Critical reynolds number for a spherical particle in plane couette flow

Zusammenfassung Es wird die Bewegung eines kleinen sphärischen Teilchens in einer Couette-Strömung untersucht. Wenn die Reynolds-Zahl grösser ist als ein kritischer Wert, so wird die Teilchen-Bewegung in laminarer Strömung instabil und verursacht Turbulenz; unterhalb des kritischen Wertes bleibt die Strömung laminar. Die kritische Reynolds-Zahl (auf Teilchen-Durchmesser und Geschwindigkeitsgradient basierend) hängt nur vom Dichteverhältnis zwischen der Flüssigkeit und der Kugelab.     

The role of coordinate systems in boundary-layer theory

Zusammenfassung Die Grenzschichtnäherung zu einem gegebenen Strömungsproblem ist nicht invariant, das heisst, sie hängt von dem Koordinatensystem ab, in dem der Näherungsprozess durchgeführt wird. Zwar ist die von der Flüssigkeit ausgeübte Reibungskraft von der Wahl des Koordinatensystems unabhängig, aber das Strömungsfeld selbst hängt im allgemeinen vom Koordinatensystem ab. Theorem 1 besagt, dass die Grenzschichtlösung eines Koordinatensystems durch eine einfache Substitution in die Lösung irgendeines anderen Systems übergeführt werden kann. Nur wenn die zwei Koordinatensysteme durch eine ganz spezielle Beziehung verbunden sind, bleibt das entsprechende Strömungsfeld dabei unverändert. Diese Abhängigkeit des Strömungsfeldes von der Wahl des Koordinatensystems wird benutzt, um Theorem 2 zu beweisen, das besagt, dass Koordinatensysteme gefunden werden können, die in dem folgenden Sinne optimal sind: Die entsprechende Grenzschichtlösung ist im ganzen Raum, auch ausserhalb der eigentlichen Grenzschicht, als Näherung gültig. Sie enthält die äussere Potentialströmung und auch die Strömung, die von der Verdrängungswirkung der Grenzschicht herrührt. Durch dieses Theorem wird das Problem hinfällig, wie man die äussere Potentiallösung und die innere Grenzschichtlösung an irgendeinem Rande der Grenzschicht zusammenfügt. Die vorliegende Arbeit beschränkt sich auf Strömungen ohne Ablösung, weil die Grenzschichttheorie im Ablösungsfalle mit prinzipiellen Schwierigkeiten behaftet ist. Es wird ausserdem vorausgesetzt, dass die Strömung zweidimensional, stationär und inkompressibel ist. Die letzteren Beschränkungen sind weniger wesentlich und werden in einer demnächst erscheinenden Arbeit diskutiert.

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Research prepared under Office of Naval Research Contract N 6 ONR-244, Task Order VIII, Project NR 061-036.     

The vertical plate in laminar free convection: Effects of leading and trailing edges and discontinuous temperature

Summary For laminar free-convection flow past a heated vertical plate of finite length, the local asymptotic flow structure is studied in regions where the boundary-layer equations do not provide a correct approximation at large Grashof numbers. The leading-edge region is shown to contribute a secondorder term to the integrated heat transfer. An integral form of the energy equation permits calculation of this correction in terms of the second-order boundary-layer solution away from the edge, without knowledge of the flow details near the edge, which can be obtained only by solution of the full Navier-Stokes equations. Near the trailing edge and near a jump in the prescribed plate temperature the longitudinal pressure gradient is found to be important in a thin sublayer adjacent to the plate, and the transverse pressure gradient is important in the remainder of the boundary layer, each for a distance along the plate which is slightly larger in order of magnitude than the boundary-layer thickness. At the trailing edge the sublayer problem is nonlinear and cannot be solved analytically, but it can be shown that the local correction to the total heat transfer is of slightly larger order of magnitude than the leading-edge correction. It is pointed out that the trailing-edge flow is identical in form to the flow near the edge of a rotating disc in a stationary fluid. The temperature-jump problem is linear and a solution is given which shows how the singularity in streamline slope predicted by the boundary-layer solution is removed.

