Die Querschnittsverwölbung eines schubdeformierten elastischen Hohlzylinders — Theorie und Experiment

Übersicht Für die durch Tangentialschub hervorgerufene Deformation eines rotationssymmetrischen, inkompressiblen elastischen Körpers wird einerseits eine Elastizitätstheorie zweiter Ordnung entwickelt. Sie führt auf lineare Randwertprobleme zweiter bzw. vierter Ordnung für die Primärverschiebung in Umfangsrichtung und die den Sekundärverschiebungen in der Meridianebene zugeordnete Verschiebungsfunktion. Im Fall eines endlich langen Hohlzylinders kann die Primärdeformation analytisch bestimmt und für die Sekundärdeformation ein äquivalentes Variationsproblem angegeben werden, das einer numerischen Lösung unmittelbar zugänglich ist. Andererseits wurde die Verwölbung des spannungsfreien Endquerschnitts eines schubbeanspruchten Hohlzylinders experimentell ermittelt. Durch Vergleich mit der theoretischen Oberflächenform läßt sich das Verhältnis der beiden maßgeblichen elastischen Stoffkonstanten bestimmen.

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The deformation of a nonlinear-elastic hollow cylinder under tangential shear — theory and experiment

Summary A second-order elasticity theory is developed for the axially symmetric deformations of an incompressible isotropic elastic material due to tangential shear. It leads to second-order and fourth-order linear boundary value problems for the primary displacements in azimuthal direction and for the displacement function of the secondary deformations, resp., which take place within a plane through the axis of symmetry. In the case of a hollow cylinder of finite length, an analytic solution for the primary deformations exists, and for the secondary deformations an equivalent variational problem can be formulated and solved numerically. On the other hand, the shape of the free surface of the hollow cylinder was found out by experiments. Comparing the data with the theoretical results, the ratio of the two relevant elastic constants can be determined.

     

Die theorie der nichtmetrischen Spannungen in Kristallen

Summary Inhomogeneous quasiplastic deformations give rise to internal stresses in a solid body. These non-metric stresses are investigated in the stationary case by means of non-linear continuum theory based on a non-metric, non-Euclidean geometry. The theory is developed for crystals. It is also applicable to polycrystalline and amorphous bodies.The quasiplastically deformed crystal is geometrically described by an elastic metric tensor and by a lattice connexion, which is considered to be non-metric with respect to the elastic metric. The covariant derivative of the elastic metric tensor, based on the lattice connexion, is regarded as source-function of non-metric stresses. Source functions for thermal and magnetostrictive stresses are explicitly established.It is a well known fact that non-metric stresses may be included into the linear continuum theory of dislocations if the concept of quasidislocation-density is used. Generalizing these ideas, it is shown that, within non-linear continuum theory, in addition to quasidislocation-density the concept of quasidisclination-density is absolutely necessary. With the help of these quantities a complete analogy between non-metric stresses and stresses caused by crystal dislocations and crystal disclinations may be established. A unified non-linear theory for quasiplastic deformations, crystal dislocations and crystal disclinations is developed. It turns out that in general non-metric stresses cannot be compensated completely by dislocation movements.Zusammenfassung Im Festkörper führen inhomogene, quasiplastische Deformationen zu inneren Spannungen. Diese nichtmetrischen Spannungen werden für den stationären Fall im Rahmen einer nichtlinearen Kontinuumstheorie untersucht. Der Theorie liegt eine nichtmetrische, nichteuklidische Geometrie zugrunde. Die Theorie wird für Einkristalle entwickelt. Sie gilt aber auch für vielkristalline und für amorphe Körper.Der quasiplastisch verzerrte Kristall wird geometrisch mit Hilfe einer Gitterkonnexion und eines elastischen Metriktensors beschrieben, wobei die Gitterkonnexion nichtmetrisch ist bezüglich der elastischen Metrik. Die kovariante Ableitung des elastischen Metriktensors bezüglich der Gitterkonnexion ist die Quellenfunktion der nichtmetrischen Spannungen. — Die Quellenfunktionen der Temperaturspannungen und der magnetostriktiven Spannungen werden explizit angegeben.Es ist seit langem bekannt, daß die nichtmetrischen Spannungen im Rahmen einer linearen Theorie mit Hilfe des Begriffs Quasiversetzungsdichte in die Kontinuumstheorie der Versetzungen einbezogen werden können. Durch eine Verallgemeinerung dieser Gedankengänge wird gezeigt, daß in der nichtlinearen Kontinuumstheorie außer der Quasiversetzungsdichte auch eine Quasidisklinationsdichte eingeführt werden muß. Mit Hilfe dieser beiden Begriffe erreicht man erne vollkommene Analogie der nichtmetrischen Spannungen zu den von Kristallversetzungen und Kristalldisklinationen verursachten Spannungen. Es wird eine einheitliche, nichtlineare Kontinuumstheorie der quasiplastischen Deformationen, der Kristallversetzungen und der Kristalldisklinationen angegeben. Man kann zeigen, daß nichtmetrische Spannungen i. allg. durch Versetzungsbewegungen nicht vollständig abgebaut werden können. Vorgelegt von J. Meixner Herrn Prof. Dr. A. Seeger danke ich für die verständnisvolle Förderung dieser Arbeit. Herrn Dr. C. Teodosiu möchte ich für zahlreiche nützliche Diskussionen danken.

