一个几何命题的推广

1引子 在全国第5届初等数学研究学术交流会（2003年8月，赣州）闲暇，杨世明先生与笔者谈起一道平面几何习题，即下面的     

一个几何命题的证明

一个几何命题的证明李迪淼（湖南洞口一中４２２３００）《立体几何》必修本Ｐ８３有这样一个未加证明的结论：“在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．”也就是说有如下的命题在球面上，经过两定点的大圆的劣弧长小于过这两点...     

一个几何命题的应用

命题求证任意三角形的外心到一边的距离等于它的垂心与这边所对顶点距离的一半。这是一道众所周知的几何命题,在证题中,凡遇到具有三角形外心和垂心等条件的一类较复杂的证明题,往往可以应用此命题简捷地给出证明,现列举几例如下: 例1 如图1.已知O、G、H分别是△ABC的外心、重心和垂心,求证C、G、H共线,且GH=2GO。证明作CM⊥BC于M,连结AM和AH,则AM为△ABC边BC上的中线;连结OH交AM于     

一个几何命题及其应用

命题过定角内一定点的直线与角两边围成的诸三角形中,当定点是该边中点时,此三角形面积最小。证明如下左图,M为定角∠O内一定点;直线AB过点M与∠O两边分别交于A、B,且AM=MB;任一直线A′B′过点M与角两边分别交于A′、B′。过B作BC//OA(若B在OB′延长线上,则A     

一个几何命题的简捷证明

本刊2004年10月下刊登了“一道国外大学入学试题的初中解法”,文中所涉及的内容曾在2001年10月下“从一个被学生发现的几何定理谈起”讨论过．本文所给出的命题将扩大上述两文的知识内容,而证明十分简捷．     

一个组合几何命题的重新证明

1 一个几何定理溯源 文献[1]证明了杨路教授提出的如下问题: 定理1 一个平面凸四边形,经过其中三个顶点可作一个圆,这样可得到4个圆(不排除其中有重合).如果这4个圆中有3个是等圆,则此4顶点共圆.     

一个几何命题的证明及其应用

过直角三角形直角顶点的角平分线截这个直角三角形的外接圆,所截得的线段长等于两直角边和的(√2)/2倍.这个事实用数学语言表示为:     

一个几何命题的证法与延伸

《数学通报》2 0 0 0年第 1 2期 1 2号数学问题中给出了这样一道题目 :1 2 86　直三棱柱ＡＢＣ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 中 ,ＡＢ1 ⊥ＢＣ1 、ＢＣ1 ⊥ＣＡ1 、ＣＡ1 ⊥ＡＢ1 (如右图 ) .求证 :该棱柱是正棱柱 .题中简捷的条件 ,直观的结论颇耐人寻味 ,《数学通报》2 0 0 1年第 1期给出的证法图形复杂 ,处理起来有一定的难度 ,今将自己的所得整理成下文 ,供同行参考 .1　关于命题的证明图 11 1　割补法证法一　如图 1在直三棱柱ＡＢＣ-Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 的下面补上一个与之完全相同的直三棱柱 ,并设ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ的长分别为ｃ、ａ、ｂ,设原直三棱柱的高…     

一个数学命题的三种几何解释

新编教材《高中数学》第二册 (上 )Ｐ11习题6.2题 3 :已知ａ ,ｂ都是正数 ,求证 :21ａ+1ｂ≤ａｂ≤ａ +ｂ2 ≤ ａ2 +ｂ22 当且仅当ａ =ｂ时等号成立 .通常称 ａ +ｂ2 为算术平方数 ,ａｂ为几何平均数 ,21ａ+1ｂ为调和平均数 ,ａ2 +ｂ22 为二次幂平均数 .教材中给出了ａｂ≤ ａ +ｂ2 的一种几何解释 (从略 ) ,现给出这一命题的另外几种几何解释 ,供同学们学习时参考 .1　以直角三角形为基础 ,构造模型图 1如图 1 ,以 ａ +ｂ2(ａ >ｂ)长的线段ＡＢ为直径作半圆 ,以Ａ点为圆心 ,ａ -ｂ2 长为半径作弧交半圆于Ｃ ,连结ＡＣ ,ＢＣ ;过点Ｃ作ＣＤ…     