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Zusammenfassung Bei laminarer natürlicher Strömung längs einer senkrecht stehenden endlichen geheizten Platte bei sehr grossen Grashof'schen Zahlen gibt es kleine Bereiche, bei denen die Grenzschichtgleichungen keine echte asymptotische Darstellung liefern. Im Vorderkantenbereich findet man ein Zusatzglied zweiter Ordnung für die gesamte Wärmeübertragung. Die Berechnung dieser Korrektur erfolgt durch eine Integralform der Energiegleichung, wobei nur die Lösung der Grenzschichtgleichung zweiter Ordnung fern von der Kante benützt wird, während die Kenntnis der Strömung in der Nähe der Kante nur durch eine Lösung der exakten Navier-Stokes'schen Gleichungen gefunden werden könnte. In der Nähe der Hinterkante und in der Nähe einer Diskontinuität der gegebenen Plattentemperatur wird das Längsdruckgefälle in einer dünnen Unterschicht wichtig; das Querdruckgefälle wird in dem restlichen Teil der Grenzschicht berücksichtigt, für eine Länge, deren Grössenordnung etwas grösser ist, als die der Grenzschichtdicke. Bei der Hinterkante ist das Unterschichtsproblem nicht linear, und es gibt keine analytische Lösung, aber man kann zeigen, dass die Grössenordnung der Korrektur der gesamten Wärmeübertragung etwas grösser ist als die Korrektur bei der Vorderkante. Die Strömung bei der Hinterkante ist dieselbe wie die Strömung bei der Kante einer rotierenden Scheibe in einer sonst ruhenden Flüssigkeit. Das Temperatur-Diskontinuitätsproblem ist linear, und eine Lösung ist hier gefunden worden, wodurch die von der Grenzschichttheorie gegebene Singularität (unendliche Quergeschwindigkeit) entfernt wird.

     

Development of flow in the inlet length of a circular tube starting from rest

Zusammenfassung Auf der Grundlage linearisierter Navier-Stokes-Gleichungen wird die instationäre laminare Strömung einer reibungsbehafteten, inkompressiblen Flüssigkeit im Einlaufbereich eines kreisförmigen Rohres behandelt. Es wird angenommen, dass sich die Flüssigkeit zum Anfangszeitpunkt im Ruhezustand befindet und dass die Geschwindigkeitsverteilung im Einlaufquerschnitt eine bekannte Funktion der Zeit und des Radius ist. Es werden Formeln für die Längskomponente der Geschwindigkeit sowie für den Druckgradienten angegeben.     

Helical flow of an idealized elastico-viscous liquid (I)

Zusammenfassung Es wird die stationäre Spiralströmung einer Klasse von idealisierten zähelastischen Flüssigkeiten untersucht. Diese Strömung wird zwischen zwei unendlich langen koaxialen Zylindern erzeugt, wenn im Spalt ein Druckgradient parallel zur Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelge-Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelgeschwindigkeiten um ihre gemeinsame Achse rotieren. Es werden exakte Lösungen für das Geschwindigkeits- und Druckfeld angegeben, wobei Mittelwert und Maximalwert der Axialkomponente der Geschwindigkeit ebenfalls berechnet sind. Ferner wird die Berechnung des Durchflussvolumens pro Zeiteinheit und des notwendigen Drehmomentes pro Längeneinheit, um die Relativbewegung der Zylinder zueinander aufrechtzuerhalten, durchgeführt. Schliesslich wird noch die Gleichung der Spirale aufgestellt, die ein Flüssigkeiteilchen beschreibt. Die Diskussion des Geschwindigkeits- und Druckfeldes zeigt einige interessante Resultate im Vergleich zu einer ähnlichen Strömung einer rein zähen Flüssigkeit. Die Couette-Strömung und die koaxiale Rohrströmung werden als Spezialfälle der Spiralströmung diskutiert.     

Diffusionsprobleme in Strömungen mit diskontinuierlicher Geschwindigkeitsverteilung I

Zusammenfassung Betrachtet wird die zweidimensionale, stationäre Massen- oder Wärmediffusion in einer reibungsfreien, parallelen Kanalströmung. Diese ist in zwei Gebiete mit jeweils konstantem Massenfluss unterteilt. Die Massenflüsse können gleich oder entgegengesetzt gerichtet sein. Auf deren Unstetigkeitsfläche befindet sich möglicherweise eine Zwischenwand mit einem Schlitz. Im Falle der Massendiffusion ist auch der Einfluss eines Gravitationsfeldes senkrecht zur Strömungsrichtung mitberücksichtigt. Die diffundierende Substanz wird von einer Punktquelle produziert. Das Randwertproblem wird mit der Singularitätenmethode behandelt und auf eine Integralgleichung zurückgeführt. Exakte oder angenäherte analytische Lösungen werden in verschiedenen Spezialfällen angegeben. In diesem ersten Teil der Publikation werden folgende zwei Fälle behandelt: Eine Quelle in einem unbegrenzten Medium und in einer Kanalströmung ohne Zwischenwände.

