如何求二次函数的最值

二次函数是中学数学的重要内容，其最值问题是学生学习的难点之一，是历年高考的一个重要知识点．因此，有必要研究解决这类问题的简明方法，现举例说明如下，供参考．     

利用二次函数求几何最值

最值问题是平几中的一个重要内容,它是在给定的约束条件下,求关于几何图形中的某个确定的几何量的最大值或最小值,解决最值问题的方法,一般是以几何中的不等量性质、定理为基础,用几何推理方法、或用代数法、或用三角法来进行探索、分析以求得最值,本文旨在介绍如何...     

竞赛题中的二次函数求最值问题

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),配方后可变为标准形式y=a(x+b/2a)2+4ac-b2/4a(a≠0),由此可以很快求出y的最值.初中数学中,有不少的最值问题,常常可以转化为二次函数来求解.下面通过几个例子来介绍几种求解方法. 一、主元代入法例1(2001年安庆市竞赛题)已知x、     

构造圆锥曲线求最值

本文举例谈谈如何构造圆锥曲线求一类无理函数的最大值和最小值问题.一、构造圆求最值例 1　已知x2 +y2 =169,求 24y-10x+38+ 24y+10x+338的最大值和最小值.　　解:由x2 +y2 =169,把所求式子变形M = 24y-10x+169+25+144　+ 24y+10x+169+25+144= 24y-10x+x2 +y2 +25+144　+ 24y+10x+x2 +y2 +25+144= (x2 -10x+25)+(y2 +24y+144)　+ (x2 +10x+25)+(y2 +24y+144)= (x-5)2 +(y+12)2　+ (x+5)3 +(y+12)2.设P(x,y),A(5, -12),B(-5, -12),则所求式子M为圆x2 +y2 =169上一点到两定点A、B的距离的之和,即M= |PA|+ |PB|,如图.又∵|…     

构造圆锥曲线求最值

所谓构造就是从问题的结构和特点出发,进行广泛联想,构造出一个与条件或问题相关的数学模型,实现问题的转化,从而解决问题.它是解题的一把利剑,利用好这把利剑对解决问题将大有帮助.下面通过举例谈一谈构造圆锥曲线求解最值的问题.     

构造曲线求最值

最值问题,是中学数学经常涉及到的一个热点问题。某些最值问题用通常的方法求解往往比较困难,因为它涉及到诸多知识点,是中学数学的难点之一．如果我们能借助于数形结合的方法,巧妙构造曲线,使一些抽象的问题形象化和简单化,就能化难为易,避免繁琐的运算,轻松地解题．本文就一些最值问题．通过构造曲线,利用曲线的几何意义或定义,达到求解的目的．     

构造二次函数求解几何图形中的最值

学习了二次函数,我们就会经常遇到几何问题的最值问题,不少同学碰到此类问题总是感到无从着手.事实上,处理这类问题,只要我们能抓住一个问题,即根据题意和几何图形的性质求出二次函数的表达式,再依据配方法或公式法求出二次函数的最值.现以2012年全国部分省市的中考试题为例说明如下:     

构造向量求无理函数最值

在学习向量的过程中,有如下两个结论： a·b≤｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜; ｜a｜-｜b｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜。 本文旨在通过一些例子说明,有针对性地、恰当地构造向量,运用上述结论,能简明快捷地探求四类无理函数的最值．     

二次函数最值的计算方法

<正>在学习二次函数时,经常会计算二次函数最大(小)值,一般地将二次函数式化成顶点式,再依据自变量取值范围计算最大(小)值,笔者现将二次函数极值的计算方法整理归纳,供大家学习与参考.一、当二次函数图像顶点横坐标在自变量取值范围内时,最大(小)值即为顶点纵坐标.当抛物线顶点横坐标在自变量取值范围     

二次函数最值问题

学习数学离不开解题,解题既可以帮助学生深化理解基础知识,熟练运用和巩固知识,又可以帮助学生学习数学思想方法,进行思维训练．二次函数是中学数学的一个重要内容,具有丰富的内涵和外延．本文介绍二次函数最值问题的常见类型及解题策略．     

构造解几模型求三角最值

构造解几模型求三角最值侯守一刘文博（天津市津南区咸水沽一中３００３５０）有些三角最值问题，如果用常规方法，求解过程往往比较繁杂，若能根据所给条件．设计解几模型，求三角最值，新颖而巧妙．１构造点到直线的距离模型例１求证：（ｓｉｎ２α－２）２＋（ｃｏｓ２...     