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On exactness of the kinematical approach in the structural shakedown and limit analysis

Summary Applying the concepts of limit analysis and shakedown, appropriately defined parameters called generalized stresses and strains are used instead of the actual stresses and strains. It is investigated if the resulting approximations introduce too large errors and if the errors follow only from the simplifying kinematical hypotheses adopted when defining the generalized variables.

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Zur Genauigkeit der kinematischen Methode bei Shakedown und Traglast-Verfahren

Übersicht Bei der Anwendung von Shakedown- oder Traglast-Verfahren werden durch passend gewählte Parameter verallgemeinerte Spannungen und Verzerrungen definiert. Es wird untersucht, ob durch diese Approximation unzulässig große Fehler eingeführt werden.

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This paper was presented at the Second Symposium on Inelastic Solids and Structures held in Bad Honnef in September 1981     

Ein verallgemeinertes Variationsverfahren zur vollen oder teilweisen Diskretisierung mehrdimensionaler Elastizitätsprobleme

Übersicht Zur angenäherten Berechnung elastischer Körper wird ein Variationsverfahreu beschrieben, das gleichzeitig Spannungen und Verschiebungen als unbekannte Variable verwendet. Entsprechend sind die Ansätze dieser Zustandsgrößen unabhängig voneinander wählbar. Ausgangspunkt ist ein verallgemeinertes Variationsprinzip (z. B. nach Hellinger-Reissner), doch kann das Vorgehen auch als erweiterter Galerkin-Prozeß aufgefaßt werden. Zwei- oder dreidimensionale Probleme lassen sich damit entweder auf algebraische Gleichungen oder auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen, was bei einer Aufteilung des Körpers in Abschnitte als Methode der finiten Elemente bzw. der finiten Streifen deutbar ist. Das Verfahren wird für Rotationsschalen beliebiger Dicke spezialisiert und an Hand einiger numerischer Beispiele erläutert.

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Summary The discretisation of elastic continua is achieved by a variational method employing simultaneously stresses and displacements as unknowns. Thus, trial functions for all state variables can be chosen independently. Starting point is a generalized variational principle (e.g. due to Hellinger-Reissner), but the procedure may also be considered as a generalized Galerkin-process. Two- or three-dimensional problems are reduced either to algebraic equations or to a system of ordinary differential equations of first order. This can be interpreted as a method of finite elements or as a method of finite stripes, respectively. The process is specialized for thick shells of revolution. Numerical results of some examples are given.

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Gekürzte Fassung der Habilitationsschrift des Verfassers, Technische Universität Braunschweig 1969.     

Viscoelastic effects in concentrated protein dispersions

Summary Shear viscosity and primary normal stress difference of ethanol dispersions of zein indicate that there is a characteristic concentration above which concentration and shear rate dependencies change. The characteristic time derived from shear viscosity of 35 to 45 wt% zein dispersions, 10^–1 sec, is five orders of magnitude greater than that reported for dilute solution. Recoverable shear, ranging from 0.2 to 3.5, decreases at higher shear rates, increases up to the characteristic concentration, and then decreases. It is estimated that the hydrodynamic volume of the globular protein at 35 to 45 wt% concentration reduces to 1/7 to 1/9 of that in the dilute solution.It is proposed that the hydrodynamic domain of a globular protein is compressed and overlapped. The degree of compression may represent the elastic characteristics of proteins in dispersions.

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Zusammenfassung Scherviskosität und erste Normalspannungsdifferenz von Zein-Dispersionen zeigen die Existenz einer charakteristischen Konzentration an, oberhalb derer sich die Abhängigkeit von Schergeschwindigkeit und Konzentration ändern. Die aus der Scherviskosität von 35–45 gew.-%igen Zein-Dispersionen abgeleitete charakteristische Zeit von 10^–1 s ist um fünf Größenordnungen größer als die in der Literatur für verdünnte Lösungen angegebene Zeit. Die reversible Scherung, welche Werte zwischen 0,2 und 3,5 annimmt, wird zu höheren Schergeschwindigkeiten hin kleiner; sie wächst bis zu einer charakteristischen Konzentration, um danach wieder abzufallen. Es wird abgeschätzt, daß das hydrodynamische Volumen von globulärem Protein bei einer Konzentration von 35 bis 45 Gew.-% auf 1/7 bis 1/9 desjenigen in verdünnter Lösung abnimmt. Daher wird angenommen, daß die hydrodynamischen Bereiche der globulären Proteine zusammengedrückt sind und sich überlappen. Der Kompressionsgrad stellt möglicherweise die entscheidende elastische Kenngröße der Proteine in Dispersionen dar.

