相交圆内接蝶形的等积性质

笔者对相交圆内接蝶形进行探究时,得到了两个有趣的等积性质.定义两圆相交,若一个圆的圆弧含于另一个圆内,则称此段圆弧为该圆的内弧;若一个圆的圆弧不含于另一个圆内,则称此段圆弧为该圆的外弧.其中内弧和外弧均不包含两圆交点.如图1所示,(AGB)为⊙O2的内弧,ACB为⊙O1的外弧.     

正圆有向图中的弧不相交的Hamilton路和圈

2012年,Bang-Jensen和Huang(J.Combin.Theory Ser.B.2012,102:701-714)证明了2-弧强的局部半完全有向图可以分解为两个弧不相交的强连通生成子图当且仅当D不是偶圈的二次幂,并提出了任意3-强的局部竞赛图中包含两个弧不相交的Hamilton圈的猜想.主要研究正圆有向图中的弧不相交的Hamilton路和Hamilton圈,并证明了任意3-弧强的正圆有向图中包含两个弧不相交的Hamilton圈和任意4-弧强的正圆有向图中包含一个Hamilton圈和两个Hamilton路,使得它们两两弧不相交.由于任意圆有向图一定是正圆有向图,所得结论可以推广到圆有向图中.又由于圆有向图是局部竞赛图的子图类,因此所得结论说明对局部竞赛图的子图类――圆有向图,Bang-Jensen和Huang的猜想成立.     

平行四边形与平行六面体的两个性质

性质1若平行四边形的两条对角线长为定值且相交于点O,以O为圆心的圆半径为r,则该圆上任意一点与平行四边形各顶点连线的距离平方和为定值.证明如图1,不妨设AC=2a,DB=2b,则OA=OC=a,OB=OD=b,PO=r.     

相交圆内接三角形的性质及应用

两圆相交于 A、D,过 D 任作割线分别交两圆于 B,C,我们称△ABC 为相交圆内接三角形.(见图1),相交圆内接三角形有下述三条性质.性质一相交圆内接三角形的三个内角均为定值.(证明略)这个性质揭示了相交圆内接三角形三内角的角度不变性,它对解决某类定值问题常常会有所启发.     

两圆相交的两条性质及应用

两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地.由此我们也获得了两相交圆的一系列重要性质.本文介绍其中的两条性质及应用的几个例子。下面的性质1及其推论也就是贵刊88年第5期中的《相交圆内接三角形的性质及应用》一文的三条性质.以一交点为一顶点,过另一交点的割线为对边的三角形叫两相交圆的内接三角形。性质1 相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值.(如图1,△AEC为其内接三角形) 推论1 在相交两圆中,内接三角形都相似。推论2 在相交两圆中,若内接三角形的一边与公共弦垂直,则另两边必分别为两圆直     

三角形外心与重心的一个性质的推广

命题设G为△ABC的重心,AG,BG,CG与△ABC的外接圆相交于D、E、F,则AGGD GBEG GCFG=3.该题是《数学通报》征解题387.文[1]把它推广为:定理若P是△ABC的外接圆内的点,AP,BP,CP与外接圆交于D、E、F,O是外心,G是重心,P点落在以OG为直径的圆上的充要条件是APPD PBEP PCFP=3.本文把这个性质推广到n边形的外接圆内的点.设A1A2A3…An是⊙O的内接n边形,Ai(i=1,2,…,n)在以圆心为原点的平面直角坐标系内的坐标为(xi,yi),与三角形类似,定义1n∑ni=1xi,1n∑i=n1yi为n边形重心G的坐标.则有定理1P为n边形A1A2A3…An外接圆内一…     

圆锥曲线一个几何性质的补充

本刊文 [1 ]将文 [2 ]的关于抛物线的一个几何性质推广到了椭圆及双曲线中 ,几个结论综合起来是与圆锥曲线对称轴有关的一个性质 .但文[1 ]中所述的性质只涉及到曲线焦点所在的对称轴 ,而遗漏了另一对称轴的情形 .另外 ,这个性质对圆也是成立的 .作为文 [1 ]的补充 ,本文再给出以下三个结论 .定理 1　设Ａ是以Ｏ为圆心、Ｒ为半径的圆内异于Ｏ的任意一点 ,Ｂ是ＯＡ延长线上的一点 ,且｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜=Ｒ2 ,(1 )若过Ａ点引直线与这个圆相交于Ｐ ,Ｑ两点 ,则∠ＰＢＡ =∠ＱＢＡ ;(2 )若过Ｂ点引直线与这个圆相交于Ｐ ,Ｑ两点 ,则∠ＰＡＢ+∠…     

一道中考题的解题思路分析

题目(2011黄石)已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D.(1)如图1,若AC是⊙O2的直径,求证:AC=CD;(2)如图2,若C是⊙O1外一点,求证:O1C⊥AD;     

一道题引出的两个结论

2013年陕西高考理科有一题是：如图1,弦AB与CD相交于⊙O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知PD=2DA=2,则PE=.我在探索该题多种解法的过程中,发现了圆的切线的两个有趣结论.结论在⊙O中,任作两条相交弦AB、CD,AB与CD交于E,若BC与AD不平行,过E作BC的平行线,     

