等差数列一个性质的再推广

文 [1 ]与文 [2 ]相隔近 2 0年先后都证明了下面等差数列的一个有趣性质 :若a1,a2 ,… ,an,an+1成等差数列 ,则当 2 ≤n∈N时 ,C0 na1-C1na2 +C2 na3-… +(-1 ) kCknak+1+…+(-1 ) nCnnan+1=0 (1 )文 [3 ]将这个性质给出如下推广 :设a0 ,a1,… ,an(n≥ 2 )成等差数列 ,则∑ni =0(-1 ) iaiCkk+iCk+ik+n =0 (2 )其中k为任意非负整数 .文 [4]又将上述性质 (1 )式给出另一形式的推广 ,即设 an 是等差数列 ,则当 3 ≤n∈N时 ,∑ni =r(-1 ) i-rCinCriai+1-r =0 (3 )本文将推广后的性质 (2 )与 (3 )式 ,再作出推广 .命题 1　设 an 是等差数列 …     

一个不等式的简证

文[1]用高等数学的方法证明了如下不等式： 设a，b，c〉0，a＋b＋c=1，则 （1/a-a）（1/b-b）（1/c-c）≥（8/3）^3 ① 很多文献给出了①的初等证法，但都比较难．下面给出一个简单证明．     

等比数列的一个性质

文[1]给出了等差数列的一个性质如下： 对于任意公差为d的等差数列{an}，且an≠0，总有：     

一道美国数学奥赛题的别证

题目 已知a,b,c是正实数,证明： （2a＋b＋c）^2/2a^2＋（b＋c）^2＋（2b＋c＋a）^2/2b^2＋（c＋a）^2＋（2c＋a＋b）^2/2c^2＋（a＋b）^2≤8 ① 这是2003年美国数学奥林匹克竞赛第五题,文[1]及文[2]分别用不同的方法对该题目作出精彩的证明,本文利用“变量标准化”方法给出该竞赛题的别证．     

一个不等式的另证与推广

题目设n、b、c为正实数,证明：（2a＋b＋c）^2/2a^2＋（b＋c）^2＋（2b＋a＋c）^2/ab^2＋（a＋c）^2＋（2c＋a＋b）^2/2c^2＋（a＋b）^2这是第32届美国数学奥林匹克试题,文[1]给出了该问题的一种证明方法,本文再给出另一种证明方法,并把它加以推广．     

相似椭圆的一组性质

文[1]，文[2]介绍和研究了相似曲线的概念和判定方法,由文[2]得椭圆x^2/α^2＋y^2/b^2=λ^2（0〈λ〈1）与椭圆x^2/α^2＋y^2/b^2=1相似（相似比为λ），本文将给出有关椭圆x^2/α^2＋y^2/b^2=λ^2（0〈λ〈1）与x^2/α^2＋y^2/b^2=1的一组性质。     

对一个不等式的简证及探究

文[1]给出并证明了如下不等式： 若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则有： （1/b＋c -a）（1/c＋a -b）（1/a＋b -c）≥（7/6）^3     

一个竞赛不等式的多方位推广

文[1]中给出了下列结果： 已知x1，x2，…，xn∈R^＋则 x1^2/x2＋x2^2/x3＋…＋xn^2/x1 ≥x1＋x2＋…＋xn＋4（x1-x2）^2/x1＋x2＋…＋xn （1）[编者按]     

一个无理不等式的类比

文[1]给出了如下不等式： 设a，b〉0，0〈λ≤2，则 √a/a＋λb＋√b/λa＋b≤2/√1＋λ（1）     

等差、等比数列的两个新性质

文[1]给出了等比数列的一个性质如下： 对于任意以a1为首项、q为公比的等比数列｜an｜（a1≠0,q≠0）,总有：     

一个三角不等式的证法探源及推广

文[1]给出引理：设：x∈（0,π/2）,a^3=1/3（a＞0）,则有sin^2x/1-sin^2x≥2a^2/（1-a^2）^2（sin^3x-a^3）＋a^2/1-a^2     

两个性质的完善与启示

文[2]在文[1]的基础上推出了如下两个性质： 性质1过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的顶点A的弦AQ交于y轴于点R，过双曲线中心O的半弦OP∥AQ，则｜OP｜^2=1/2｜AR｜·｜AO｜．     

一道巴尔干数学奥林匹克竞赛题的再推广

2005年巴尔干数学奥林匹克试题的第3题是： 设a，b，C是正数，求证： α^2/b＋b^2/c＋c^2/α≥α＋b＋c＋4（α-b）^2/α＋b＋c （1） 文[1]从变量的个数方面给出了一个推广：     

探究一类条件不等式的源与流

文[1]对不等式“若xi〉0，i=1，2，3且∑i=1^3 xi=1，则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10”给出了一个较为简单的证明．其证明思路是：先证明对任意0〈x〈1有1/1＋x^2≤27/50（2-x），即（x-1/3）^2（x-4/3）≤0成立（这是显然的，且x=1/3时等号成立）.     

三次曲线切线的两个性质

文[1][2]给出了三次函数f（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d（n≠0）的对称中心为（-b/3a，f（-b/3a）），受此启发笔者对三次曲线的切线进行了研究，发现了如下两个性质，供读者参考．     

一个不等式的再改进及证明

文[1]给出了如下定理及其证明： 定理 设a1,a2,…,an∈R^＋,且a1＋a2＋…＋an=s,k∈N,k≥2，则有     

等差、等比数列的又几个漂亮性质

文[1]给出了等差数列前n项和的一个性质如下:对于任意以a1为首项,d为公差的等差数列{an},Sn是其前n项和,总有:     

一个不等式的推广

文[1]给出了不等式：设a、b、c为正数,且a＋b＋c=1,则有（1/a＋b-c）（1/a＋c-b）（1/b＋c-a）≥（7/6）^3,当且仅当a=b=c=1/3时等号成立．     

一个不等式的再推广及应用

文 [1 ]给出了一个不等式 :2 (n 1 - 1 ) <∑ni=11i<2n - 1　 (n>1 )(1 )文 [2 ]将 (1 )式推广为 :11 -k[(n 1 ) 1-k- 1 ]<∑ni=11ik <11 -k·n1-k- 11 -k 1 (2 )(k∈R且k>0 ,k≠ 1 ,n>1 )文 [3]给出了不等式 (2 )的简证及其几何直观 .文 [4 ]又将 (1 )式推广为 :命题　已知 {an}为等差数列且a1>0 ,公差d>0 ,则2d(an 1- a1) <∑ni =11ai<2d(an -a1) 1a1(3)本文将采用文 [3]的方法 ,对 (2 )、(3)两式进行统一推广 ,并给出其应用 .定理　设 {an}为等差数列 ,且首项a1>0 ,公差d >0 ,k∈R 且k≠ 1 ,n>1 ,则1d(1 -k) (a1-kn 1-a1-k1) <∑…     

等差数列与等比数列的一条统一性质的推广

文[1]给出了等差数列与等比数列的一条形式优美的共同性质.笔者读后深受启发,在此拟给出此性质的一个一般性推广. 引理1 等差数列{an}首项为a1,公差为d,前n项和为SR,则SR=An2+Bn,其中A=d/2,B=a1-d/2.