圆锥曲线一个统一性质的简单证明

文[1]给出了如下性质:性质设圆锥曲线E的一个焦点为F,相对应的准线为l,过焦点F的直线交圆锥曲线于A,B两点,C是圆锥曲线E上的任意一点,直线CA,CB分别与准线l交于M,N两点,则以线段MN为直径的圆必过焦点F.文章就抛物线、椭圆和双曲线情形分别加以证明,非常繁琐,而且关键部分语焉不详.本文将给出     

圆锥曲线的一个性质定理及其推论

最近,在高考复习中笔者“无意识”发现了圆锥曲线这样的一个美妙性质:定理如图1,F是圆锥曲线的焦点,l是其相应的准线,过焦点F作直线交圆锥曲线于A,B两点,M是准线l上的任意一点,则直线MA,MF,MB的斜率成等差数列.证以焦点F为坐标原点,过焦点F且垂直于准线的直线为x轴,建立如图1所     

圆锥曲线的一个性质定理及其推论

最近，在高考复习中笔者“无意识”发现了圆锥曲线这样的一个美妙性质： 定理 如图1，F是圆锥曲线的焦点，l是其相应的准线,过焦点F作直线交圆锥曲线于A，B两点，M是准线l上的任意一点，则直线MA，MF,MB的斜率成等差数列．     

圆锥曲线“准点”的又一个性质

圆锥曲线准线和对称轴的交点叫做准点.文[2]在文[1]的基础上推出了几个十分新颖的性质,其中定理1是:F是横向型圆锥曲线焦点,E是与焦点F相应的准线和对称轴的交点,经过E且斜率是k的直线交圆锥曲线于A,B两点,e是圆锥曲线的离心率,若     

一个新性质的统一证明及本质

文[1]给出了圆锥曲线的一个新性质:性质已知直线l是圆锥曲线Γ的焦点F对应的准线,过l上一点P作曲线Γ两条切线PA,PB,A,B为切点,过PF的中点D且平行于直线l的直线l’与PA,PB分别交于点M,N,记△AFM,△PMN,     

圆锥曲线焦点弦的一个性质

文[1]给出了圆锥曲线的一个统一性质:已知A,B是圆锥曲线C上关于x轴对称的任意两个不同的点,点P是C的准线与x轴的交点,直线PB交C于另一点E,则直线AE恒过曲线C的(与准线相对应的)焦点F.显然,AE是圆锥曲线的一条焦点弦.通过研究该性质的逆命题,我们可以得到如下的与焦点弦有     

圆锥曲线一个有趣性质的再推广

文[1]中给出了如下性质:性质过圆锥曲线E的一个焦点F的任一直线(不与焦点所在坐标轴重合)交E于不同两点,和另一焦点F′相对应的顶点与这两点的连线分别和F相对应的准线交于另两点,则以准线上     

《圆锥曲线焦点弦的一个性质》一文的补充和推广

在文 [1 ]中给出如下结论 :定理 1　设AB ,CD是圆锥曲线过焦点F的两动弦 ,弦端点连线AC ,BD交于点M ,则M的轨迹是圆锥曲线的相应准线 .本文对文 ( 1)的证明做些补充并给出定理1的推广形式 .1　补充在文 [1]中给出的定理 1的证明 ,其实是仅证出点M一定在准线上 ,还应补证 :准线上任意一点M ,都存在过焦点的两条弦AB ,CD使AC ,BD的交点为M .补充如下 :设点M( ρ0 ,θ0 )是圆锥曲线E的准线l:ρcosθ=-p上任意一点 ,过点M做直线AC交E于A( ρ1 ,θ1 ) ,C( ρ2 ,θ2 ) ,延长AF ,CF分别交E于B( ρ1 ′,θ1 π) ,D( ρ2 ′,θ2 π)…     

也谈一条美妙性质

文[1]给出了圆锥曲线的一条美妙性质,本文给出更为一般的情形. 定理过圆锥曲线准线上一点作该曲线的两切线,两切点所在直线过相应的焦点(其中双曲线准线上的点应在两渐近线之间).     

圆锥曲线的一个几何特征

由圆锥曲线的定义很容易得出圆锥曲线的如下几何特征 ,利用这一性质可将文[1 ][2 ]中的命题进行推广 .定理　经过圆锥曲线准线上一点的直线 ,与该曲线交于两点 ,这点与相应焦点的连线平分焦点张两交点的角或其邻补角 .证明　设圆锥曲线的离心率为 e,一焦点为 F,相应的准线为 l,M为准线上任意一点 ,过 M的直线与圆锥曲线交于 P、Q两点 ,这两点在准线上的射影为 R、S.如图 1中 ,图 (甲 )为 e≤ 1 ,图 (乙 )为 e >1的情况 .图 1由圆锥曲线的定义及平行线的性质得 :| PF|| QF| =e| PR|e| QS| =| PR|| QS| =| PM|| QM| .由三角形的内 (…     

圆锥曲线切线的几个有趣性质

文[1]探讨了双曲线切线的几个有趣性质,受此启发,本文探讨了椭圆和抛物线等圆锥曲线,得到类似的性质.性质1:设F为圆锥曲线(离心率为e)的一个焦点,其相应的准线为l.一直线交圆锥曲线于点M、N,交l于点P,则FP平分∠MFN的外角.证明:如图1,过M、N作准线l的垂线,垂足分别为K、Q.由圆     