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With 6 figures and 5 tables     

An approximate solution to the problem of a circular cylindrical shell with a circular hole subjected to an arbitrary self-equilibrated edge loading

Summary In this investigation, we shall use Donnell's equation of shallow circular cylindrical shell to obtain an approximate solution for stresses in an infinitely long circular cylindrical shell with a circular hole about which there acts a self-equilibrated load. To satisfy the edge conditions, we first shall expand the appropriate solutions of the differential equation into series containing powers, products of powers and logarithm, of the characteristic parameter ₀ defined in (1). We then shall represent the unknown coefficients of the solutions in similar series including new constants which depend only on the material property and the type of loading. We determine the new unknown constants through simple algebraic equations. In conclusion, we shall present two examples for symmetric and anti-symmetric loadings, including expressions which illustrate their accuracy, and expressions for stress concentration.

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Übersicht Es wird eine Näherungslösung für die Spannungen in einer unendlich ausgedehnten kreiszylindrischen Schale mit einem kreisförmigen Loch mit Hilfe der Donnel-Gleichung für flache Schalen angegeben. Der Lochrand wird durch eine im Gleichgewicht befindliche Last beansprucht. Zur Erfüllung der Randbedingungen werden die Eigenlösungen der Differentialgleichung in Reihen entwickelt, die neben Potenzen auch Produkte von Potenzen und logarithmischen Gliedern des charakteristischen Parameters ₀ enthalten, der in Gl. (1) definiert ist. Die unbekannten Koeffizienten der Lösungen werden in entsprechender Weise durch Reihen dargestellt. Sie enthalten neue Konstante, die nur noch von den Materialeigenschaften und der Belastungsart abhängen. Diese Konstanten werden durch einfache algebraische Gleichungen bestimmt. Zwei Beispiele für symmetrische und antimetrische Belastung werden durchgerechnet, wobei die Spannungskonzentration und die Genauigkeit des Verfahrens erkennbar werden.

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The author is indebted to Dr. E. F. Casebeer for invaluable editorial suggestions.     

Das rheologische Verhalten von Polymerlösungen: Strömungsverfestigung in Scher- und Dehnströmungen

Zusammenfassung Um das Dehnverhalten auch relativ niedrigviskoser viskoelastischer Fluide praktisch ohne den Einfluß von Vorbeanspruchungen messen zu können, wird ein neuartiges Dehnrheometer eingesetzt. Das Meßverfahren stellt eine Weiterentwicklung der Methode des rohrlosen Hebers (tubeless-syphon) dar, bei dem durch eine rechnergesteuerte Abzugswalze das Material unter definierten Bedingungen entgegen der Wirkung der Schwerkraft nach oben gezogen wird.Die hiermit untersuchten konzentrierten und mäßig verdünnten Polyisobutylen-Lösungen zeigen bei Dehnbeanspruchung ausgeprägte Verfestigungserscheinungen. So werden unter materiell instationären Bedingungen momentane Werte der Dehnviskosität gemessen, die im Falle von konzentrierten Lösungen mehr als 200mal und bei verdünnten sogar mehr als 2000mal größer sind als das Dreifache der Scherviskosität bei verschwindender Beanspruchung. Dabei handelt es sich noch nicht einmal um Gleichgewichtswerte, die Spannungen steigen vielmehr noch genähert exponentiell mit der Dehnung an.Auch im Scherfeld zeigen diese Lösungen Spannungsanomalien, die als Scherverfestigung bezeichnet werden können. Im Falle der verdünnten Lösungen führt das Einsetzen dieser Strömungsverfestigung bei noch unveränderter Schubspannung zunächst zu einer zeitabhängigen Erhöhung der ersten Normalspannungsdifferenz, die aber noch gegen einen stationären Endwert strebt. Eine weitere Steigerung der Schergeschwindigkeit führt dann allerdings zu einem überproportionalen Anwachsen sowohl von Normal- als auch von Schubspannungen, jedoch können sich dann, wie auch bei den konzentrierten Lösungen, keine Gleichgewichtszustände mehr ausbilden.Eine vergleichende Betrachtung des Relaxationsverhaltens in beiden Strömungsformen liefert Hinweise darauf, daß die bei der Dehnbeanspruchung beobachteten Verfestigungseffekte zumindest im Falle der verdünnten Polymerlösungen auf molekulare Assoziationsvorgänge zurückzuführen sind.

