 .2 )已知 0 0 ,∴m +8mx -x2 =m -x +x +8x(m -x) ≥ 33 (m -x)·x· 8x(m -x) =6,∴ m +8mx -x2 min=6.3 )不等式 (a2 -9)x2 +2 (a -3 )x -2 …     

也谈简易逻辑学习中的错误理解

贵刊2006年12期刊载的文[1]读后受益匪浅.在平时教学中,有许多老师常会犯这样一个错误,即认为:命题“若p则q“的否定形式为“若p则非q“,即命题的否定形式是仅对命题的结论加以否定.“这个结论是不正确的.我们可以用真值表来回答这个问题:……     

关于一道国际数学竞赛题的一点思考

一九六七年在南斯拉夫举行的第九届国际中学生数学竞赛中,有一道试题是: 运动会开了n(n>1)天,发出m个奖牌。第一天发出一个,加上余下的(m-1)个奖牌的1/7;第二天发出2个,再加上余下的奖牌的1/7;如此继续下去,最后第n天,恰好发出余下的n个奖牌。问运动会共开了几天7共发了多少个奖牌? 题目的答案是n=6,m=36,即运动会开了6天,共发了36个奖牌。证明这个结论也不是十分困难的。我们认为,在给学生解答这个题目之后,除要求掌握本题的解题思路与证明方法之外,还应该引导他们继续思考、探索。首先,我们会想到运动会开的天数6与发出的奖牌数36与     

也谈简易逻辑学习中的错误理解

贵刊2006年12期刊载的文[1]读后受益匪浅.在平时教学中,有许多老师常会犯这样一个错误,即认为:命题“若p则q“的否定形式为“若p则非q“,即命题的否定形式是仅对命题的结论加以否定.“这个结论是不正确的.我们可以用真值表来回答这个问题:……     

整数的平方的一些性质

在国内外的数学竞赛题中,有一些题目的解法实际上只用到了整数的平方的某些性质,所涉及的知识是相当少的;但是,对于不习惯于利用这些性质的人,又会感到这些题目有一定的难度。本文打算通过一些例子,向中学生介绍这方面的解题方法。一、大家知道,所有的整数可以分为偶数和奇数两大类。偶数能表为2k的形式,奇数能表为2k 1的形式,这里k是整数。先看偶数的平方,由于(2k)~2=4k~2,可见任何偶数的平方能被4整除。再看奇数的平方,(2k 1)~2=4k~2 4k 1=4k~2(k 1) 1,由于k与k 1是相邻的两整数,故其中恰有一偶数,因此4k(k 1)能被     

已知y=Asin(wx+)+k的图象求其表达式的教学

本期师大学生到我校进行教育实习,在高一试教了“任意角的三角函数”一章,结束时我们对本章内容进行了一次测试,其中有这样一道题目:“已知函数 y=Asin(wx+(?))+k,其图象如图所示,试确定该函数的表达式并写出其单调区间.”结果发现有不少的学生将函数的表达式错误地写成了:     

2004年高考数学模拟训练试题

选择题　本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项符合题目要求 .1.设集合M ={x|x =4k± 1,k∈Z} ,N ={x|x =2k +1,k∈Z} ,其中Z表示整数集 ,则下列各项错误的是 (　　 )(A)M∪ (CZN) =Z .　 (B) (CZM )∩N = .(C)M =N . (D)M∪N =Z .2 .已知a ,b是两个单位向量 ,下列命题中错误的是 (　　 )(A) |a|=|b|.(B)a·b =1.(C)a与b方向相反时 ,a +b =0 .(D)a与b方向相同时 ,a =b .3.设命题 p :3≤ 4 ,q :5 6∈ [6 5 ,+∞ ) ,则三个复合命题 :“p且q” ,“p或q” ,“非 p”中 ,真命题的个数为 (　　 …     