初三几何第二学期自测题

A组 一、填空题(每小题3分,共计30分) (1)如果两圆的公切线只有两条,那么这两个圆的位置关系是_. (2)如果一个多边形的内角和等于720°,那么这个多边形的边数是_. (3)已知正六边形的边长为a,则其内切圆与外接圆组成的圆环的面积为_. (4)两等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,且⊙O1经过圆心O2,则∠OAB=_. (5)若半径分别为1和2的两圆相切,则这两圆的     

双圆封闭折线一类特例研究

杨之先生在其名著[1 ] 中倡导研究的“双圆多边形”是指既有外接圆又有内切圆的多边形 .仿此 ,我们给出下面的定义　若一条封闭折线的顶点都在一个圆上 ,每条边都与另一个圆相切 ,则称该折线为双圆封闭折线 .相应地 ,若它的边数为 n,环数为 k,则称为 n边 k环双圆封闭折线 .图 1     

外切于圆的凸四边形的两条性质及推论

外切于圆的凸四边形有如下的两个结论,我们以定理的形式介绍. 定理1 外切于圆的凸四边形中,若一双对边的延长线相交,则另一双对边中的一条边的一端点处的内角平分线与另一端点的切点弦直线相交,所得两交点的连线平行于这一条边.     

一个有用的推论

通常,我们把顶点在圆上、两边都和圆相交的角称之圆周角,同样,我们不妨把顶点在圆外(内),角的两边都和圆相交的角称之为圆外角(圆内角).类似于圆周角定理,圆外(内)角有以下有趣的结论:圆外(内)角的度数等于这个角(及角两边的反向延长线)与圆相交所夹的两弧度数之差(和)的一半(下称推论). 一、推论的证明如图1,已知∠BAC与⊙O相交于D、E     

曲线凹向判定定理的一个证明

<正> 关于函数y=f(x)的图形的凹凸性的定义,一般高等数学教材大致有两种。定义1 若曲线弧位于其每一点处切线的上方,则称此曲线弧是向上凹的;若曲线弧位于其每一点处切线的下方,则称此曲线弧是向下凹的。定义2 设f(x)在[a,b]上连续,若对于(a,b)内任意两点x_1,x_2,恒有     

一道高考试题的再推广

文[1]给出了2006年湖北省高考数学第20题的一个推广． 命题1若A，B分别为椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左、右顶点，设P为右准线上不同于点（a^2/c，0）的任意一点，若直线AP，LBP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N．则点B在以MN为直径的圆内．     

三谈相交两圆的性质及应用

本文再给出相交两圆的几条性质及应用的例子.性质1两圆⊙O_1与⊙O_2相交于P,Q两点,△PO_1O_2的外接圆分别交⊙O_1于R,交⊙O_2于S,则点Q为△PRS的内心或旁心.证明如图1(1),由∠PRQ=1/2∠PO_1Q=∠PO_1O_2及∠PO_1O_2=∠PRO_2,有∠PRQ=∠PRO_2,即知R,Q,O_2三点共线.     

四面体外接球内一点的性质

文 [1]证明了关于三角形外接圆内一点的一个命题 ,即命题　设△ABC内接于圆O ,其重心为G ,P为圆O内一点 ,AP ,BP ,CP分别交圆O于A1,B1,C1,则 APPA1 BPPB1 CPPC1=3成立的充要条件是 :点P在以OG为直径的圆上 .本文将推广这一命题至三维空间 ,证明关于四面体外接球内一点的性质     

一个角何时不小于它的射影角

定义　设∠ BAC的两边分别与平面α相交于 B、C,AO⊥α于 O,我们把∠ BOC叫做∠ BAC在平面α上的射影角 (图 1 ) .对上述两个角 ,不少人误认为总是射影角大 ,为更正这一错误 ,我们借助圆将空间问题平面化 ,简捷地给出一个角何时不小于它的射影角 .定理　在∠ ABC为钝角的△ ABC中 ,BC 平面α,AO⊥α于 O,以直线 BC为轴 ,依不超过 90°的旋转角将△ ABC及其外接圆旋转到平面α内 ,点 A到达 A′位置 ,则有 :( 1 )当点 O在圆上时 ,∠ BAC=∠ BOC;( 2 )当点O在圆外时 ,∠ BAC >∠ BOC.证明　设 AH⊥ BC于 H ,由∠ B为钝角…     

与圆有关角的性质

<正>我们知道与圆有关的两种角即圆心角和圆周角,它们之间的数量关系是"同弧或等弧所对的圆周角都相等,都等于该弧所对圆心角的一半或者等于该弧度数的一半".其实还有一些与圆有关的角如图1中的∠P,它的顶点在圆外,并且两边都和圆相交,我们把这样的角叫圆外角;像图2中的∠APD、∠DPB、∠BPC和∠CPA等,顶点在圆内,并且两边都和圆相交的角称为圆内角,当圆内角的顶点     

正则卵形线的一些性质

本文建立正则卵形线的弦切角与曲率关系,利用此关系以研究弧上曲率的变化是比较方便的,由此不仅简单的得到S. B. Jackson之结果(系2)及W. C. Graustein之曲线之性质(系3);而且得到下列正则卵形线之性质: 定理1.一正则卵形弧具有顶点之充份及必要条件是有一圆存在,此圆与弧至少相切于二点,若此卵形弧有一段弧是圆弧的话,则此二切点不同在此圆弧上。定理2.设A_1,A_2,…,A_(2n)依次为一正则卵形线之顶点。A_1,A_3,…,A_(2n-1)之曲率为极小;A_2,A_4,…,A_(2n)之曲率为极大。顺次连结各顶点成一内接多角形,则