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A new extensional rheometer is used in order to measure the extensional (elongational) behaviour of low viscosity viscoelastic liquids with only a very small influence of previous deformations. The measuring technique represents a further development of the tubeless-syphon, in which a computer-controlled roller draws the material upwards against gravitational forces in a well defined manner.The concentrated and moderately diluted polyisobutylene solutions investigated here show a pronounced extension hardening in extensional flows. Under transient conditions apparent values of extensional viscosities were measured, which for concentrated solutions were more than 200 times larger than three times the zero-shear-rate viscosity, and for dilute solutions even more than 2000 times larger. These large values occurred before equilibrium conditions were reached, the stresses at this point increasing almost exponentially with the deformation.These solutions also exhibit stress anomalies in shear flows, which can analogously be described as shear hardening. In case of the dilute solutions the beginning of the shear hardening produces a time-dependent increase to a constant value for the first normal-stress difference, while the shear stress immediately reaches its constant value. A further increase in the shear rate then leads to an over-proportional growth of the normal as well as the shear stresses, however, as for concentrated solutions, an equilibrium state is no longer reached.A comparison of the relaxation properties in both types of flow suggests that the hardening effect in extensional flows can be attributed to molecular aggregation, at least for the dilute polymer solutions.

Erster Teil einer von der Abteilung Chemietechnik der Universität Dortmund unter dem Titel Der Einfluß der Strömungsform auf das Fließverhalten viskoelastischer Fluide genehmigten Dissertation; auszugsweise vorgetragen auf den Jahrestagungen der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Aachen vom 5.–7. März 1979 und in Berlin vom 11.–13. Mai 1981.     

Stoffübergang mit chemischer Oberflächenreaktion an umströmten Platten

Zusammenfassung Die Strömung und der Stofftransport in der Umgebung von Platten mit chemischer Oberflächenreaktion lassen sich durch Differentialgleichungen zuverlässig beschreiben. Deren vollständige Lösung konnte ohne vereinfachende Annahmen mit Hilfe theoretisch-numerischer Methoden erzielt werden. Dadurch erhält man Einblick in die tatsächlichen Transportvorgänge. Einige wichtige Ergebnisse werden erörtert. Insbesondere wird ein umfassendes Gesetz für den Stoffübergang mitgeteilt, das theoretisch und experimentell einwandfrei gesichert ist. Die Wiedergabe der bekannten sowie der neuen Daten ist gut. Sein Gültigkeitsbereich ist angegeben. Das neue Gesetz enthält neben anderen Grenzgesetzen auch das auf der Grundlage der GrenzschichtHypothese aufgestellte Gesetz.

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Mass transfer with chemical surface reaction on flat plates in flow

The flow field and mass transfer from flat plates with chemical surface reaction can be described by means of differential equations. Their solutions have been obtained numerically without any simplifications. This report presents some of the more important results obtained, which give insight into the true transport phenomena.A comprehensive mass transfer law has been developed, that has a wide range of validity. It is in good agreement with all available experimental and theoretical data. The new mass transfer equation includes the special case of boundary layer law besides other special laws that describe mass transfer in limited regions of relevant parameters.

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Formelzeichen c_A örtliche Moldichte der reagierenden Komponente A - c_Aw Wert von c_A an der Plattenoberfläche - c Funktion nach Gl. (28) - D Diffusionskoeffizient - f_p Funktion nach Gl.(2) - k Funktion nach Gl.(27) - k_w Reaktionsgeschwindigkeitskonstante - L Länge der Platte - n Reaktionsordnung - n_A Molstromdichte der diffundierenden Komponente A - p Funktion nach Gl.(29) - r_A Reaktionsstromdichte der reagierenden Komponente A - Sh_x,Sh örtliche und mittlere Sherwood-Zahl - w Anströmgeschwindigkeit des Fluidgemisches - w_x, w _x ^* absolute und bezogene örtliche Längsgeschwindigkeit - w_y, w _y ^* absolute und bezogene örtliche Quergeschwindigkeit - x, x^* absolute und bezogene Längskoordinate - y, y^* absolute und bezogene Querkoordinate - _x, örtlicher und mittlerer Stoffübergangskoeffizien - dynamische Viskosität des Fluidgemisches - Massendichte des Fluidgemisches - Da k_wLc ^n–1 /2D Damköhler-Zahl - Re wL//gr Reynolds-Zahl - Re_kr=5 · 10⁵ kritischer Wert der Reynolds-Re_kr=5 · 10⁵ Zahl - Sc //D Schmidt-Zahl - c_A/c_A bezogene örtliche Konzentration - _w Wert von an der Plattenoberfläche Indizes A diffundierende und reagierende Komponente - w an der Plattenoberfläche - x in Längsrichtung - y in Querrichtung - in sehr großer Entfernung von der Platte     

