Generalized minimizing movements for the mean curvature flow with Dirichlet boundary condition

We study a variational approach, called Generalized Minimizing Movemenents (GMM) and proposed by E. De Giorgi, to evolution of hypersurfaces by mean curvature in the case of a Dirichlet boundary datum. We prove an existence theorem of a GMM when on the initial solid are made suitable geometric hypotheses.

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Sunto Si studia un approccio variazionale, detto Movimenti Minimizzanti Generalizzati (GMM) e proposto da Ennio De Giorgi, per l’evoluzione di una ipersuperficie secondo la curvatura media con un dato al bordo di tipo Dirichlet. Viene provato un teorema di esistenza quando sul solido iniziale siano fatte opportune ipotesi di tipo geometrico.

     

Persistence and spatial patterns in a one-predator-two-prey Lotka-Volterra model with diffusion

Sunto Si considera un sistema di equazioni di reazione- diffusione del tipo di Lotka-Volterra con due prede e un predatore. Assumendo delle ipotesi sui coefficienti che assicurano che il sistema è persistente (nel senso di Butler, Freedman e Waltman), si mostra l'esistenza di equilibri non omogenei e di soluzioni periodiche non omogenee rispetto alla variabile spaziale per certi valori dei parametri di diffusione. I risultati sono illustrati da elaborazioni numeriche.     

Existence results for some free boundary filtration problems

Summary A suitable extension of the pressure junction allows to formulate quite general free boundary filtration problems in terms of a non-standard variational inequality, both for the stationary and the evolution situations. Existence results are proved.

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Sunto Un opportuno prolungamento della funzione pressione permette di formulare problemi di filtrazione a frontiera libera alquanto generali in termini di una disequazione variazionale di tipo non standard. Si dimostrano risultati di esistenza, sia per il caso stazionario che per quello di evoluzione.

     

Existence results for forced nonlinear periodic BVPs at resonance

Sunto In questo lavoro si presentano alcuni risultati riguardanti l'esistenza di soluzioni p-periodiche per sistemi di equazioni differenziali non lineari in risonanza, del tipo x+ Dx + + Ag(t, x)=h(t), ove D ed A sono matrici m×m, con D di tipo diagonale, h è un termine forzante p-periodico e g è un campo vettoriale, non necessariamente limitato. In particolare, viene esteso ai sistemi, in ipotesi più generali, un classico teorema dovuto a Lazer e Leach. Le dimostrazioni sono basate sull'uso del grado topologico (teorema di continuazione di Mawhin).     

A Saint-Venant type principle for Dirichlet forms on discontinuous media

We consider certain families of Dirichlet forms of diffusion type that describe the variational behaviour of possibly highly nonhomogeneous and nonisotropic bodies and we prove a structural Harnack inequality and Saint Venant type energy decays for their local solution. Estimates for the Green functions are also considered.

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Sunto Si considerano certe famiglie di forme di Dirichlet di tipo diffusione che descrivono il comportamento di corpi fortemente non omogenei e non isotropi e si provano per le relative soluzione locali una diseguaglianza di Harnack strutturale e stime tipo Saint Venant della decrescita dell'energia. Si studiano inoltre stime per la funzione di Green.

     

Asymptotic equivalence of a linear system of impulsive differential equations and a system of impulsive differential-difference equations

In the present paper theorems on asymptotic equivalence of a linear system of impulsive differential equations and a system of impulsive differential-difference equations are proved by the help of integral inequalities of Gronwall-Bellman type.

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Sunto Usando delle disequaglianze di tipo Gronwall-Bellman sono dimostrati dei teoremi sull’equivalenza asintotica tra sistemi lineari di equazioni differenziali con impulsi e sistemi con impulsi di equazioni differenziali-differenze.

     

On Rayleigh-Taylor stability

We study the nonlinear stability of the rest state for the Rayleigh-Taylor problem related to a plane layer of viscous, heavy fluid under periodicity assumptions in the horizotal directions, with nonzero surface tension. Such a problem is studied for both incompressible and isothermal fluids where, in the class of regular flows, it is proved the exponential decay to the rest state for perturbations, in absence of hypotheses on the characteristic coefficients of the flow, and on the initial conditions as well.

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Sunto Si studia la stabilità nonlineare della quiete per il problema di Rayleigh-Taylor relativo ad uno strato piano di fluido viscoso pesante nelle ipotesi di periodicità nelle direzioni orizzontali, ed in presenza di tensione superficiale. Tale problema è studiato sia per fluidi incompressibili che isotermi. In entrambi i casi, nella classe di moti regolari si prova il decadimento di tipo esponenziale allo stato di quiete per le perturbazioni, senza aggiungere alcuna ipotesi sui coefficienti caratteristici del moto o sulle condizioni iniziali.