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Summary This paper deals with two-dimensional diffusion of mass or heat in a non-viscous parallel channel flow. The flow is divided into two regions with constant mass fluxes, which have the same or the opposite directions. The two flow regions are possibly separated by a wall, except for a strip of finite length, across which transport may occur. In the case of mass diffusion, the influence of a gravity field perpendicular to the direction of the flow is considered. The diffusing substance is produced by a source singularity. The boundary value problem is treated with the method of singularities and reduced to an integral equation. Exact or approximate analytical solutions are given for various special cases. In this first part of the paper, the following two cases are considered: A source in an unbounded medium and a source in a channel flow without an inner wall.

     

Duct flow in magnetohydrodynamics

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die Strömung einer elektrisch-leitenden Flüssigkeit durch ein gerades Rohr mit einem gleichförmigen, querlaufenden magnetischen Feld betrachtet. Das Problem wird unter Berücksichtigung des elektromagnetischen Feldes sowohl innerhalb als ausserhalb der Flüssigkeit formuliert. Besondere Aufmerksamkeit wird auf die Ableitung der Randbedingungen gerichtet. Es wird klargemacht, dass, wenn die Wände des Rohres endliche Leitfähigkeit haben, das Problem, abgeseben von Einzelfällen, kein gewöhnliches Randwertproblem darstellt. Eine Lösung wird für die Strömung durch ein rechteckiges Rohr mit unendlich fernen, dem äusseren Feld parallelen Wänden bei beliebiger Wandleitfähigkeit gefunden, ebenso für die Strömung durch ein endliches rechteckiges Rohr mit idealleitenden Wänden. Es gelingt, die asymptotische Geschwindigkeitsverteilung bei grosser Hartmannscher Zahl für ein dünnwandiges symmetrisches Rohr bei beliebiger Wandleitfähigkeit anzugeben.     

On the torsional oscillations of a plane with large suction

Zusammenfassung Es wird der Einfluss des Absaugens auf die durch Torsionsschwingungen an einer Scheibe erzeugte Strömung untersucht.     

Torsion of a circular shaft press-fitted with a disc

Zusammenfassung Es wird hier ein Lösungsverfahren besprochen für das Torsionsproblem der Welle, auf die eine Scheibe oder ein Rad gepresst ist.     

Forces on a neutrally buoyant disk in plane parabolic shear flow

A two-dimensional calculation of the force acting on a neutrally buoyant circular disk in the plane of an infinite parabolic shear flow profile is made in the creeping flow approximation.

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Zusammenfassung Es wird eine zweidimensionale Rechnung durchgeführt für die Kraft auf eine frei rotierende Scheibe, die neutral schwebend sich in der Ebene eines unendlichen parabolischen Scherprofils einer schleichenden Strömung befindet.

     

Magnetohydrodynamic shock propagation in non-uniform ducts

Zusammenfassung Es wird die Störung bestimmt, die ein gleichförmiger magnetohydrodynamischer Stoss beliebiger Stärke durch eine Querschnittsveränderung der Strömung erleidet. Beim Durchgang durch die Querschnittsveränderung ändert sich die Stärke des Stosses, und die Strömung bleibt nicht länger isentropisch. Es ergeben sich zwei verschiedene Störungsanteile, nämlich ein stationärer, der unmittelbar durch die Querschnittsveränderung hervorgerufen wird, und ein zeitlich veränderlicher Anteil, der von der Reflektion des ersten Anteils an dem Stoss herrührt.Die Untersuchungen, die auf ein einatomiges Gas beschränkt sind, enthalten gewisse bekannte gasdynamische Ergebnisse als Spezialfälle.

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Sponsored by the United States Army under Contract no. DA-11-022-ORD-2059.     