A theory of anisotropic consolidation

Summary Within the tensor functions representations constitutive relations are studied for solids with a directional permeability. The overall anisotropy of an originally isotropie skeleton is due to the arrangement of microchannels and it varies with the deformation induced.The laws concerning deformation, fluid flow, couplings between fluid and solid motions as well as those regarding evolution of anisotropy are established.An application of the polynomial representations of tensor functions of scalar, vector and tensor independent variables allows to devise a consistent nonlinear theory of anisotropic consolidation and thus results in the general form of stress-strain-permeability relations.Anisotropic filtration and equations governing the mechanical response of linearly elastic, anisotropic, porous solids are recovered as special cases.

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Zur anisotropen Verdichtung von Werkstoffen

Übersicht Es werden Stoffgleichungen für feste Körper mit richtungsabhängiger Permeabilität untersucht, wobei sich die Anisotropie mit der Verformung ändert. Dabei werden u. a. Gesetze aufgestellt, die die Bewegung von Flüssigkeiten und die Kopplung zwischen der Bewegung flüssiger und fester Körper beschreiben.Anwendung der Polynomdarstellung von Tensorfunktionen ermöglicht es, eine konsistente nichtlineare Theorie anisotroper Verfestigung aufzustellen. Auf diese Weise erhält man allgemeine Beziehungen zwischen Spannungen, Verzerrungen und Permeabilität.

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This paper was presented at the Second Symposium on Inelastic Solids and Structures, Bad Honnef, September 1981

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on leave from the Institute of Fundamental Technological Research IPPT-PAN, Warsaw, Poland     

Berechnung des Temperaturfeldes um eine im Erdboden verlegte Punkt- und Linienquelle bei Randbedingung III. Art an der Erdoberfläche

Zusammenfassung Für den Fall, daß sich in einem halbunendlichen Körper in der Tiefe L eine Punkt- bzw. Linienquelle befindet und daß an der Oberfläche des Körpers ein örtlich und zeitlich konstanter Wärmeübergangskoeffizient herrscht, wird das stationäre Temperaturfeld analytisch berechnet. Beim Vergleich mit einer Näherungslösung (Hilfsschicht) zeigt sich, daß nicht so sehr die Biot-Zahl Bi= · L/ als vielmehr der größte Winkel zwischen Wandnormale und Wärmestromdichte in der Hilfsschicht ein Maß für die Genauigkeit der Näherungslösung ist.

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Calculation of the temperature field around a buried point- and linesource, respectively, when the boundary condition is Newton's law

The steady state temperature field in a semiinfinite body caused by a buried point- and linesource, respectively, has been analytically calculated. The comparison with a simple approach (additional-layer) shows that the greatest angle between the normal of the wall and the heat flux density in the additional-layer, describes the quality of the approach better than the Biot-number Bi=L/ does.

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Formelzeichen A Fläche - Bi Biot-Zahl - C Eigenwertfunktion - E₁ Exponentialintegral - exp Exponentialfunktion - i komplexe Einheit - J₀ Besselfunktion nullter Ordnung und 1. Grades - L Verlegungstiefe der Punkt- bzw. Linienquelle - Q Quellstärke - r Radius - Re Realteil eines Ausdruckes - T Temperatur - t Integrationsvariable - x, y, z Ortskoordinaten - Wärmeübergangskoeffizienten an der Erdoberfläche - Laplace-Operator - Wärmeleitfähigkeit des Erdbodens - dimensionslose Temperatur - Integrationsvariable - dimensionsloser Radius - komplexe Ortskoordination Indizes 0 Erdoberfläche, senkrecht über der Quelle - 1 Lösung für das 1. Randwertproblem - 3 Lösung für das 3. Randwertproblem - 13 Zusatzfunktion - w Erdoberfläche - Umgebungstemperatur - Näherungslösung     

Flexible shell-theory and buckling of toroidal shells and tubes

Summary Flexible shells, designed to sustain elastic displacements, have a semimembrane type of deformation, described by simplified equations. In what follows, flexible shell equations are derived and used to analyse bending of curved tubes and buckling of tubes and toroidal shells under external pressure, as interdependent problems. Design formulas and curves are presented.

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Übersicht Flexible Schalen, die elastischen Verformungen ausgesetzt sind, genügen einem Semi-Membranspannungszustand. Vereinfachte Gleichungen für diesen Zustand werden hergeleitet. Damit werden die Probleme des Beulens von Torusschalen unter Außendruck, ein Spezialfall des allgemeineren Problems der Biegung und der Stabilität von Rohren, untersucht. Spannungen, Deformationen und kritischer Außendruck werden in Abhängigkeit von der Rohrkrümmung und von dem Abstand zwischen Querrippen oder Flanschen bestimmt.

