Ⅱ.无理数的无理数次幂一定是无理数

题:无理数的无理数次方一定是无理数吗?为什么?这是一个判断题,则要求在事实的基础上加以判断。如果答案是否定的,则我们至少可以找出一个反例来,即至少可找出一个无理数的无理数之幂是有理数的情况来,我们有这样的反例吗?一个个地去找不就象大海捞针了?!鉴此,我们是否可以考虑问题的     

无理数“生”无理数

学习了无理数后,同学们知道了无理数有根号型,如2~(1/2),3~(1/3),3(5~(1/5))等等,但要注意,带根号的数并非都是无理数,如9~(1/9),3(27~(1/27))是有理数;无理数有构造型,如0．101001000100001 ……(两个1之间依次多一个0), 4.212112111……(两个2之间依次多一个1); 无理数有特定型,如π,e．到高中学习阶段,     

无理数e

在数学中有两个重要的无理数：π和e．我们知道π是圆的周长与直径之比，那么e又是怎样定义的呢?1nx为什么叫自然对数?在高中学习了指数函数和对数函数后，就初识了无理数e，对e，e^x，1nx，中学生往往有神秘莫测之感，下面我们就来谈谈这个问题．     

破译无理数

一、无理数不无理无理数,并不“无理”,它和有理数一样,都是现实世界的量的反映,“无理数”只是人们习惯采用的名称而已,它丝毫也不表示没有道理的意思．无理数和有理数一样,有无数多个．二、无理数的特征无理数是无限不循环小数．这说明无理     

人工制造的无理数

本文是介绍用无限十进小数构造无理数的一种方法,并且在某些情现下造出来的无理数还可以证明它是超越数.     

概率与无理数

概率是我们熟知的内容,无理数又与概率有什么关系呢?下面就几个无理数在概率方面的意义来作一阐述,让我们重新来认识无理数与概率之间的关系.     

无理数e的故事

<正>在讲到对数函数的时候,人教版必修一有这样一句话:"另外,在科学技术中常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并且把logeN记为lnN."很多心细的同学对这句话充满了好奇.对于无理数π,同学们已经非常的熟悉,它的历史可以追溯到古代,而无理数e的历史不过400年左右.数字π起源于一个几何     

无理数e的故事

在讲到对数函数的时候,人教版必修一有这样一句话：“另外,在科学技术中常使用以无理数e=2．71828…为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm）,并且把logeN记为lnN．”很多心细的同学对这句话充满了好奇．对于无理数π,同学们已经非常的熟悉,它的历史可以追溯到古代,而无理数e的历史不过400年左右．数字π起源于一个几何问题：怎样得到圆的周长和面积．数字e的起源就不是那么清晰了,     

无理数的一个性质

无理数的一个性质黄炳生（东南大学）命题若Ｃ为无理数，ｎ为奇素数，且Ｃ”为有理数，则除夕（ｋ为一切自然数）为有理数外，其它一切Ｃ”（ｍ为自然数，但ｍｆｋ，；）皆为无理数。证（１）由Ｃ’为有理数，且Ｃ‘”一（Ｃ“）‘（ｋ为自然数），则显然可见此少为有理数...     

趣谈无理数e

有一个关于高利贷的故事 :商人向财主借钱 ,条件是每借 1元到一年时归还 2元 ,即年利率为10 0 % .财主想如果每半年结一次账 ,利息岂不更多 ?因为半年的利率是 5 0 % ,即借一元到半年时还 1.5元 ,又把 1.5元作为本金借给商人 ,再过半年 ,即到了年底 ,又收利益 1.5× 5 0 % =0 .75 (元 ) .这样 ,一年利息是 1.2 5元 ,比原来的 1元利息多了 0 .2 5元 .半年结算一次 ,即一年结算两次 ,用算式表示 ,1元钱到一年时归还 1+ 122 =2 .2 5 (元 ) .财主马上又想 ,如果一年结算 3次 ,4次 ,… ,36 5次 ,甚至随时结算 ,它不发了大财 ,他便让账房先生算一…     

师生共话无理数

学生　有理数和无理数有什么区别 ?老师　主要区别有两点 :1.把有理数和无理数都写成小数形式时 ,有理数能写成有限小数或循环小数 ,比如 4 =4 .0 ;45=0 .8;110 =0 .1;13=0 .333…而无理数只能写成无限不循环小数 ,比如 2 =1.4 14 2… ,根据这一点 ,人们把无理数定义为无限不循环小数 .2 .所有的有理数都可以写成两个整数之比 ,而无理数却不能写成两个整数之比 .根据这一点 ,有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子 ,把有理数改叫“比数” ,把无理数改叫“非比数” .本来嘛 ,无理数并不是不讲道理 ,只是人们最初对它太不理解罢了 .学生　无限小…     