一个有用的规律

企一些课外资料上,有这样一道题: 过已知点M(1,4)引直线l,使l在两坐标轴_{几的截距为正值,_日_所围的面积最小,则直线l]’l勺方程为__.答案是lx+2刀~8=。,化成截距式,为二1,可以看出,它在:轴和穿轴的截距分别夕一OC +戈一勺山是点盯的坐标的两倍,这是偶然的巧合,还是一个可循的规律呢,我们不妨将特殊间题一般化: 过巳知点,习(a,b)(月,中a>0,丙>0),弓直线l使l在两坐标轴土的截距为正值,且所围的面积最小,则直线l方程为刀︺一︸石仃 山丁﹄a解:如图,在坐标系上作直线l。::二1交x刀轴分别为D、刀.过4作直线{。。//l。‘.交x、方轴为召、+乒=1…     

一个有用的推论

通常,我们把顶点在圆上、两边都和圆相交的角称之圆周角,同样,我们不妨把顶点在圆外(内),角的两边都和圆相交的角称之为圆外角(圆内角).类似于圆周角定理,圆外(内)角有以下有趣的结论:圆外(内)角的度数等于这个角(及角两边的反向延长线)与圆相交所夹的两弧度数之差(和)的一半(下称推论). 一、推论的证明如图1,已知∠BAC与⊙O相交于D、E     

“一个几何命题的推广”的向量证法

文[1]中对一道平面几何题进行了推广，读后深受启发，但笔者试着用向量证明文[1]中的命题．现介绍如下：为了方便用向量证明文[1]中的命题，先给出一个.     

“一个几何命题的推广”的向量证法

文[1]中对一道平面几何题进行了推广,读后深受启发,但笔者试着用向量证明文[1]中的命题.现介绍如下:为了方便用向量证明文[1]中的命题,先给出一个引理已知向量a=(m,n),b=(p,q),现定义向量间的一种运算“*”:c=a*b=(mp-nq,mq np).则c是这样一个向量:把a的模变为原来的|b|倍,并按     

调和点列背景下一个几何命题的推广

1.引言近日在网上看到一个几何问题(见微信公众号叶军数学工作站《数学爱好者通讯》(第87期),由赵忠华老师提出的问题研究B):问题1如图1,△ABC的旁切圆☉O与边BC切于点D,与边AC,AB的延长线切于点E,F,DD₁为☉O的直径,过DD₁上任一点G作AD的垂线,分别与线段D₁F,D₁E相交于点M,N,证明:GM=GN.     

一个使折弦变直弦的几何命题

我们把圆上有一个公共端点所引的两条弦组成的图形称为折弦,如图(1),弦AB和BC组成⊙O的一条折弦ABC,相对折弦通常所说的弦称为直弦.     

一个有用的代数恒等式

一个有用的代数恒等式周永国（湖南沅陵六中）定理的证明很简单，只要将①式右边各项分别展开，然后合并同类项即得左边，①式是一个很有用的恒等式，运用它既可以证明等式和不等式，又可以加强不等式．兹举几例说明之．一、证明恒等式例１设ａ、ｂ、ｃ，面分别表示ＡＢＣ...     

一个有用的三角等式

先看一个例题: 例1 证明tg3°tg17°tg23°tg37°tg43°××tg57°tg63°tg77°tg83° tg27°初看起来等式左边很有规律:3°、17°、23°、27°…,然而一旦动手做,你便会觉得这些数字与“27”很难联系,因而难以凑效,有兴趣的读者不妨先试一试。有一个三角等式却对证明这道题大有用处。这个等式就是:tg3a=tgatg(π/3-a)tg(π/3+a)关于这个等式的证明很简单,只须两边分别展开比较即得。下面应用它来证明上例:     

三角函数中的一个有用定理

定理 已知f（x）=Acosx＋Bsinx（A,B为常数）,若实数a,b满足f（a）=f（b）=0且a—b≠mπ（m∈Z）,则A=B=0．     

介绍一个有用的三角不等式

杜锡录先生在今年本刊第6期上给出了一个形式完美的勾股定理逆定理: 在△月淤中.如果(,’二a’十b’(tl)l).则最大角C的最小值泡一~胜弃. 杜先生在文中的结尾处写道:对于、是整数的情况.至今还没有找到一个初等的证明. 事实上,对于月是整数时.是存在一个十分简捷的初等证明的.这个初等证明依赖于下面这个很有用处的三角不等式: e仍,·切+、in:·甲)2,一,.(:〔八’,(,) 不等式(,》的证明可借助配凑法来完成. 姗2,甲+、爪nZ,甲 一‘…”’·畦丛宁二土全)+‘51一+圭冉井生)一豁)二、瓜、(令)一十:、人n、〔去)一客一V一r、2’r’一V一r、2.…