     

Irreversible processes in isotropic materials with finite deformations

Summary A consistent application of thermodynamics of irreversible processes is presented for Isotropic materials with memory undergoing finite deformations. Explicit expressions for the functional relation between the momentary stresses and temperature and the deformation and internal energy time histories are derived for the special case of internal processes which can be described by even internal scalar variables. The treatment provides a special model for finite and infinitesimal linear viscoelasticity and is compared with existing theories.

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Zusammenfassung Es wird eine konsequente Anwendung der Thermodynamik irreversibler Prozesse auf isotrope Materialien mit Erinnerungsvermögen bei endlichen Deformationen gegeben. Explizite Ausdrücke für die Funktional-beziehungen zwischen den Momentanspannungen sowie der Momentantemperatur und den Vorgeschichten der Deformation sowie der inneren Energie werden für den speziellen Fall innerer Prozesse hergeleitet, welche mittels gerader innerer Skalarvariablen beschrieben werden können. Diese Behandlung liefert spezielle Modelle für die endliche und für die infinitesimale lineare Viskoelastizität und wird mit bestehenden Theorien verglichen.

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This research was supported in part by the Advanced Research Projects Agency of the Department of Defense and was monitored by the U.S. Army Research Office-Durham under Contract DA-31-124-ARO-D-257.     

Zur Berechnung allgemeiner Flächentragwerke mit Hilfe der Dynamischen Relaxation

Übersicht Der Spannungs- und Verformungszustand allgemeiner Flächentragwerke läßt sich im Rahmen einer linearen Theorie durch ein System gekoppelter partieller Differentialgleichungen erster Ordnung darstellen. Es wird die Möglichkeit gezeigt, für dieses Differentialgleichungssystem ein numerisches Lösungsverfahren in allgemeinen Koordinaten tensoriell zu formulieren. Das verwendete Lösungsverfahren ist in der Literatur unter dem Namen Dynamische Relaxation bekannt geworden. Beispiele aus der Theorie der Scheiben, der Platten und der Rotationsschalen werden behandelt.

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Summary A numerical method is described for the determination of stress and finite elastic deformations of thin elastic shells. The treatment used is the so-called dynamic relaxation. The solutions are derived in curvilinear co-ordinates by use of general tensor notations. The utility of the method is shown by some examples out of the theory of slabs, plates and shells.

     

A multibody approach for dynamic investigation of rolling systems

Summary In the classical multibody models which are used for vehicle dynamics, the contact forces applied to the wheels are considered as external forces and must be supplied in analytical from for each particular application. Moreover, when geometrical constraints arise because several wheels are in contact with a non-planar rolling path, they also have to be specified analytically.This paper presents a multibody model where each wheel-ground contact is considered as an internal joint of the system. Some of the geometrical constraints are taken into account by means of closed-loops and generated automatically by a programme. The remaining constraints have a simple expression and allow the contact forces and the characteristics of the rolling-path to be introduced in a straightforward manner. The equations of motion of a two-wheel system moving in a plane on a non-rectilinear path are derived to illustrate the method.

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Versuch der Berechnung der Fahrzeugdynamik mittels eines Mehrkörpersystemmodells

Übersicht In den klassischen Mehrkörpersystemmodellen, welche man in der Fahrzeugdynamik verwendet, werden die Kräfte, die vom Kontaktpunkt her auf die Räder einwirken, als äußere Kräfte betrachtet und müssen bei jeder besonderen Anwendung in analytischer Form gegeben werden. Hinzu kommt noch, daß im Falle, wo geometrische Zwangsbedingungen auftreten, weil mehrere Räder mit einem unebenen Fahrweg in Kontakt sind, diese auch analytisch bestimmt sein müssen.Dieser Artikel stellt ein Mehrkörpersystemmodell vor, in welchem jeder Rad-Bodenkontakt als eine interne Bindung des Systems betrachtet wird. Einigen dieser geometrischen Zwangsbedingungen wird mittels sogenannter geschlossener kinematischer Schleifen Rechnung getragen, und sie werden automatisch mit Hilfe eines Rechnerprogramms generiert. Die restlichen Zwangsbedingungen haben eine einfache Form und erlauben eine gesetzmäßige Eingabe der Kontaktkräfte sowie der Charakteristiken des Fahrweges. Die Bewegungsgleichungen eines Zweiradsystems, welches sich in einer Ebene auf einem nicht-geradlinigen Fahrweg fortbewegt, werden abgeleitet, um diese Methode zu illustrieren.

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This research has been partially supported by Constructions Ferroviaires et Métalliques, B.N.     