     

Contributi alla geometria della retta

Riassunto In questo lavoro si studia la geometria sopra una retta con riferimento al gruppo delle congruenze, supposto non transitivo e con diverse ipotesi di rigidità. Si perviene a strutture algebriche di tipo generale, che suggeriscono varie operazioni di immersione e contrazione, e ciò mantenendo sempre vivo il legame con una intuizione che sia la più generale possibile della realtà empirica.

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Résumé Dans cet travail on étudie la géométrie sur une droite par rapport au groupe des congruences, supposé non transitif et avec des diverses hypothèses de rigidité. On arrive à des structures algébriques d'un type général suggérant diverses opérations d'immersion et de contraction, et cela en maintenant toujours la liaison par une intuition qui soit la plus générale que possible de la réalité empirique.

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Lavoro fatto nel gruppo di ricerca n. 25 del C.N.R.: ?Strutture algebriche e loro legami con la geometria moderna?.     

Growth properties of Sobolev space functions over unbounded domains

Summary We study Sobolev space functions with prescribed growth properties on large spheres. In particular, we prove a weighted Poincaré type inequality for such functions. An extension to weighted Sobolev spaces is sketched.

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Sunto Si studiano funzioni che appartengono a certi spazi di Sobolev e che hanno crescita assegnata su sfere di grande raggio. Per tali funzioni si dimostra una disuguaglianza di tipo Poincaré con peso. Si indica inoltre anche una estensione di tale risultato a funzioni in spazi di Sobolev con peso.

     

On the distribution of complex numbers according to their transcendence types

Summary For each complex number its transcendence type is defined as a non-negative real number, which supplies a measure of its approximability by algebraic numbers. The distribution of complex numbers according to their transcendence types is studied and the existence of complex numbers with a given transcendence type is proved.

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Sunto Per ogni numero complesso è definito il suo tipo di trascendenza come un numero reale non negativo che fornisce una misura della sua approssimabilità mediante numeri algebrici. Si studia la distribuzione dei numeri complessi in relazione al loro tipo di transcendenza e viene dimostrata l'esistenza di numeri complessi aventi tipo di trascendenza assegnato.

     

Su alcuni sistemi di equazioni integrodifferenziali in ipotesi di Carathéodory

Sunto Vengono studiate alcune classi di sistemi di equazioni integrodifferenziali, stabilendo, in ipotesi del tipo di Carathéodory e con dati al contorno sommabili, dei teoremi di esistenza che estendono alcuni noti risultati relativi a problemi al contorno per sistemi di equazioni alle derivate parziali. In particolare viene ritrovato un noto teorema sull'esistenza di soluzioni per il problema di Darboux per un'equazione del 2° ordine di tipo iperbolico. I metodi seguiti richiedono la dimostrazione preliminare di alcuni criteri di compattezza rispetto alla convergenza quasi uniforme del tipo semiregolare.

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Summary Existence theorems for a class of integro-differential equations are given under very weak assumptions of Carathéodory type on the data. These theorems extend some hnown results about b. v. problems for hyperbolic p. d. equations with data given along the characteristic lines, such as, for instance, the well-known Darboux problem. The methods used are functional theoretic and they require the use of certain compactness criteria established in the first part of the paper.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Gruppi di ricerca matematica del C.N.R.     

Sul problema di Picard in ipotesi di Carathéodory

Sunto Viene studiato il problema di Picard per una equazione differenziale del secondo ordine di tipo iperbolico in due variabili, stabilendo, in ipotesi del tipo di Carathéodory e con dati al contorno assolutamente continui, dei teoremi di esistenza. La tecnica seguita per tale studio richiede la dimostrazione di alcuni criteri di compatezza rispetto alla convergenza quasi uniforme del tipo semiregolare nonchè di alcuni risultati concernenti la dipendenza da un parametro della soluzione di una equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Vengono anche utilizzati dei nuovi risultati sulla derivazione sotto il segno d’integrale recentemente stabiliti, altrove, dall’Autore.

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Summary The Picard problem for a second order partial differential equation of hyperbolic type in two variables is studied. Existence theorems are established under rather mild assumptions of Carathéodory type on the data. The technique used requires some compactness criteria with respect to a certain type of convergence, as well as some results, not be found in the current literature, about ordinary d.e. depending on a parameter and Leibnitz rule for derivation of an integral.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei Gruppi di ricerca matematica del C.N.R.     

Structure of the linearized problem for compressible parallel fluid flows

We consider the linearized compressible Navier-Stokes equation near a parallel flow in a cylindrical domain restricting our study to perturbations periodic in the generatrix direction. For any parameter values, we show that the initial value linear evolution problem is solved by the direct sum of a (strictly) contraction semi-group and an analytic semi-group. Any unbounded in time solution of this linear problem comes from isolated eigenvalues with finite multiplicities, which have non negative real part, and whose imaginary part is bounded. In addition, we precise the structure of the spectrum of the generator of the semi-group, locating the essential spectrum stricly on the left side of the complex plane.