Transient magnetohydrodynamic flow and heat transfer

Zusammenfassung Es wird die zeitabhängige Strömung einer elektrisch leitenden Flüssigkeit untersucht, die sich bei Gegenwart eines Quermagnetfeldes einstellt, und zwar wird die freie und die erzwungene Konvektion berechnet. Wenn die Wandtemperatur längs der Kanalachse linear variiert, werden die Grundgleichungen linear, was eine analytische Lösung ermöglicht. Unsteitigkeiten können entstehen durch Variationen des axialen Druckgradienten, der Wandtemperatur oder der inneren Energieerzeugung. Die Einflüsse der thermischen und magnetischen Prandtlzahl, der Hartmannzahl, der Rayleighzahl und der inneren Energieerzeugung auf die Strömung und den Wärmeübergang werden untersucht. Für grosse Werte vonRa undM und fürPr-Werte von der Grössenordnung 1 wird ein Schwingungsverhalten gefunden, dessen Periode stark von den genannten Parametern abhängt.

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Work performed under the auspices of the U.S. Atomic Energy Commission.     

The possibility of normal shock waves on a body with convex surfaces in inviscid transonic flow

Zusammenfassung Es zeigt sich, dass in der Tat senkrechte Stosswellen an einem Körper mit konvexen Oberflächen bei reibungsfreier transsonischer Strömung auftreten können, wenn diese Strömung unmittelbar stromabwärts des Stosses eine Singularität besitzt und diese zur Singularität in der Strömung über eine Grenzfläche mit Krümmungsdiskontinuität ähnlich ist.     

Oscillating two-phase channel flows

Zusammenfassung Die in einem Kreisrohr durch pulsierende Kräfte in Bewegung gesetzte Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit mit schwebenden kugelförmigen Teilchen wird analysiert. Das Lösungsverfahren beruht auf der Zusammenfassung der Teilchen- und Flüssigkeit-Impulsgleichungen zu einer einzelnen Integrodifferentialgleichung, die durch die Laplace-Transformation gelöst wird. Die Geschwindigkeit von Teilchen und Flüssigkeit und der Reibungswiderstand werden als Polynome angegeben und durch einen Computer numerisch berechnet. Überraschenderweise ergibt sich, dass im Gleichgewichtsgrenzfall das Teilchen-Flüssigkeit-System, das durch eine stetige Massenkraft in Bewegung gesetzt wird, sich wie ein Teilchenloses verhält. Es wird auch gezeigt, dass die Wirkung der Massen- und Druckkräfte etwa gleich ist, wenn die Dichte des Teilchenmaterials viel grösser als die Dichte der Flüssigkeit ist. Die Wirkung dieser Kräfte ist verschieden, wenn diese beiden etwa gleich sind.     

Rotational-flow analysis of plane right-angle bends

Zusammenfassung Nach einem Verfahren, das als Methode der gefrorenen Wirbel bezeichnet wird, werden ebene Strömungen durch einen Krümmer berechnet. Der Grundgedanke des Verfahrens besteht darin, die Wirbelstärke näherungsweise als eine Funktion der Stromfunktion allein anzusetzen. Man wird so auf eine Poisson-Gleichung für die Stromfunktion geführt. Die Rechnungen werden durchgeführt für Geschwindigkeitsverteilungen im Eintrittsquerschnitt, die der ausgebildeten laminaren und turbulenten Strömung entsprechen. Am Beispiel der Laminarströmung wird der Einfluss vorgegebener Wirbelverteilungen und Ausflussbedingungen auf die Strömung in den verschiedenen Bereichen des durchströmten Raumes untersucht. Bei den Berechnungen mit Geschwindigkeitsprofilen, die der turbulenten Strömung entsprechen, wurden zudem die Einflüsse der Krümmung und der Art der Zuströmung betrachtet, wobei der Krümmungsradius vom 0,75fachen bis zum 4fachen der Kanalbreite variiert wurde. Das Verhältnis des Mittelwertes der Geschwindigkeit im Eintrittsquerschnitt zur Geschwindigkeit in der Mitte dieses Querschnittes erweist sich dabei als ein hydrodynamisch charakteristischer Parameter, während die Annahmen über die Geschwindigkeitsverteilung am Austritt nur von geringfügigem Einfluss sind. Bei scharfer Krümmung und ungleichmässigen Geschwindigkeitsprofilen tritt Strömungsablösung an der Aussenwand auf. Ablösungserscheinungen an der Innenwand — die praktisch beobachtet werden — liefert diese Theorie nicht, womit die Grenzen ihrer Anwendbarkeit in Erscheinung treten.     