求最值的若干方法

<正>探求最值是数学中的一个热点内容,也是初、高中知识衔接的重要内容.这种题型涉及变量多,技巧性强,要同学们有较强的数学转化和创新意识.本文介绍求解这类问题的若干方法.一、配方法例1设a、b为实数,求a²+ab+b2+ab+b²-a-2b的最小值.     

平方配凑法求三角函数的最值

本文给出求一类三角正弦或余弦函数的最值问题的方法——"平方配凑法".此法是先将原(非负)函数转化为其平方函数,再利用均值定理及配凑待定系数的手法求出平方函数的最值,从而最终求得原函数的最值.此法操作性较强,可供同学们参考.     

用构造法巧求根式函数最值

根式函数的最值问题具有灵活性强、解题方法巧、应用知识面广等特点,能考查学生的观察、类比(特别是形式结构的类比)、联想、转化、创新等多种能力,所以一直是高考和竞赛的热点问题.本文介绍构造斜率、向量、线性规划、距离、对偶式求解这类问题的方法,供大家参考.1.构造线段斜     

构造图形求一类函数的最值问题

对于形如y=√x2+b1x+c1±√x2+b2x+c2的函数,可以联想直角坐标系内两点间距离公式,利用三角形三边长的关系来求最小(大)值.例如,为求函数y=√x2-2x+2+√x2-12x+40的最小值,先配方成y=√(x-1)2+(0-1)2+√(x-6)2+ (0-2)2,再设定点A(1,1),B(6,2),A'(1,-1)及x轴上动点P(x,0),那么y=|PA+|PB|;因为|PA|+| PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,所以当点P恰和A'B与x轴交点Q重合时,|PA|+|PB|最小等于|A'B|,即x=8/3时y取最小值√34(如图1所示);而当x→∞时y→+∞,所以y没有最大值.     

用构造法巧求根式函数最值

根式函数的最值问题具有灵活性强、饵题方法巧、应用知识面广等特点，能考查学生的观察、类比（特别是形式结构的类比）、联想、转化、创新等多种能力．所以一直是高考和竞赛的热点问题．本文介绍构造斜率、向量、线性规划、距离、对偶式求解这类问题的方法，供大家参考．     

闭区间上二次函数最值求法及应用

<正>在高中常遇到在区间[α,β]上讨论最值,解这类题常感困难或出错误,因而探讨这类题的解法无疑是十分必要的,那么怎样讨论这类题的解法呢?现介绍如下:一、求闭区[α,β]上二次函数最值的方法设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0),结合二次函数的图像有:     

二次函数最值问题题型分析

二次函数最值问题题型分析２１５５００江苏常熟市中学周华生二次函数在顶点或区间端点处取得最大最小值的各种题型可作为考查学生掌握基础知识和解题能力的一个很好课题，近年来高考和数学竞赛中这类问题时常出现，本文就这类问题举例分析如下：１求根的范围这类问题可先...     

二次函数中的面积最值问题

<正>二次函数中的面积最值问题在全国各地中考试题中经常出现,很多同学很害怕这类问题,下面介绍三种方法解一道二次函数中面积最值问题.例如图1,抛物线y=ax²+bx+c经过原点O(0,0)与x轴上的点C(4,0)和点B(-1,5),直线y=x+m经过点B且交抛物线于点M,若BM//OA//CN,OA与抛物线另一交点为A,     

多元二次函数的最值问题

本文用二次型理论给出了多元二次函数有最大 (小 )值的一个充分条件 ,并给出了最值点及其最值的求法 .对于一元二次函数ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ　 (ａ≠ 0 ) ,当ａ>0时 ,ｆ(ｘ)有最小值 ,当ａ <0时 ,ｆ(ｘ)有最大值 .且当ｘ =- ｂ2ａ 时 ,取最值4ａｃ -ｂ24ａ .利用实二次型理论 ,将这一结论推广 ,可给出多元二次函数取最值的一个充分条件 ,及其求法 .多元二次函数的一般形式为 :ｆ(ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ)=ａ1 1 ｘ21 2ａ1 2 ｘ1 ｘ2 … 2ａ1ｎｘ1 ｘｎ ｂ1 ｘ1 ａ2 2 ｘ22 … 2ａ2ｎｘ2 ｘｎ ｂ2 ｘ2 … ａｎｎｘ2 ｎ ｂｎｘｎ ｋ ,ｆ…