例析求曲线切线的两种提法

在人教版B版书选修2-2第11项有这样的一段话:“由导数的几何意义可知,曲线y=f(x)过点(x0,f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)”.由此段话可知,过点P(x0,f(x0))的切线只有一条,真的是这样吗?我们不妨举例分析一下:例1过点P(1,1)作曲线y=x3的切线,求此切线方程.错解:由于P(1,1)在曲线y=x3上,则P(1,1)就是切点.易求得斜率k=f′(1)=3,从而切线方程为y=3x-2.分析上述解法漏解了.尽管P(1,1)在曲线上,但是切点是否只有一个,即过点P作切线是否只有一条,答案是不一定的.我们应该设出切点Q(x0,y0),则y0=x03,由y′=3x2得斜率k=3x02,从而切线方程为y-y0=…     

反函数函数的一种几何解释

设函数 y=f ( x)的反函数存在 ,且 f′( x)≠ 0 ,则其反函数 x=f- 1( y) (或记 x=φ( y) ,此处φ=f- 1)的导数也存在。在同一坐标系中函数与其反函数的图象是同一条曲线 ,如下图。关于函数 y=f ( x)在点 x处的导数 f′( x) ,其几何意义是曲线 y=f( x)在点 ( x,y)处的切线 l关于 x轴的斜率 ,从而有 dydx= f′( x) =tanα,其中α是切线 l与 x轴正向的夹角 ,同时记切线与 y轴正向夹角为 β。关于函数 x=f- 1( y) ( x=φ( y) ) ,在相应点 y处的导数为 φ′( y) ,其几何意义是曲线 x=f- 1( y) ( x=φ( y) )在点 ( x,y)处的切线 l,关于 y轴正向的…     

用导数的几何意义求切线方程的另一"误区"

文[1]举例剖析了用导数的几何意义求切线方程的一个“误区”,指出:“当点P在曲线y=f(x)上,要求过点P的切线时,一定要注意可能存在两种情况:一是点P本身即为切点;二是切线是以曲线y=f(x)上的另一点Q为切点,但该切线恰好过点P.”作为文[1]的补充,本文举例剖析另一“误区”.题目曲     

用导数的几何意义求切线方程的一个"误区" --忽视对切点的具体分析

曲线y=f(x)在点x0的导数f′(x0)就是曲线在该点的切线的斜率,我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题,但同学们在解题时常忽视对切点的情况进行具体分析,引起错解.本文仅对应用导数的几何意义求切线引起的误解进行剖析.     

一道例题的补正

同济大学编《高等数学》(第四版 )上册第 1 0 3— 1 0 4页有一道例 8“求曲线 y=x32 的通过点 (5,1 1 )的切线方程。”书中的解过程为 :“解 :设节点为 (x0 ,y0 ) ,则切线的斜率为y′| x=x0 =32 x | x=x0 =32 x0于是所求切线方程可设为y -y0 =32 x0 (x -x0 ) (1 )切点 (x0 ,y0 )在曲线 y=x32 上 ,故有y0 =x032 (2 )切线 (1 )通过点 (5,1 1 ) ,故有1 1 -y0 =32 x0 (5-x0 ) (3)　　求解方程 (2 )及 (3)组成的方程组的解为 x0 =4,y0 =8,代入 (1 )式并化简 ,即得所求切线方程为3x -y -4 =0 .”　　该题是过曲线外一点求切线问题。显然 ,过曲线 y…     

“在”与“过”的差别

<正>《数学课程标准》及《高考考试说明》中要求学生能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,会用导数函数的最值和极值.作为基础知识的导数的几何意义中,求曲线"在"某点处的切线和"过"某点的切线一类问题,让学生陷入了迷糊状态.下面举例来说明.例1曲线y=x³+x+1在点P(1,3)处的切线方程为___.解因为P(1,3)在曲线上,在该点处的切     

曲线中的切线问题

导数是解决函数的单调性、最值、不等式证明等问题的有力工具,其应用相当广泛,因而是每年高考考查的重点与热点,但考生在这里失分较多,利用导数求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,本文对此问题进行探索研究,归纳总结出了几种常见问题,供广大教师和同学们参考.1.给定切点的曲线切线问题例1求曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程.解因为点(0,1)在曲线y=xex+2x+1     

点P处的切线不同于过点P的切线

教材第三册 (选修Ⅱ )“导数的概念”一节 ,讲到导数的几何意义时 ,给出了两个例题 (例 3、例 4 ,P114— 115 ) ,都是利用导数求曲线上某一点P处的切线 ,也就是求以P为切点的切线 ,这样的切线只有一条 .如果求过点P的切线 ,就得另当别论 ,点P处的切线当然是过点P的切线 ,但过P点的切线却未必是点P处的切线 ,因为P点可能不是切点 ,从而这样的切线可能不只一条 .为了便于比较 ,我们把教材中例 3(P114)的 (2 )求点P处的切线 ,改为求过点P的切线作为例题 .图 1　例题图例题　如图 1,已知曲线 y =13x3 上一点P 2 ,83,求过点P的切线方程 .解…     