On the complete system of fundamental solutions for anisotropic slices and slabs: A comparison by use of the slab analogy

It is well known that a one to one analogy (slab analogy) exists for all steps of the formulation of plane-elasticity and slab-deflection problems. The object of this paper is to reveal this analogy also for the most important statical and geometrical singularities and for the fundamental solutions which depict the influence of the singularities on the elastic state of deformation, with special emphasis on anisotropic material. Therefore state variables, differential equations, singularities and elastic constants of both problems are composed systematically and compared with each other, and it is shown in which way the fundamental solutions of the first problem change into those of the second.

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Zusammenfassung Bekanntlich besteht für alle Schritte der Formulierung des Scheiben- und des Plattenproblems eine unmittelbare Analogie (Plattengleichnis). Das Ziel dieses Aufsatzes liegt darin, diese Analogie auch für die wichtigsten statischen und geometrischen Singularitäten und für die Fundamentallösungen aufzuzeigen, die den Einfluss der Singularitäten auf den elastischen Verformungszustand beschreiben, und zwar unter besonderer Berücksichtigung von anisotropem Material. Dazu werden die Zustandsvariablen, Differentialgleichungen, Singularitäten und elastischen Konstanten beider Probleme systematisch zusammengestellt und miteinander verglichen, und es wird gezeigt, auf welche Weise die Fundamentallösungen des ersten Problems in jene des zweiten übergehen.

     

Theorie der Hochdruckröhrenfeder

Zusammenfassung Zur Messung hoher Drücke im Bereich von 100 bis 10000 at werden in der Technik vielfach dickwandige Röhrenfedern nach Art des Bourdonmanometers benutzt. Diese Federn werden durch Flachschlagen eines Kreisrohres und anschließendes Krümmen hergestellt. Die Theorie derartiger Hochdruckfedern wird auf einen ebenen Formänderungszustand zurückgeführt und die Spannungen und Deformationen werden berechnet, wobei die Querschnittsform durch ein rechteckiges Mittelstück und zwei Randbögen (Flachbogenquerschnitt) idealisiert wird. Als Sonderfall wird auch der kreisförmige Querschnitt behandelt. Bei kreisförmiger oder kreisähnlicher Querschnittsform werden verschiedene Korrekturgrößen von wesentlichem Einfluß, die ebenfalls abgeleitet werden, Abschließend wird auch das Bewegungsgesetz solcher Meßfedern untersucht.Die hier dargelegte Theorie der Hochdruckfeder habe ich mit weitergehenden Vereinfachungen und ohne die Exzentrizitäts- und Längungskorrektur bereits 1943 entwickelt. Ergebnisse wurden auszugsweise in einem Aufsatz in Die Technik 3 (1948) S. 23–30 wiedergegeben. In der vorliegenden Neufassung sind alle Tabellen neu berechnet worden, wobei ich von Frau Otto in Göttingen, wesentlich unterstützt wurde.     

Resonant torsional vibrations: an application to dynamic viscometry

Summary A family of sensors which measure the complex coefficient of dynamic viscosity ( ^*) is discussed. Using a first order approximation to a general viscoelastic fluid, it is shown how these instruments determine ^* for a general linear viscoelastic fluid. The measurement technique employed relates the linear viscous damping and resonant frequency of these instruments in the presence and absence of fluid to ^*. This analysis also provides the inherent limitations of the sensors.

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Resonante Torsionsschwingungen: Eine Anwendung zur Dynamischen Viscometrie

Übersicht Eine Familie von Sensoren wird diskutiert, welche den komplexen Koeffizienten ( ^*) der Viskosität misst. Mit Hilfe einer Approximation erster Ordnung eines allgemeines viskoelastisches Fluid wird gezeigt, wie diese Instrumente verwendet werden können, um ^* für ein allgemeines linear viskoelastisches Fluid zu bestimmen. Die Messtechnik verwendet die Tatsache, daß Resonanzfrequenz und linearviskose Dämpfung der Sensoren abhängig sind vom Fluid, welches sich in der direkten Umgebung des Sensors befindet. Die Analyse, die hier verwendet wird, zeigt Möglichkeiten und Grenzen der Sensoren auf.

     

Finite element analysis of elastic-plastic plane stress problems based upon Tresca yield criterion

Summary A finite element technique for the elastic-plastic analysis of two dimensional structures subjected to conditions of plane stress and monotonically increasing loads is presented. The complete load deformation history as well as the propagation of the yield zones in the structure up to plastic collapse are studied. The material is assumed to be elastic-perfectly plastic and yielding is governed by Tresca yield condition. Plastic stress-strain relations for the sides and corners of Tresca yield condition are derived in terms of the components of the stresses and strains along a fixed reference coordinate system and the direction of the principal stress. The load is applied in small increments and the principal stress direction for each plastic element during a load increment is determined by an interpolation technique which leads to stresses that satisfy the yield condition. Numerical examples are given to illustrate the accuracy of the results obtained by the proposed method.