中学数学中无理数的引入

关于无理数的概念的引入,这一課題在中学数学教学中非常重要,因为綫段长度的概念、极限的概念都建立在实数概念的基础上。在中学里沒有必要向学生介紹无理数的严格的理論,任何这方面的企图都不会得到好的效果。在中学学习无理数的要求是 (1)給学生建立明确的有关无理数的概念; (2)使学生认識到有关无理数的概念在几何和代数方面的作用。为了保証学生对无理数的概念获得正确清楚的理解,1956-1957年度数学教学大綱的說明部分規定了无理数的引入的讲解程序的标准如下: (1)証明在有理数中沒有2~(1/2);     

一些常見的无理数

大家都知道2~(1/2),2~(1/3),…,是无理数,然而严格的証明可能并不是多数人所熟悉的,为此,我們在本文中列举出一些常見的无理数,并証明它們的无理性。 1.設N,n都是正整数,且N~(1/n)不是整数,則它必为无理数。用反証法証之。設N~(1/n)=p/q,其中p>0,q>1,且二者无公因数;将p,q分解成素因数的乘积: 由于p,q无公因数,故pi与qj中无相同者,又由于N~(1/n)=q/p, 由于pi与qj中无共同者,故上式是一不可約分式,从而p~n/q~n不可能为整数,这与假設矛盾。 2.設p,q是无公因数的正整数,且p~(1/N),q~(1/N)不同时为整数,則(p/q)~(1/N)是无理数。     

无理数e的统计估计法

本文通过著名的“匹配试验”构造出了无理数ｅ的统计估计公式，并讨论了该估计的性质．     

无理数所引发的谋杀案

传说,公元前六世纪的一天,在地中海的一艘驶往希腊的轮船上,一群“野蛮人”把一个人残忍地扔进了地中海.这个被谋杀的人就是伟大的学者——希伯斯,他是毕达哥拉斯学派的一个门徒. 毕达哥拉斯学派是古希腊的一个重要学派,为首的就是毕达哥拉斯.毕达哥拉斯学派     

无理数e的统计估计法

本文通过著名的“匹配试验”构造出了无理数e的统计估计公式．并讨论了该估计的性质．     

复数的自白

我的英文名字叫complex number,我的形象a bi与众不同,是由实部a与虚数bi合成的;当b≠0时,人们特别地叫我《虚数》;当a=0时,又叫我《纯虚数》. 在数学王国,我的诞生是不易的,我走过的道路是曲折的:     

证明一类无理数的一般方法

众所周知,实数分为有理数和无理数,无理数又分为代数数和超越数。这是实数的一种划分法。实数集还可以分成代数数集和超越数集。如果一个实数是整系数的某个代数方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+…+a(n-1)x+a~m=0的根,那么这个数叫做代数数。反之,不是任何整系数代数方程的根的实数称为超越数。因为全体有理数n/m是一次代数方程mx-n=0的根,所以有理数集是代数数集一个子数,因此超越数都是无理数。证明一个数a是无理数,统编高中《代数》课本用了反证法,但用反证法需要一定的技巧,学生往往不会使用。本文打算介绍证明代数数中无理数的一种一般方法、供教师们参考。这种方法要用到下列定理。这个定理在一般代数课本中都有、我们就不作证明了。定理:整系数代数方程a_0x~n+a_1~(n-1)+…+a(n-1)x+a_n=0有有理数根m/n(m、n互质)的必要条件是m是a_n的约数、r是a_0的约数。我们先举例说明如何用这个定理证明代数数中的无理数、然后总结这种方法的一般步骤。     

有理数、无理数与实数

本文用通俗的语言向大学一、二年级学生介绍有理数,无理数与实数的基本性质,旨在把抽象的概念与艰涩的证明转化成有趣易懂的概念与方法.     

有趣的无理数π和e

神奇的ππ有很多迷人的性质 :π的前六个有效数字 3 14 15 9,首先这个整数是一个素数 ,而且是一个逆素数 (倒序后仍然为素数 ) ,再看 ,3 14 15 9刚好是三个素数 3 1,41,5 9的连写 ,这三个数特别之处在于 ,它们各有一个孪生素数(相差为 2的一对素数 ) 2 9,43 ,61,不仅如此 ,这三个数各有特色 ,比如说 41吧 !在ｘ2 +ｘ +41中 ,当ｘ =0、1、2、…、3 9时 ,代数式的值都为素数 .另外 3 1+ 41+ 5 9=13 1,3 13+ 413+ 5 93=3 0 40 91,3 15+ 415+ 5 95=85 940 965 1都是素数 ,够特别了吧 !π的近似表示有很多 ,祖冲之的密率3 5 5113仍然占着统治地…