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Sunto Si linearizzano le equazioni di Navier-Stokes comprimibili attorno ad un moto lineare in un cilindro. Senza imporre restrizioni sul moto di base, si studia il problema lineare per perturbazioni periodiche nella direzione della generatrice del cilindro. Si prova che il problema di evoluzione lineare è dato dalla somma diretta di un semigruppo di stretta contrazione ed un semigruppo analitico. Ogni soluzione temporalmente non limitata deriva da autovalori isolati di molteplicità finita, aventi parte reale positiva e parte immaginaria limitata. Si studia anche la struttura dello spettro del generatore del semigruppo, costituito nel lato destro del piano complesso da autovalori di molteplicità finita, e nel lato sinistro di autovalori e da uno spettro essenziale situato su di una retta parallela all’asse immaginario.

     

A minimum principle for an integral equation with mixed boundary conditions

We have considered an integral equation, which describes the dynamic problem of a viscoelastic body and submitted it to a boundary condition with fading memory. It has come out that the solution to this mixed initial-boundary value problem is a strict minimum of a proper class of functional with a weight function and vice versa.

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Sunto è preso in considerazione un problema misto con una condizione al contorno di tipo viscoelastico per un'equazione integrale, che descrive il problema dinamico di un corpo viscoelastico. Si mostra che la soluzione a tale problema rappresenta un minimo per un funzionale bilineare con una funzione peso e viceversa.

     

Nuovi criteri sufficienti in un classico problema di calcolo delle variazioni

Sunto Proseguendo ricerche anteriori di criteri sufficienti per il minimo in un classico problema di Calcolo delle variazioni, si danno nuovi criteri sufficienti. di portata maggiore di quella dei precedentemente ottenuti, e se ne fa una fruttnosa applicazione alla teoria delle equazioni a derivate parziali, anche non lineari, del second'ordine, di tipo euleriano.

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Summary As a follow to his own research on sufficient conditions for the minimum in a classical problem of Calculus of Variations, the Author proofs new, more far-reaching criteria and makes fruitful application of them to the theory of non linear, second order partial differential equations, of Euler type.

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A Enrico Bompiani nel suo 70^mo compleanno.     

Sur la régularité des solutions de l'équation divA(x,u, ∇u)=B(x,u, ∇u) avec des conditions aux limites unilatérales et mêlées

Sunto. In questo lavoro dimostreremo la regolarità L^p, L^∞ e h?lderiana delle soluzioni di una classe di equazioni differenziali non lineari di tipo ellittico soggette a condizioni di frontiera di tipo misto e unilaterale

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Thèse presentée à la Faculté des Sciences de Paris le 2 juin 1971.

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Boursier de le ? Instituto de Alta Cultura ? (Portugal).

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Entrata in Redazione il 28 giugno 1971.     

Local properties of variational solutions for the two-obstacle problem involving square Hörmander operators

We consider the double obstacle problem involving square Hörmander operators. We prove a Wiener estimate giving a generalization of results obtained both for degenerate elliptic operators and for uniformly elliptic operators with bounded and measurable coefficients.

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Sunto Si considéra il problema del doppio ostacolo per un operatore definite come somma di quadrati di campi vettoriali. Si dimostra una stima di Potenziale del tipo di Wiener, generalizzando risultati già noti per il problema ad un solo ostacolo relativo ad operatori ellittici degeneri, nonchè per il doppio ostacolo per operatori uniformemente ellittici con coefficienti limitati e misurabili.

     

Partial regularity for the solutions to nonlinear parabolic systems

Sunto Si estendono a sistemi non lineari di tipo parabolico alcuni risultati di regolarità parziale delle soluzioni di sistemi ellittici.

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Entrata in Redazione il 19 settembre 1972.

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Research supported in part by a C.N.R. fellowship at the University of Paris.

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Research partially supported by NSF Grant GP 16115.     

Cauchy problem for some non-Kovalewskian equations

Some evolution equations with constant leading coefficients and real characteristic roots are considered. The wellposedness of Cauchy problem is proved inH ^∞ and in Gevrey classes, if an assumption is made on the lower order terms. Finally the results are generalized to nonlinear equations.

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Sunto Si considerano equazioni differenziali di evoluzione con coefficienti costanti nella parte principale e radici caratteristiche reali. Si dimostra la buona positura del problema di Cauchy inH ^∞ e nelle classi di Gevrey, sotto un’ipotesi sui termini di ordine inferiore. Infine, i risultati vengono estesi alle equazioni non lineari.

     

On the stationary and nonstationary Navier-Stokes equations inR n

Sunto Si dimostra che le soluzioni dette equazioni di Navier-Stokes stazionarie considerate in tutto lo spazio Rⁿ sono asintoticamente stabili rispetto a piccole perturbazioni dei dati iniziali nella norma di L^p.