简易逻辑中的错解·剖析·对策

高一《数学》新教材第一册 (上 )中增加了“简易逻辑”内容 ,本意是让学生自觉地使用逻辑规则 ,避免逻辑错误 ,提高思维能力 .但由于是新增内容 ,不少教辅书也常犯一些典型错误 ,学生更是在不少问题的看法上出现了正与误的激烈争执 .本文笔者就此给出剖析与对策 .问题 1　“方程 x2 - 4=0的两根是 x=± 2”这个命题是“p或 q”形式的复合命题吗 ?(教材 P2 6 - 2(3)改编 )误解　 p:方程 x2 - 4=0的根是 x=2 ,q:方程 x2 - 4=0的根是 x=- 2 ,原命题是“p或 q”形式的复合命题 .剖析　 p,q命题均为假 ,按真值表 ,“p或 q”也为假 ,与原命题为真…     

高中数学易错题举例解析

高中数学中有许多题目,求解的思路不难,但解题时,对某些特殊情形的讨论,却很容易被忽略.也就是在转化过程中,没有注意转化的等价性,经常会出现错误.同时,学生在解题时,对所给题目缺乏全面细致地考虑,往往出现对问题的漏解.下面列举数例,希望能对学生克服思维的片面性,养成严谨缜密的思维品质有所帮助.一、忽视隐含条件,导致结果错误例1求函数y=x2+4x+3x2+x-6的值域错解(用判别式法)将原函数变形得:(y-1)x2+(y-4)x-3(2y+1)=0①当y=1时,①式化为-3x=9,有解x=3;当y≠1时,∵①式中x∈R∴Δ=(y-4)2+4×3(y-1)(2y+1)≥0即:25y2-20y+4≥0,解这个不…     

一道几何题的变化和推广

初级中学数学课本《几何》第二册第39页有这样一道题目: 已知:△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是角平分线.求证:(1)BD=AD。(2)△ABC∽△BCD。(3)BC=(5~(1/2)-1)/2AB≈0.618AB。     

从一道试题剖析用数学归纳法证题时的常见错误

我市部分重点高中上学期末进行了联考 ,试卷中有这样一道题 :已知数列 { an}中 ,a1= 3,其前 n项和 Sn满足 Sn=6 - 2 an+1 ,计算a2 ,a3 ,a4,然后猜想出 an 的表达式 ,并证明你的结论 .此题是道好题 ,不但好在它新颖 ,灵活 ,而且好在它的解答过程可以检测学生可能出现的多种错误 .在求出 a2 =32 ,a3 =34,a4=38后 ,不难猜出 an=3.(12 ) n-1 ,因为题目未指明证明方法 ,所以 ,可以用数学归纳法证 ,也可以用其它方法证 .在证明过程中 ,果然同学们的答案里出现了多种错误 .错解 1　证明 :a1 =3,n≥ 2时 ,an =Sn- Sn-1 =6 - 2 an+1 - (6 - 2 an)=2…     

一道易错题的“深度思考”

1 困惑题目:设点P(x0,y0)是⊙O:x2+y2=r2外一点,则直线l:x0x+ y0y=r2与⊙0的位置关系为___.对于这么一个简单题目,有的同学无从下手,有的同学错误百出,更让人疑惑的是有的同学竟然一错再错.这一教学现象引发笔者去思考学生产生“错误”的各种原因,去思考解决问题的对策与方法.     

让探索成为数学课堂教学的主线

有一天 ,王萍、傅丽丽两位同学来到我的办公室 ,请我给她们做一次“裁判”.事情的起因源于一道习题 :在等比数列 {an}中 ,已知 a2 =2 ,a6=8,求 a4.王萍同学解法是 :设公比为 q,∵　 a6=a2 q4,　∴　 q4=4 ,得 q2 =2 ,∴　 a4=a2 q2 =4 .而傅丽丽同学则是这样解的 :由等比数列性质可知 a2 ,a4,a6成等比 ,故 a24=a2 a6=1 6 ,　∴　 a4=± 4 .两位同学都确信自己的解法没错 ,而结果却不一致 ,但又不能指出对方的解法错在何处 ,于是想到请我这个老师帮忙“指点迷津”.我对两位同学善于探索、敢于提问的精神表示赞许之后 ,并不急于向她们亮出“谜…     