运用导数巧解题

导数是解决有关数学问题的有力工具,它的综合应用的多方面的,如求曲线上某点切线斜率、倾角、切线方程、判断单调性、求单调区间、函数的极值最值、运动物体速度、加速度等.而且导数与函数、三角、数列、不等式、向量、解析几何、立体几何等重要内容有密切的联系.一、求值例 1　若 |x|<12,求3arccosx-arccos(3x-4x3 )的值.分析:设原式为y,取x=0,得y=π,由此猜想原式的值为π,要证y=π只证yx=0即可解:设y为原式,取x= 0,得y=π,猜想y=π,欲证yx=0.证法一:y′=-31-x2+3-12x21-(3x-4x3 )2=31-4x2(1-x)(1+2x)2·(1+x)(1-2x)2　-11-x2=31-4x2(…     

从一道课本例题开始的研究性学习

在高中数学课本的《圆》这一章节中 ,有这么一道例题 :已知圆C的方程是x2 +y2 =r2 ,求证 :经过圆C上一点M(x1 ,y1 )的切线的方程是x1 x+y1 y=r2 .课本上给出的证明是 :方法一 :当OM与坐标轴都不垂直时 ,设直线OM的斜率为k1 ,切线斜率为k,根据圆的切线性质 ,得k=- 1k1 .因为k1 =y1 x1 ,所以k=- x1 y1 .于是经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是 y-y1 =- x1 y1 (x-x1 ) .经过整理 ,得xx1 +yy1 =r2 .当OM垂直于x轴时 ,经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是x =x1 ;当OM垂直于 y轴时 ,经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是 y=y1 .显然分别是在y1 =0或x1 =0时 ,方…     

对三次函数图象的切线的探究

人教社高中数学第三册(选修Ⅱ)第112页例3是:例如图1,已知曲线y=1/3x3上一点P[2,8/3],求(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线的方程.问题展示后,学生大多能迅速找到解题思路,并得到正确结果:(1)4;(2)12x-3y-16=0.接着笔者给出了如下变式,请同学们继续思考.变式已知曲线y=13x3上一点P(2,38),求过点P的切线的方程.经过讨论,我们对“曲线过点P的切线”和“曲线在点P处的切线”进行了区别,并求得变式题的切线有两条(如图2),方程分别为12x-3y-16=0与3x-3y 2=0.图2中,切线3x-3y 2=0与曲线有两个交点,过曲线上一点P可以作两条直线与曲线相切,…     

导数应用的一个探索

求作初等曲线的切线,方法较多,文章屡有发表。本文试图从导数的应用出发,另辟道路,作出新的尝试。可供中学教师作为辅导学生课外活动时参考。 函数y=f(x)在点x_0处的导数f′(x_0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在点x_0处的切线的斜率。     

幂函数曲线求切点坐标的失根问题--《高等数学》(同济四版)的一个勘误

一元函数微分学的几何应用是考虑平面曲线的切线问题 ,这也是考试中经常出现的一类问题。此类问题的关键是确定切点坐标。但《高等数学》[1] 第 1 0 3页例 8求曲线 y=x32 的通过点 ( 5,1 1 )的切线方程时 ,仅得到一条切线 3 x-y-4=0 ,在确定切点坐标的求解中出现失根。事实上 ,由方程　　　 1 1 -x320 =32 x0 ( 5-x0 ) ,　　令 t=x0 ,可得关于 t的三次方程　　　 t3-1 5t+2 2 =0 ,即 ( t-2 ) ( t2 +2 t-1 1 ) =0 .它有三个实根 :t1=2 ;t2 =-1 +2 3 ;t3=-1 -2 3。由于 t=x0 ≥ 0 ,t3应舍去。从而有　 x0 =4　或　 ( 2 3 -1 ) 2 ;相应地 ,y0 =…     

直线方程f(2x0-x,2y0-y)=f(x,y)的几何意义

文 ( 1 )给出了直线方程 x0 x y0 y =r2的几何意义 ,文 ( 2 )又给出了直线方程 x0 xa2 y0 yb2 =1的几何意义 ,两文的讨论仅涉及到圆和椭圆这两种最简单的标准方程 ,本文将把这种讨论推广到一般的常态二次曲线 .设常态二次曲线 L的方程为 f( x,y) =0 ,M( x0 ,y0 )为坐标平面内任一点 ,本文讨论下列方程 ( * )的几何意义 .f ( 2 x0 - x,2 y0 - y) - f( x,y) =0　 ( * )定理 1　设 M( x0 ,y0 )为常态二次曲线L :f ( x,y) =0内部一点 ,那么方程 ( * )的几何意义表示以点 M为中点的中点弦所在的直线 .证明　在曲线 L :f ( x,y) =0上任取一…     