圆锥曲线中一组平行弦的性质

笔者在认真阅读贵F刊2007年第7期时,对《抛物线中一个有趣的等差数列》一文颇感兴趣,在学习之后,试图类比研究椭圆、双曲线的相关性质,现将所得结果与读者共享.在文(1)中有定理F是抛物线的焦点,E是抛物准线与对称轴的交点,O是抛物线的顶点,过F的直线交抛物线于A、B两点,过点O的     

圆锥曲线的一个新性质

笔者最近通过探究,发现圆锥曲线的一个新性质.即性质已知直线l是圆锥曲线Γ的焦点F对应的准线,过l上一点P作曲线Γ两条切线PA,PB,A,B为切点,过PF的中点D且平行于直线l     

圆锥曲线两个性质的推广

《数学通报》2 0 0 2年第 6期文 [1 ]给出了圆锥曲线的如下两个性质 :性质 1　若Ｆ是圆锥曲线的焦点 ,Ｅ是与焦点Ｆ相对应的准线Ｌ和圆锥曲线对称轴的交点 ,ＡＢ是过焦点Ｆ的弦 ,ＢＣ∥ＦＥ ,点Ｃ在Ｌ上 ,则直线ＡＣ平分线段ＥＦ .性质 2　若Ｆ是圆锥曲线的焦点 ,Ｅ是与焦点Ｆ相对应的准线Ｌ和圆锥曲线对称轴的交点 ,ＡＢ是过焦点Ｆ的弦 ,点Ｃ在Ｌ上 ,直线ＡＣ平分线段ＥＦ ,则ＢＣ∥ＦＥ .本文旨在将以上两个性质进行推广 ,即若将性质中的焦点Ｆ推广为圆锥曲线 (包括圆 )对称轴上的任意一定点 ,是可得如下若干结论 ,1　性质 1的推广定理 1…     

一个定点问题的研究性学习

文[1]认真研读天津2004年高考理科卷第22题,从中挖掘了圆锥曲线的以下性质:性质1设椭圆xa22 by22=1(a>b>0)的焦点为F,相应于F(c,0)(c>0)的准线l与x轴相交于点Aac2,0,过点A的直线交椭圆于点P,Q,过点P且平行于准线l的直线与椭圆交于另一点M,则M,F,Q三点共线.性质2设双曲线ax22-yb     

试题研讨(15)

题　 (华中师大一附中等校 2 0 0 3届高考模拟考试五月卷 )已知圆锥曲线 E的一个焦点为 F( 2 ,0 ) ,相应的准线为直线 x =1 ,且曲线 E过点 ( 2 ,2 ) .( )求圆锥曲线 E的方程 ;( )当过焦点 F的直线 l的倾角α在何范围内取值时 ,曲线 E上有且仅有两个不同的点关于 l对称 .命题溯源　自广东省 1 986年高考题考查了椭圆上存在两点关于直线对称来探求参数范围的问题后 ,各地模拟题相继变形为抛物线 ,双曲线等其他曲线上的类似考题 ,主要考查学生处理直线与圆锥曲线的位置关系的能力和“代点相减”的解题技巧 .评卷分析　学生对第 ( )问都能…     

圆锥曲线"准点弦"的几个性质

圆锥曲线焦点弦和顶点弦长问题是中学数学研究的热点,如文[1]和文[2],而对圆锥曲线“准点弦”(经过圆锥曲线准线与其对称轴交点的直线被圆锥曲线截得的弦)问题的研究并不多见.为此,笔者对圆锥曲线“准点弦”作了些研究,得到了几个性质,现说明如下,供读者参考.定理1经过横向型圆锥曲线的准线与其对称轴交点E作斜率为k或倾斜角为θ的直线L,L与圆锥曲线相交于A,B两点,圆锥曲线焦点F到相对应准线的距离为p,圆锥曲线的离心率为e,则｜AB｜=2p(1 k2)(e2-k2)｜1 k2-e2｜=2pe2-tan2θ｜secθ-e2cosθ｜.证明以EF所在直线为x轴,F为坐标原点建立直…     

与焦点弦有关的一个定比

在圆锥曲线中,焦点弦是一种比较特殊的线段,笔者发现焦点分焦点弦所得的两线段的长度,与焦点弦弦长之间存在如下的一个定比关系:定理已知圆锥曲线的离心率为e,焦准距(焦点到对应准线的距离)为|FM|,过焦点F的直线交圆锥曲线于两点A,B,则有     

圆锥曲线的两个性质

本文拟介绍圆锥曲线的两个性质.定理1已知圆锥曲线C的焦点为F1,F2,准线为l1,l2.P为曲线C上一点,过点P作平行于曲线C的对称轴的直线交l1,l2于点M,N,直线MF1,NF2交于点Q,则点P,F1,F2,Q四点共圆.证不妨设曲线C为椭圆,其方程为(x~2)/(a_2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0),则F1(-c,0),F2(c,0),设P(acosθ,bsinθ),N(a~2/c,bsinθ).     

圆锥曲线一个性质的再次推广

文[1]中给出了如下性质：性质1过圆锥曲线S的一个焦点F的任一直线（不与焦点所在坐标轴重合）交S于不同两点,和另一焦点F’相对应的顶点与这两点的连线分别和F相对应的准线交于另两点,则以准线上这两点为直径端点的圆必过S的焦点F．