Shape of the surface of a rotating electrically conducting liquid

Zusammenfassung Es wird die Strömung einer elektrisch leitenden Flüssigkeit in einem um seine Achse rotierenden vertikalen Kreiszylinder in einem Magnetfeld untersucht. Die Form der Oberfläche der Flüssigkeit wird unter dem Einfluss eines axialen sowie auch eines radialen Magnetfeldes diskutiert.Die freie Oberfläche, die beim Fehlen eines magnetischen Feldes ein Rotationsparaboloid ist, wird beim Anwachsen des Feldes immer mehr verzerrt und abgeflacht. Qualitativ haben beide Felder dieselbe Auswirkung, aber quantitativ ist der Einfluss des radialen Feldes grösser.     

Phaseplane representation of the incompressible viscous flow between non-parallel plane walls

Zusammenfassung Die ebene Strömung einer zähen Flüssigkeit zwischen nicht-parallelen ebenen Wänden wird in einer «Phasenebene» beschrieben, in der die Schubspannung als Funktion der wandparallelen Geschwindigkeitskomponenteu dargestellt ist. Es wird gezeigt, dass sich die Bewegungsgleichungen auf eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für (u) zurückführen lassen. Die singulären Punkte dieser Gleichung entsprechen dem Aussenrand der Grenzschicht. Geschwindigkeitsprofile mit Grenzschichtcharakter sind nur möglich, wenn der singuläre Punkt ein Sattelpunkt oder ein stabiler Knoten ist.     

Dislocation dynamics and the theory of the plasticity of single crystals

Zusammenfassung Es wird die Kontinuums-Theorie der Dislokationen benützt, um den plastischen Fluss in Einkristallen zu beschreiben. Dabei wird angenommen, dass das dynamische Verhalten der Dislokationen durch ein System von Tensorflüssen zusammen mit Konstitutionsgleichungen für die Dislokationsgeschwindigkeiten und für die Produktionsgeschwindigkeiten positiv-negativer Dislokationspaare beschrieben werden kann. Erhaltungssätze verknüpfen die Dichteänderungen der Dislokationen mit den Divergenzen der entsprechenden Ströme, und die Ströme bestimmen auch die plastische Verformungsgeschwindigkeit. Auf diese Weise erhält man eine Plastizitätstheorie, welche nur von mikroskopischen Parametern abhängt. Falls lange geradlinige Dislokationen vorherrschen, lassen sich die Erhaltungssätze ohne weiteres gewinnen, und die Beschreibung ist vollständig, sobald die beiden genannten Konstitutionsgleichungen gegeben sind. Ist aber die Dichte der Versetzungsschleifen gross, dann muss ein neuer Satz von Grössen eingeführt werden: die Dichte der Ecken an Dislokationslinien. Es wird der Fall einfacher kubischer Kristalle untersucht, und es wird gezeigt, dass es in den Erhaltungsgleichungen sechs Eckendichten gibt. Die Arbeit beschränkt sich nicht auf kleine Verzerrungen, Dislokationsdichten oder materielle Geschwindigkeiten.     

A note on distributions of temperature and eddy diffusivity for heat in turbulent flow near a wall

Zusammenfassung Es wird eine theoretische Untersuchung durchgeführt, die auf der Energiegleichung aufgebaut ist, um Auskunft über die Verteilungen der Temperaturen und den Energieaustausch in turbulenter Strömung in der Nähe einer Wand zu geben. Es wurde herausgefunden, dass der turbulente Energieaustausch nahe der Wand mit der dritten Potenz des Wandabstandes variiert.     

Effect of a standing sound field on the magnetohydrodynamic flow past a flat plate

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die Wirkung eines stationären Schallfeldes auf die magnetohydrodynamische Strömung, die im Bereich eines transversalen Magnetfeldes an einer flachen Platte vorbeifliesst, untersucht. Es ist festgestellt worden, dass, dem nichtmagnetischen Fall unähnlich, die gleichförmige Nebenbewegung nicht existiert. Die geschlossenen Schleifen der Stromlinien neben der Platte verlängern sich mit der Zunahme des Magnetfeldes. Weiter verursacht das Magnetfeld eine bedeutende Abnahme der Geschwindigkeitskomponenten.