过一点切线方程的另一种初等求法

先看一个具体问题:求过椭圆x42 y32=1上一点P(1,23)的切线方程.在中学阶段解决此类问题,一般采用Δ方法,即设切线方程为y-32=k(x-1),代入x24 y32=1,整理得关于x的一元二次方程:(3 4k2)x2 (-8k2 12k)x 4k2-12k-3=0,通过判别式Δ=(-8k2 12k)2-4(3 4k2)(4k2-12k-3)=0,解得k=-21,故所求切线方程为x 2y-4=0.这种方法思路直,用到知识少,学生容易掌握,不足之处是运算量偏大,出错率高.那么能否给出一种求解思路简单,而运算量又较小的方法呢?命题:P(x0,y0)为圆锥曲线C:f(x,y)=0上一点,则曲线C上过P点的切线方程为f(x,y)-f(2x0-x,2y0-y)=0(*)证明:因…     

综合题新编选登

题 1 2 7　过点 (0 ,1)的直线l与曲线C :y =x+1x (x >0 )交于相异两点 ,设曲线C在这两点处的切线分别为l1与l2 ,求l1与l2 交点的轨迹 .解　设直线l与曲线C交于点M (x1,y1) ,N(x2 ,y2 ) ,l1与l2 交于点P(x ,y) ,直线l的斜率为k ,方程为 y =kx +1.对 y =x +1x求导 ,得 :y′ =1- 1x2 .则 y′|x =x1=1- 1x21,y′|x =x2 =1- 1x21.故直线l1的方程为y - (x1+1x1) =(1- 1x12 ) (x -x1) ,即 y =(1- 1x12 )x +2x1(1)同理 ,可求得l2 的方程为y =(1- 1x22 )x +2x2(2 )(1) - (2 )得 (1x22 - 1x12 )x +2x1- 2x2=0 .由于x1≠x2 ,解得x =2x1x2x1+x2(3)由 …     

对2019年全国Ⅲ卷理科数学21题第1问的探究与推广

<正>2019年全国3卷理科数学第21题第1问:已知曲线C:y=x²/2,D为y=-1/2上一动点,过D作曲线C的两条切线,切点分别为A、B.(1)证明直线AB过定点.证明设A (x_1,y_1),B (x_2,y_2),D (n,-1/2).∵y=x2/2,D为y=-1/2上一动点,过D作曲线C的两条切线,切点分别为A、B.(1)证明直线AB过定点.证明设A (x_1,y_1),B (x_2,y_2),D (n,-1/2).∵y=x²/2,故y′=x,则切线DA方程为y-y_1=x_1(x-x_1)切线DB方程为y-y_2=x_2(x-x_2),     

例说导数中几个重要的关系

《极限与导数》这一部分内容是进一步学习微积分的基础,目前高中阶段的教材只向学生介绍一些最基础、最浅显的知识,因此,在知识的系统性和理论性方面就很难做到严谨、周密(尤其是使用人教版《数学》第三册(选修1)),但教师还是必须以学生能理解、接受的方式向学生讲清楚以下几个关系.1.函数在一点处的导数与曲线在这点处切线的斜率的关系一般地,函数y=f(x)在x=x0处的导数是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率.问:若函数y=f(x)在x=x0处无导数,曲线y=f(x)在x=x0处有切线吗?答:若函数y=f(x)在x=x0处无导数,曲线y=f(x)在x=x0处可能有切线,也可能无切…     

关于导数的复习

导数在高考中具有工具性的作用 ,主要表现在两个方面 :1)应用导数探索函数的单调、极值等性质及其在实际中的应用 ;2 )应用导数确定曲线的切线斜率 .这样一来 ,原来用初等方法难以解决的问题显得轻松 ,从而使函数、曲线这两大考查重点的命题范围得以拓展 .比如 ,在解析几何中 ,我们一般只求圆的切线 ,有了导数 ,我们会很方便地求曲线 y =x3-a ,y =1-axx 在点M (x1,f(x1) )处的切线 (参见2 0 0 2年高考题 ) ;仅从不等式的内部考虑 ,我们很难证明当x >1时 ,不等式x >ln(1+x)成立 ,有了导数 ,我们就可以利用函数 f(x) =x -ln(1+x)的单调性来证…     

用两圆公共弦的方程解题

解析几何课本 P6 1第 1 1题 :求经过两条曲线 x2 y2 3x - y =0和 3x2 3y2 2 x y =0交点的直线方程 .此题安排在曲线与方程这一节 ,我们认为目的有二 :其一 ,可以先求出两个交点再求直线方程 ;其二 ,可以从曲线与方程的关系的角度 ,设两曲线交于两点 A、B,则 A、B两点坐标也满足方程 ( x2 y2 3x - y) - ( x2 y2 23x 13y) =0即 7x - 4y =0 ,而此方程表示一条直线 ,又过 A、B的直线是唯一的 ,所以方程 7x - 4y= 0即为所求 .当圆的方程讲过后 ,我们便可以告诉学生 :方程 7x - 4y =0就是两圆x2 y2 3x - y =0和　 x2 y…