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Übersicht Es wird eine finite element-Methode vorgeschlagen zur Berechnung zweidimensionaler elastischplastischer Baukonstruktionen, die einem ebenen Spannungszustand mit monoton wachsender Last unterworfen sind. Das Belastungs-Verformungs-Verhalten und die Ausbreitung der Fließbereiche bis zum plastischen Zusammenbruch werden untersucht. Das Material soll der Fließbedingung von Tresca genügen. Spannungs-Verformungs-Berechnungen für die Ränder und Ecken des Tresca-Bereiches werden in Komponenten der Spannungen und Dehnungen längs der Achsriclitungen eines festen Bezugssystems und der Hauptspannungsrichtungen ausgedrückt. Die Belastung wird in kleinen Stufen aufgebracht, und die Hauptspannungsrichtungen werden für jedes plastische Teilchen während des Lastaufbringens durch Interpolation bestimmt. Die so erhaltenen Spannungen genügen der Fließbedingung. Durch numerische Beispiele wird die Genauigkeit des vorgeschlagenen Verfahrens demonstriert.

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On leave from Northwestern University, Evanston, Illinois     

Strömungsdoppelbrechung in Kaolinsuspensionen

Zusammenfassung Die rheologischen Vorgänge des Orientierungsverhaltens suspendierter Teilchen werden einer näheren Analyse unterzogen und liefern als Ergebnis, daß mittlere effektive Partikelradien mit dem Auslöschungswinkel und der Relaxationszeit der Strömungsdoppelbrechung erhalten werden können, die den größten in der Fraktion enthaltenen Teilchen (etwa erstes Drittel je nach verwendetem Strömungsgradienten) entsprechen. Die Berücksichtigung der Polydispersität der Fraktionen bestätigt im Zusammenhang mit elektronenmikroskopisch und mit der Zentrifugen-Fraktionierung ermittelten Korngrößenverteilungen im wesentlichen dieses Ergebnis. Hiernach sind Änderungen im Orientierungsverhalten entsprechenden Änderungen der effektiven Partikelradien zuzuordnen. Es wird gezeigt, daß mit Hilfe der Strömungsdoppelbrechung geringste Veränderungen von Kaolinsuspensionen bei sehr geringen Feststoff konzentrationen empfindlich nachweisbar sind, insbesondere bei Koagulationsvorgängen die ersten Aggregatbildungen, die noch weit von der Ausflockung entfernt sind. Das gleiche gilt für Dispergierungsvorgänge.

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Summary The rheological processes of orientation behaviour of suspended particles are analysed. The results show, that mean effective particle radii can be obtained, which are due to the largest particles (first part of the particle-size distribution depending on the shear velocity). Theoretical considerations on polydispersity of the investigated fractions confirm this results in connection to electronmicroscopic determination of the grain size distribution and to centrifuge-fractionisation. Therefore, changes of the orientation behaviour are strictly correlated to corresponding changes of the effective particle radii. It is further shown that the streaming birefringence indicates very sensitively slightest changes of suspensions with very low particle concentrations, expecially the first aggregations of coagulation, which are still far away from flocculation. The same is valid for dispergation processes.

     

Dual extremum principles and error bounds in nonlinear elasticity theory

Using some concepts of convex analysis a mathematical model is considered to derive dual extremum principles and global error bounds for monotone hyperelastic boundary-value problems. Introducing the two vector spaces of displacement gradients and of Piola stresses, which can be put into duality by a bilinear form, conjugate, and complementary energy functions are defined with the aid of Fenchel's transformation. Sufficient conditions for the convexity of the strain energy density are established. If the strain energy density is a convex function in some convex subset of the vector space of displacement gradients, dual extremum principles can be obtained by using Fenchel's inequality. They provide global error bounds for the solution of hyperelastic boundary-value problems.

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Zusammenfassung Mit Hilfe von Ergebnissen der Konvexen Analysis wird ein mathematisches Modell zur Herleitung dualer Extremalprinzipe und zur Berechnung globaler Fehlerschranken für monotone hyperelastische Randwertprobleme betrachtet. Führt man die beiden reellen Vektorräume der Verschiebungsgradiententensoren und der Piolaschen Spannungstensoren ein und setzt beide mit Hilfe einer Bilinear-Form in Dualität, so lassen sich mit der Fenchel Transformation konjugierte und komplementäre Energiedichten definieren. Für die Verformungsenergiedichte werden hinreichende Konvexitätsbedingungen angegeben. Ist die Verformungsenergiedichte konvex in einer konvexen Untermenge des Vektorraumes der Verschiebungsgradiententensoren, so können mit Hilfe der Fenchel-Ungleichung duale Extremalprinzipe erhalten werden, die globale Fehlerschranken für die Lösung des hyperelastischen Randwertproblems liefern.