轮换数的求和问题

我曾看过这样一篇文章 ,文中说一个两位数与它的倒转数的和都是 1 1的倍数 ,并且这个和除以 1 1的商 ,正好是这个两位数个位、十位上数字的和 .例如 :6 3+ 36 =( 6 + 3)× 1 1 .看完这篇文章后 ,我不禁想到这样一个问题 :既然两位数有上述规律 ,那三位、四位数是否也有类似规律可寻呢 ?那么就让我们一起来探讨一下吧 !如 :2 34+ 2 4 3+ 32 4 + 342 + 4 2 3+ 4 32 =1 998=2× ( 2 + 3+ 4 )× 1 1 1 ,348+ 384 + 4 38+ 4 83+ 834+ 84 3=3330=2× ( 3+ 4 + 8)× 1 1 1 .观察每个算式左边六个数 ,我发现每个加数都是相同数字组成的三位数在百位…     

学习几何,重在联想——从一道竞赛题想到的

2010年全国初中数学联赛试题中有这样一道题:例1在△ABC中,已知∠CAB =60°,D,E分别是边上的点,且∠AED=60°,ED+ DB=CE,∠CDB=2∠CDE,则∠DCB=A.15°B.20°C.25°D.30°分析考虑到题目中给出的已知条件“ED+ DB=CE”,辅助线可能有两种作法:①在CE上截取;②延长DB.     

极坐标中常见错误浅析

同学们在学习极坐标时 ,由于受直角坐标学习中形成的思维定势的影响 ,常犯下述几种错误 ,现剖析如下 ,望能引起同学们注意 .1　忽视极点的极角可取任意值致误例 1　化直角坐标方程 2ｘ - 5ｙ =0为极坐标方程 (必修课本Ｐ1 3 5 第 3( 3)题 ) .错解 :当ｘ≠ 0时 ,由 2ｘ - 5ｙ =0得 ｙｘ =25,即ｔｇθ =25;当ｘ =0时 ,ｙ =0 ,从而 ρ =ｘ2 ｙ2 =0 .故所求极坐标方程为ｔｇθ =25或 ρ =0 .分析 :这个解法虽没有什么“原则性”错误 ,但“ρ= 0”却是一只“蛇足” ,应截去 .事实上 ,由于极点的极角可以取任意值 ,在这些值中 ,必有一个能满足ｔ…     

过一点双曲线有四条切线

众所周知,过一点的双曲线最多只有两条切线。但是,笔者却可以求出四条。题:求通过点p(O,-1)的双曲线x~2-4y~2=1的切线。解:设过点P的切线方程为y=kx-1,下面由切线与双曲线有唯一交点来确定k。把y=kx-1代入x~2-4y~2=1并整理,得 (1-4k~2)x2 8kx-5=0 (＊) 当1-4k~2=0,即k=±1/2时,方程(＊) 有唯一解,从而直线与双曲线有唯一交点。当1-4k≠0时,令△=16k~2 20(1-4k~2)=0得k=±5~(1/2)/4,即k=±5~(1/2)/4也为所     

特例在教学中的地位与作用

特例在教学中的地位与作用相当重要,这不仅因为忽视特例会导致不易发觉的错误,而且特例常常是研究问题的起点,由特例可进而研究一般规律,再用以指导特殊问题的解决。一、忽视特例的错误举例初中低年级学生常犯这样的错误: 问:“α~2是怎样的数?”答曰:“正数。”问:“3.14是什么?”答曰:“圆周率π。”这是在特例上易犯错误的典型例子。前者忽视了α可能取零这一特例,犯了概括不全的错误,这是由于违反了科学分类的不重不漏的原则所致;后者以π的近似值中的某一特例代替一般,犯了仓猝概括的错误。忽视特例是学生常犯的思考不周的毛病,这是在逻辑的严谨性上犯错误的表现之一。类似的错误并不少见,下面再列举几个摘自书刊及作业中的例子。